Problemas Tema2

Colección de problemas de
Poder de Mercado y Estrategia
Curso 3º - ECO2012-2013
Iñaki Aguirre
Jaromir Kovarik
Marta San Martín
Fundamentos del Análisis Económico I
Universidad del País Vasco UPV/EHU
Poder de Mercado y Estrategia
Colección de problemas
Tema 2. Oligopolio y competencia monopolística
1. Suponga una industria abastecida por dos empresas que venden un producto
homogéneo. La función inversa de demanda viene dada por p ( x) = 80 − x. Ambas
empresas producen con los mismos costes tal que Ci ( xi ) = 20 xi , i = 1, 2.
a) Suponga que las empresas tienen que decidir entre producir una cantidad alta (H)
igual a 20 unidades o una cantidad baja (L) igual a 15 unidades. Calcule los beneficios
correspondientes a cada combinación de estrategias y represente el juego en forma
normal. Calcule el equilibrio de Nash.
b) Suponga ahora que las empresas deciden qué cantidad producir entre cualquier
cantidad no negativa. Represente el juego en forma normal. Obtenga las funciones de
mejor respuesta y calcule el equilibrio de Nash. Represente dicho equilibrio.
2. Considere un duopolio de Cournot que se enfrenta a una función inversa de demanda
p(x) = a - bx. Sean c1 y c2 los costes marginales constantes de las empresas 1 y 2,
respectivamente (y no hay costes fijos).
(i) ¿Cuál es el equilibrio de Nash si ci <
a + cj
2
, i, j = 1, 2, j ≠ i ?
(ii) ¿Cuál sería el equilibrio de Nash si c1 < c2 < a y c2 >
2
a + c1
?
2
Poder de Mercado y Estrategia
Colección de problemas
Solución
(i) xi =
*
(ii) x1 =
*
a − 2ci + c j
3b
, i, j = 1, 2, j ≠ i.
a − c1 *
, x2 = 0.
2b
3. Sea p(x) = 100 - 0.5x la función inversa de demanda de un mercado que es abastecido
por dos empresas que compiten en cantidades, la empresa 1 y la empresa 2, cuyas
funciones de costes totales son, respectivamente: C1 ( x1 ) = 5 x1 , C2 ( x2 ) = 0.5 x22 .
a) Represente el juego en forma normal y defina la noción de equilibrio de CournotNash.
b) Obtenga las funciones de mejor respuesta. Calcule el precio, las cantidades
producidas por cada empresa y los beneficios de cada empresa en el equilibrio de
Cournot-Nash. Represente gráficamente dicho equilibrio.
c) Considere el acuerdo de colusión. Muestre que dicho acuerdo no puede mantenerse
como equilibrio.
d) Suponga que la empresa 1 actúa de líder en un juego secuencial y la empresa 2 de
seguidora (es decir, la empresa 1 elige primero su nivel de producción y la empresa 2
elige en segundo lugar su nivel de producción después de observar la elección de la
empresa 1). Calcule el equilibrio perfecto en subjuegos, el precio, las cantidades
producidas por cada empresa y los beneficios de cada empresa.
4. Considere un oligopolio de Cournot con n empresas que producen un bien
homogéneo. La función inversa de demanda es p ( x) = 10 x
3
−
1
2
y todas las empresas
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Colección de problemas
tienen el mismo coste marginal constante, c > 0 (no hay costes fijos). (Nota: la función
−2
directa de demanda es x ( p ) = 100 p )
(i) Calcule la producción de cada empresa en el equilibrio (simétrico) de Cournot-Nash,
la producción de la industria y el precio de equilibrio.
(ii) ¿Cuáles son la producción y el precio de monopolio en este mercado? Considere el
acuerdo de colusión simétrico (reparto equitativo de la producción de monopolio) ¿Qué
cantidad produciría cada empresa si todas ellas respetan el acuerdo? Muestre que el
acuerdo de colusión simétrico no se puede sostener como equilibrio.
5. En el mercado del producto x, la función de demanda es x( p ) = 100 − 10 p . Si el coste
marginal es siempre cero para cualquier empresa que quiera producir ese bien:
a) ¿Cuánto se venderá y a qué precio si hay un único oferente en el mercado?
b) ¿Cuánto y a qué precio si lo abastecen dos empresas y se comportan según el modelo
de Cournot?
c) ¿Aumentaría o disminuiría la cantidad ofertada si lo abastecen tres empresas
comportándose también según el modelo de Cournot? Hállense el precio y la cantidad
de equilibrio de cada una de ellas.
d) ¿Cuánto se venderá y a qué precio si hay n oferentes en el mercado? ¿Qué ocurre
cuando n→∞ ?
e) ¿Cuál sería la producción de competencia perfecta? ¿Cuál el precio?
f) Compare las cantidades anteriores con la cantidad eficiente.
4
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Colección de problemas
6. Considere un oligopolio de Cournot con n empresas que producen un bien
homogéneo. La función inversa de demanda es p(x) = a – bx y todas las empresas
tienen el mismo coste marginal constante, c (no hay costes fijos y a > c).
(i) Obtenga la función de mejor respuesta de la empresa i ante las producciones de las
demás empresas, fi(x-i), donde x-i = x1 +..+ xi-1 +.+ xi+1 +..+ xn =
∑x
j ≠i
j
. Calcule la
producción de cada empresa en el equilibrio de Cournot-Nash, la producción de la
industria, el precio de equilibrio y el beneficio de cada empresa. Muestre que un
aumento en el número de empresas reduce la producción de cada empresa en equilibrio,
eleva la producción agregada, reduce el precio y los beneficios. ¿Qué ocurre cuando
n → ∞?
(ii) Considere el acuerdo de colusión simétrico (reparto equitativo de la producción de
monopolio) y muestre que no se puede sostener como equilibrio. Calcule el beneficio de
la empresa i cuando se desvía óptimamente y las demás respetan el acuerdo de colusión.
(iii) ¿Es el juego de duopolio de Cournot un dilema del prisionero?
(iv) Suponga que el juego se repite durante infinitos periodos. Obtenga el factor de
descuento crítico a partir del cual la colusión se puede sostener como equilibrio del
juego repetido. Muestre que el factor de descuento crítico aumenta al aumentar el
número de empresas y, por tanto, que cuanto mayor sea el número de empresas más
difícil es que la colusión sea estable.
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Colección de problemas
Solución
(i)
x* =
fi(x-i)
=
 a − c − bx− i 
max 
,0  ;
2b


xi* =
a−c
,
b(n + 1)
i
=
1,...,
n;
n(a − c) * a + nc * (a − c) 2
;p =
; πi =
, i = 1,...., n.
n +1
b(n + 1)2
b(n + 1)
lim xi* (n) = 0 ; lim x* (n) =
n→∞
n→∞
a−c
*
*
; lim p (n) = c ; lim π i (n) = 0 .
n→ ∞
b n→ ∞
x m (a − c )
(ii) El acuerdo de colusión simétrico, x =
, i = 1,..., n no es equilibrio
=
n
2bn
m
i
(a − c)(n + 1)
xm
x m ( a − c)
m
m
de Nash ya que:
= fi ((n − 1) ) = f i ( x−i ) > xi =
=
.
4bn
n
n
2bn
π id = π i ( fi ( x−mi ), x−mi ) =
(n + 1) 2 (a − c) 2
16bn 2
(iii) Un juego es un dilema del prisionero si cada jugador tiene una estrategia
dominante, y el equilibrio de Nash resultante no es eficiente (existe otra asignación que
proporciona mayores pagos a ambos jugadores). El juego de duopolio de Cournot no es
un dilema del prisionero, ya que los jugadores no tienen estrategias dominantes. Aunque
es cierto que las empresas obtendrían mayores beneficios si cooperasen.
π id − π im
(n + 1) 2
(iv) δ (n) = d
=
π i − π i* (n + 1)2 + 4n
d δ ( n)
>0
dn
lim δ (n) = 1
n →∞
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Poder de Mercado y Estrategia
Colección de problemas
7.- Considere un mercado con n empresas que producen un bien homogéneo. La función
inversa de demanda es p(x) = a – x y todas las empresas tienen el mismo coste
marginal constante, c (no hay costes fijos y a > c).
(i) Suponga que n = 3 y las tres empresas eligen simultáneamente sus niveles de
producción. Obtenga la función de mejor respuesta de la empresa i ante las
producciones de las demás empresas, fi(x-i). Calcule la producción de cada empresa en
el equilibrio de Cournot-Nash, la producción de la industria, el precio de equilibrio y el
beneficio de cada empresa.
(ii) Considere el siguiente juego en tres etapas:
Etapa 1: la empresa 1 elige su nivel de producción x1≥ 0.
Etapa 2: la empresa 2 elige su nivel de producción x2≥ 0, después de observar x1.
Etapa 3: la empresa 3 elige su nivel de producción x3≥ 0, después de observar x1 e x2.
(a) Obtener el equilibrio perfecto en subjuegos, las producciones de las empresas, el
precio de mercado y los beneficios.
(b) Obtenga otro equilibrio de Nash que no sea perfecto en subjuegos. Explique su
respuesta.
(iii) Considere el siguiente juego en tres etapas:
Etapa 1: la empresa 1 elige su nivel de producción x1≥ 0.
Etapa 2: la empresa 2 elige su nivel de producción x2≥ 0, sin observar x1.
Etapa 3: la empresa 3 elige su nivel de producción x3≥ 0, sin observar x1 e x2.
(a) Represente el juego en forma normal.
(b) Obtenga el equilibrio de Nash y el equilibrio perfecto en subjuegos. Compare la
solución con el equilibrio de Cournot.
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Poder de Mercado y Estrategia
Colección de problemas
Solución
a−c
3(a − c)
 a − c − x− i 
*
,0  ; xi* =
, i = 1, 2, 3; x =
;
2
4
4


(i) fi(x-i) = max 
p* =
a + 3c * (a − c) 2
; πi =
, i = 1, 2, 3.
4
16
(ii) (a)
EPS: x1 =
*
a−c
 a − c − x1 
= x m ; x2* ( x1 ) = max 
,0  ;
2
2


 a − c − x1 − x2 
x3* ( x1 , x2 ) = max 
,0 
2


x3* = x3* ( x1* , x2* ) =
π 1* =
x1* =
a−c
;
2
x2* = x2* ( x1* ) =
a−c
;
4
a − c * 7(a − c) * a + 7c
;x =
;p =
8
8
8
(a − c) 2 * (a − c) 2 * (a − c) 2
; π2 =
; π3 =
.
16
32
64
(b) x1 =
a−c
a − c

a − c

; x2 ( x1 ) = 
, ∀ x1  x3 ( x1 , x2 ) = 
, ∀ x1 e x2  .
4
 4

 4

8.- Considere un duopolio de Bertrand que produce un bien homogéneo. La función de
demanda es x ( p ) = 100 p
−2
y las empresas tienen el mismo coste marginal constante,
c > 0 (no hay costes fijos).
(i) Caracterice el equilibrio de Bertrand-Nash (describa el juego en forma normal, la
demanda residual de cada empresa, defina la noción de equilibrio, muestre que la
solución propuesta es efectivamente un equilibrio de Nash y que es único), obtenga la
producción de la industria en equilibrio y el beneficio de cada empresa.
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Poder de Mercado y Estrategia
Colección de problemas
(ii) ¿Cuáles serían el precio y la producción de monopolio en este mercado? ¿Qué
combinación de estrategias representaría el acuerdo de colusión? Muestre que el
acuerdo de colusión no se puede sostener como equilibrio.
(iii) Compare la producción agregada del equilibrio de Bertrand con la producción
eficiente. Calcule la pérdida irrecuperable de eficiencia.
9. Considere dos empresas que venden productos diferenciados cuyas funciones
inversas de demanda vienen dadas por:
p1 ( x1 , x2 ) = α − β x1 − γ x2 
 (1)
p2 ( x1 , x2 ) = α − β x2 − γ x1 
Las funciones directas de demanda son:
x1 ( p1 , p2 ) = a − bp1 + dp2 
 (2)
x2 ( p1 , p2 ) = a − bp2 + dp1 
(i) Muestre que a =
α
β +γ
;b =
β
β −γ
2
2
yd =
γ
β −γ 2
2
.
Suponga que los costes de producción de las empresas son nulos.
(ii) Obtenga el equilibrio de Nash cuando las empresas compiten simultáneamente en
cantidades (equilibrio de Cournot).
(iii) Obtenga el equilibrio de Nash cuando las empresas compiten simultáneamente en
precios (equilibrio de Bertrand).
(iv) Muestre que, en comparación con los resultados en Bertrand, las producciones de
las empresas son menores y los precios mayores en Cournot.
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Poder de Mercado y Estrategia
Colección de problemas
Solución
(ii) xi =
c
α
αβ
, pic =
, i = 1,2.
2β + γ
2β + γ
(iii) pi =
a
ab
, xib =
, i = 1, 2.
2b − d
2b − d
(iv) pi =
α (β − γ ) b
αβ
, xi =
, i = 1, 2.
2β − γ
( β + γ )(2 β − γ )
b
b
Por tanto, pi < pi , xi > xi , i = 1,2.
b
c
b
c
10