Teor´ıa del Riesgo Ejercicios 1

Teorı́a del Riesgo
Ejercicios 1
Mogens Bladt
23/8, 25/8, 2005
Ejercicio 1: Sean X, Y variables aleatorias i.i.d. ∼ exp(β). Calcule la distribución de X + Y .
Ejercicio 2: Sean X1 , ..., Xn i.i.d. ∼ exp(β). Calcule la distribución de X1 +
... + Xn .
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D
D
Ejercicio 3: Supongamos que X1 ≤ X2 y Y1 ≤ Y2 . Demuestre que X1 − Y2 ≤
X2 − Y1 .
Ejercicio 4: La idea con este ejercicio es calcular el tiempo de esperado hasta
se ocurra la sucesión ’66’ en tiros consecutivos con un dado. Todo se basa
en el concepto de un juego justo. Un juego (apuesta) es justo si la ganancia
esperado es igual a la prima pagado por participar (cantidad apostado).
a) En un tiro con un dado se apuesta $1 que sale 6. En caso afirmativo
se pagara $6, de modo contrario se pierde todo. Demuestre que este es un
ejemplo de un juego justo.
b) Ahora considere un juego ligeramente extendido. En dos tiros consecutivos con el dado se apuesta $1 que primero sale 6. En caso afirmativo se
pagara $6, de lo contrario se pierde. Si gano la primera apuesta se apostara
$6 que en el siguiente tiro sale 6 también. En caso afirmativo se pagara $36,
de lo contrario se pierde todo. Demuestre que dicho juego también es un
juego justo.
c) Ahora se repite tiros con el dado hasta saldrá 66 en dos tiros consecutivos.
Sea T66 el número de tiros correspondiente. Iniciando la sucesión de tiros,
después de cada tiro entrara un nuevo jugador apostando en el 66 de la
forma indicado en b). Por ejemplo, si la sucesión es de 132544536466, entonces
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iniciará un jugador una apuesta antes del primer tiro (el cual resulto en 1),
apostando que el primer tiro sera 6 y si fuera, que el segundo sera 6 también.
Antes del segundo tiro (el cual resulto en 3, un nuevo jugador entrará y
apostará que el primer tiro para el (el segundo en total) sale 6 y si en caso
afirmativo el segundo para el (el tercer en total) sale en 6 también. De este
forma entrará un nuevo jugador después cada tiro apostando como en b).
Cada jugador apostara $1. Demuestre que la cantidad de dinero apostados
por todos los jugadores es de T66 .
d) Argumenta que el juego de c) es un juego justo involucrando a todas los
jugadores, y que las ganancias de todos los jugadores suman a 42. Concluye
que IE(T66 ) = 42.
e) De la misma forma demuestre que IE(T56 ) = 36.
f ) ¿Puedes explicar porque T56 < T66 ? (Pista: considere las probabilidades
de obtener 56 y 66 respectivamente en 3 tiros).
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