Clase 3: Teorema de Fundamental de la Aritmética

Clase 3: Teorema de Fundamental de la Aritmética
Dr. Daniel A. Jaume,*
12 de agosto de 2011
1.
Primos
Definición 1.1 Un entero positivo p se dice que es un número primo si
tiene exactamente 2 divisores positivos distintos. Los cuales resultan ser 1 y
el mismo p.
De la definición anterior se desprende que 1 no es primo. Los primeros
25 primos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Existen 455042511 números primos menores que 10.000.000.000, según
consta en la página web: http://www.prime-numbers.org/
Los primos son los ladrillos con los que se construye (multiplicativamente) a los naturales.
Un número natural mayor que uno que no es primo se dice que es compuesto. Por ejemplo, 6 = 2 × 3 por lo que 6 no es primo, y por lo tanto 6 es
un número compuesto.
Ejercicio 1.2 Demostrar que todo número compuesto tiene divisores positivos menores que él mismo, pero mayores que 1: Si n ∈ N es compuesto,
entonces existe d ∈ N tal que d|n y 1 < d < n.
Proposición 1.3 Sea n es un número compuesto. Si n = d1 d2 y 0 ≤ d1 ≤
√
d2 , entonces d1 ≤ n.
Ejercicio 1.4 Demostrar la proposición anterior.
*
Departmento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Fı́sico-Matemáticas y Naturales,
Universidad Nacional de San Luis, Ejército de los Andes 950, 5700 San Luis, Argentina.
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1
Como una primera aproximación al teorema fundamental de la aritmética,
tenemos el siguiente resultado
Teorema 1.5 Todo número compuesto es divisible por algún número primo.
Demostración Sea a un número compuesto. Definamos el siguiente subcojunto de los enteros positivos:
S = {x ∈ N :
x > 1 y x|a}
Claramente S 6= ∅ (pues |a| ∈ S). Por el principio del buen orden, S tiene
elemento mı́nimo, llamémosle p.
Veamos que p no puede ser compuesto. Si p fuera compuesto tendrı́a
un divisor c mayor que 1 y menor que p, pero por la transitividad de la
divisibilidad c|a, luego c ∈ S, lo cual contradice que p sea el mı́nimo de S.
Por lo tanto p no puede se compuesto, entonces p es primo.
El siguiente lema es de suma importancia:
Lema 1.6 (de Euclı́des) Sean a y b enteros. Si p es un primo y p|ab,
entonces p|a o p|b
Recordemos que esto es falso si p no es primo: 12 = 3 × 4 y 6|12 pero ni
6 divide 3, ni 6 divides a 4 (6 - 3 y 6 - 4).
Demostración Ya hemos probado que si a|bc y (a, b) = 1, entonces a|c
(corolario 3.4 de la clase 2). El lema que queremos probar es consecuencia
del resultado citado.
Tenemos dos casos: o p|b, en cuyo caso el lema ya estarı́a probado, o
p - b, en cuyo caso tenemos que b y p son coprimos: (b, p) = 1 (¿Por qué?),
y como p|ab, por el corolario 3.4 de la clase 2, tenemos que p|a.
Ejercicio 1.7 (Lema de Euclı́des generalizado) Probar por inducción:
Si p es un número primo que divide al producto a1 a2 · · · · · an , entonces p
debe dividir uno de los factores ai .
Lema 1.8 Sean p1 , . . . , pn y q1 , . . . , qm números primos. Si p1 · · · pn = q1 · · · qm ,
entonces p1 = qj para algún j ∈ {1, . . . , m}.
Demostración Por la generalización del lema de Euclı́des (ver ejercicio
1.7) sabemos que si un primo devide un producto de m números debe dividir
alguno de los factores. Como
p 1 · · · p n = q1 · · · qm
tenemos que p1 |q1 · · · qm , por lo que debe existir j ∈ {1, . . . , m} tal que p1 |qj .
Ahora qj es primo, y como tal sólo es divisible por 1 y por el mismo, como
p1 6= 1 tenemos que p1 = qj .
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Destacamos que en el transcurso de la demostración anterior dedujimos
la siguiente propiedad: si p y q son primos y p|q, entonces p = q.
Moraleja: las demostraciones suelen ser cumplidoras, dan más de lo que
se les pide.
Ejercicio 1.9 Demostrar la siguiente afirmación: Dado k ≥ 2, tomar a, b1 , b2 , . . . , bk
enteros. Si (a, bi ) = 1 para todo i = 1, 2, . . . , k, entonces (a, b1 b2 · · · bk ) = 1
Ejercicio 1.10 Sea a es un entero mayor que 1. Suponga que a tiene la
siguiente propiedad: para todo par de enteros b y c, si a|bc, y a - b, entonces
a|c. Demostrar que a debe ser primo.
Ejercicio 1.11 Los números primos p y q se dicen primos gemelos si
|p − q| = 2, por ejemplo 3 y 5, 17 y 19, etc. Suponga que p y q sean primos.
Probar que pq + 1 es un cuadrado si, y sólo si p y q son primos gemelos.
Ejercicio 1.12 Probar que si p y q son primos gemelos mayores que 3,
entonces p + q es divisible por 12.
Ejercicio 1.13 ¿ Es primo 44497?
2.
Teorema fundamental de la aritmética
El teorema fundamental de la aritmética establece que los primos son los
ladrillos multiplicativos con los que están construidos todos los naturales:
todo número natural puede escribir de forma única , salvo por el orden de
los factores, como producto de primos.
La frase, “salvo por el orden” hace referencia a que consideraremos como
iguales a las factorizaciones 2 · 2 · 3 · 31 y 31 · 2 · 3 · 2. Pues cada primo aparece
la misma cantidad de veces en cada una de ellas.
El teorema fundamental de la aritmética es una de laa razones por la
cual no se incluye al 1 entre los primos.
Usando la conveción de que el producto vacı́o (sin ningún factor) es igual
a 1.
Teorema 2.1 (Teorema Fundamental de la Aritmética) Todo entero
positivo puede ser escrito de forma única, salvo orden de los factores, como
producto de números primos.
Demostración Primero probaremos que siempre es posible factorizar
un entero positivo mayor que uno como producto de primos, y luego demostraremos que tal factorización es única (salvo orden).
Si n > 1 es primo, ya estamos hechos: n es un “producto” de primos de
un único factor. En caso contrario, n es compuesto: n = ab con 1 < a, b < n.
Por hipótesis inductiva (a todo esto... ¿Cuándo comenzamos la inducción?):
3
tanto a como b se pueden escribir como producto de primos: a = p1 p2 · · · pr
y b = q1 q2 · · · qs , asi que
n = ab = p1 p2 · · · pr · q1 q2 · · · qs
por lo que se puede expresar a n como producto de primos.
Ahora abordaremos la unicidad. Haremos una demostración de unicidad
por inducción (fuerte).
El 1 (uno) tiene solo una representación como producto de primos: el
producto vacı́o. Similarmente el 2 tiene obviamente una única representación
como producto de primos. Supongamos que el resultado es verdadero para
todo entero mayor que 1 y menor que a. Ya hemos demostrado que a se
puede factorizar como producto de primos, supongamos que tenemos dos de
dichas factorizaciones:
p1 p2 · · · pn = a = q1 q2 · · · qm
Queremos probar que estas factorizaciones son iguales.
Si a es primo, estamos hechos: n = m = 1 y p1 = a = q1 ya que
un número primo no puede ser factorizado como producto de dos (o más)
primos.
Asumamos entonces que a no es primo, entonces cualquier factorización
de a como producto de primos debe tener al menos 2 factores. Ahora,
p1 |q1 · · · qm , entonces por el lema de Euclı́des generalizado (ejercicio 1.7)
tenemos que existe j ∈ {1, . . . , m} tal que p1 = qj . Por lo tanto
p2 · · · pn =
a
a
=
= q1 · · · qj−1 qj+1 · · · qm
p1
qj
Note que pa1 ∈ N y que 2 ≤ pa1 < a.
Por hipótesis inductiva, las dos factorizaciones de pa1 son iguales, y como
p1 = qj tenemos que n = m y que ambas listas de primos tienen los mismos
primos (salvo tal vez por el orden).
Los griegos ya sabian que habia infinitos primos (a todo esto . . . ¿Que
significa que un conjunto sea infinito?). Nosotros usaremos el Teorema Fundamental de la Aritmética para deducir este hecho.
Teorema 2.2 (de Euclı́des) Existen infinitos números primos
Demostración Diremos que un conjunto es infinito, si no es finito.
Sea p1 , p2 , . . . , pn un conjunto finito de números primos. Consideremos
el entero
N = p1 p2 · · · pn + 1
por lo tanto N > 1 (¿Por qué?)). Luego existe un primo p tal que p|N .
Si p = pi para algún i ∈ {1, . . . , n}, entonces p|1 (¿Por qué?)), lo cual es
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absurdo (¿Por qué?)). Por lo tanto p 6= pi para todo i = 1, . . . , n. Esto
significa que, para cualquier conjunto finito de números primos, siempre
existe un primo que no pertenece al conjunto, por lo tanto los primos son
infinitos.
A todo esto, ¿Cuando usamos el teorema fundamental de la aritmética
en la demostracón anterior?
Ejercicio 2.3 Probar que hay infinitos primos de la forma 4n − 1
Ejercicio 2.4 ¿Hay infinitos primos de la forma 6n − 1?
3.
Notación exponencial
Al escribir la factorización de un entero positivo como producto de
primos es conveniente usar la notación exponencial: en lugar de escribir
144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3, preferimos escribir 144 = 24 · 32 .
Definición 3.1 Dado p primo, la función vp : N → N definida por
pe |n}
vp (n) := máx{e ∈ Z : e ≥ 0,
(1)
Recibe el nombre de valor p-ádico de n.
El valor p-ádico de n me da el máximo exponente tal que pe divide a n. Por
ejemplo v2 (144) = 4, mientras que v5 (144) = 0.
Con esta función podemos escribir el teorema fundamental de la aritmética asi: todo entero positivo n se tiene que:
Y
n=
pvp (n)
(2)
p
Donde el producto corre sobre todos los primos y aplicamos la convención
de que el producto vacı́o da uno (es el caso de 1, pues no hay primos que
dividan a 1.
Proposición 3.2 Sean a y b enteros positivos. a|b sii para todo primo p, se
tiene que vp (a) ≤ vp (b).
Demostración Si a|b, existe un entero q tal que aq = b. Aplicando el
teorema fundamental de la aritmética a cada factor tenemos que:
aq = b
!
!
Y
pvp (a)
Y
·
p
pvp (q)
=
p
!
Y
pvp (b)
p
!
Y
vp (a)+vp (q)
p
p
!
=
Y
p
vp (b)
p
(3)
5
Luego, por el teorema fundamental de la aritmética (la parte de la unicidad),
tenemos que para todo primo p
vp (a) + vp (q) = vp (b)
lo que implica que para todo primo p
vp (a) ≤ vp (b)
Para probar la “vuelta” supongamos que vp (a) ≤ vp (b) para todo primo
p, definamos
Y
pvp (b)−vp (a)
q=
p
Claramente
!
Y
aq =
p
!
vp (a)
·
p
Y
vp (b)−vp (a)
p
p
!
Y
=
pvp (a)+(vp (b)−vp (a))
p
!
Y
=
p
vp (b))
p
=b
(4)
Por lo que a|b.
Teorema 3.3 Sean a y b enteros positivos, entonces:
Y
(a, b) =
pmı́n{vp (a),vp (b)}
(5)
p
[a, b] =
Y
pmáx{vp (a),vp (b)}
(6)
p
(7)
Ejercicio 3.4 Demostrar el teorema anterior, usar el teorema fundamental
de la aritmética.
La siguiente proposición da una relación muy util entre el mcm y el mcd
de dos enteros:
Proposición 3.5 (a, b)[a, b] = ab
6
Demostración Este resultado es una consecuencia trivial de las siguientes ecuaciones y el teorema fundamental de la aritmética en notació exponencial
máx{a, b} + mı́n{a, b} = a + b
máx{a, b} − mı́n{a, b} = |a − b|
a + b |a − b|
máx{a, b} =
+
2
2
a + b |a − b|
mı́n{a, b} =
−
2
2
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
En realidad, sólo nos hace falta la primera de ellas, pero me pareció oportuno
poner el resto.
Ejercicio 3.6 Obviamente: probar cada una de las igualdades anteriores
Ejercicio 3.7 Hallar el mcm de:
1. 1001 y 777
2. 169 y 303
3. 561 y 3003
4. 3.630.000 y 915.062.500
Ejercicio 3.8 Encontar el mcd de 27 · 32 · 56 y 24 · 35 · 56 · 7.
Ejercicio 3.9 Encontar el mcd de 27 · 32 · 45 · 56 · 65 y 24 · 35 · 43 · 53 · 67 .
Ejercicio 3.10 Si (a, b) = p3 , con p primo, ¿Cuánto vale (a2 , b2 )?
Ejercicio 3.11 Si (a, b) = 8, ¿Cuáles son los posibles valores de (a3 , b4 )?
Ejercicio 3.12 Demostrar para cualesquiera enteros a, m, n, se tiene que
(a, m)|(a, mn)
Ejercicio 3.13 Demostrar: Si (a, m) = d y (b, m) = 1, entonces (ab, m) = d
Ejercicio 3.14 Demostrar: Si a|bc y (a, b)|c, entonces a|c2 .
Ejercicio 3.15 Demostrar: Si (a, b) = 1 y c es un entero, entonces existe
algún entero m tal que (a + bm, c) = 1.
Ejercicio 3.16 Demostrar: Si (a, b) = 1, entonces (n, ab) = (n, a)(a, b) para
todos los números n, a, b.
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Ejercicio 3.17 Probar que m[a, b] = [ma, mb]
Ejercicio 3.18 Demostrar la proposición 3.5 usando el ejercicio anterior
b
a
, (a,b)
) = 1 (algo que ya deberı́a haber
usando el ejercicio 3.17, y que ( (a,b)
probado).
Ejercicio 3.19 Probar: m = [a, m] sii a|m
Ejercicio 3.20 Dados dos números naturales e y d, demostrar que existen
naturales a y b tales que (a, b) = d y [a, b] = e, si y sólo si d|e
Ejercicio 3.21 Probar que el menor k > 0 tal que a|bk es k =
8
a
(a,b) .