PROBLEMAS Tema 3 3.1. Un Kg de cobre se comprime a una temperatura constante (300 K) desde una presión de 1 Kg/cm2 hasta otra de 4000 Kg/cm2. Suponiendo que los coeficientes de dilatación isóbara y de compresibilidad isoterma permanecen constantes en el proceso, calcular el trabajo casiestático realizado. Datos.- vi = 7.062 ml/mol; χT = 7.61 10-7 cm2/Kg; Peso atómico Cu = 63.492 g/mol. Ayuda.- De acuerdo con dV=αVdT-χTVdP (*), para un proceso isotermo tendremos δW=-χTVPdP. La dependencia de V con P, para dicho proceso, la obtendremos de (*). Solución. W = -66.22 julios 3.2. Un sistema globalmente aislado consta de dos subsistemas cuyas ecuaciones energéticas son: U1 = 1.5 n1 RT; U2 = 2.5 n2 RT. El primer subsistema está integrado por 2 moles y se encuentra, inicialmente, a una temperatura de 250 K, mientras que el segundo subsistema está integrado por 3 moles y se encuentra inicialmente a 350 K. Si ambos sistemas se colocan en contacto térmico a través de un tabique diatérmano, ¿cuál será la energía interna de cada subsistema una vez alcanzado el equilibrio térmico. Solución. U1f = 1915.98 cal. U2f = 4789.96 cal. 3.3. Dos sistemas de partículas tienen las siguientes ecuaciones de estado: U(1) = 1.4895 T(1); P(1) V(1) = 0.993 T(1) U(2) = 3.7237 T(2); P(2) V(2) = 1.4895 T(2) (U en calorías, P en atms, V en litros y T en grados Kelvin) Los dos sistemas están contenidos en un cilindro aislado, separados por un pistón diatérmano y móvil. Las temperaturas iniciales son Ti(1) = 200 K y Ti( 2) = 300 K , y el volumen total es 20 litros. a) Calcular la energía interna y el volumen de cada subsistema en el equilibrio. b) Calcula la presión y la temperatura finales. Solución. a) U (f1) = 404.292 cal. U (f 2) = 1010.716 cal. b) Pf = 33.69 atms, Tf =271.43 K 3.4. Un gas ideal se somete a las evoluciones representadas en la figura adjunta: P 8 1 Isoterm. 2 recta Adiabát. (γ = 1.4) P3 1 V2 3 V3 V Calcular las variaciones de energía interna, el calor y el trabajo puestos en juego en cada proceso y en el ciclo, sabiendo que en la etapa isoterma y en la adiabática el volumen se duplica. Solución. ∆U12 = 0; W12 = Q12 = 5.54 atm.l; ∆U23 = - 4.85 atm.l; W23 = 4.85 atm.l; Q23=0; ∆U31 = 4.85 atm.l; W31 = -14.27 atm.l; Q31 = -9.42 atm.l; ∆Uciclo = 0; Wciclo = Qciclo = -3.88 atm.l 3.5. a) Un mol de gas ideal para el que CV = 4.14+0.006 T cal/mol K, se expansiona adiabáticamente contra una presión externa constante, Pext, desde una temperatura de 298 K hasta un estado en el que el volumen sea tres veces el inicial. Hállese la temperatura final. b) Si la expansión adiabática se hubiera llevado a cabo casiestáticamente, desde la misma temperatura inicial 298 K y hasta el mismo volumen final, tres veces mayor que el inicial, ¿cuál sería entonces la temperatura?. Solución. a) Tf = 242.30 K, b) Tf = 202.11 K. 3.6. a) Demostrar que el calor transferido durante un proceso infinitesimal casiestático C C de un gas perfecto puede expresarse por: δQ = V VdP + P PdV . nR nR b) A partir de a), demuestra para proceso adiabático casiestático que PVγ = cte. c) Un gas ideal que ocupa un volumen de 1.5 litros y se encuentra a una presión de 10 Kg/cm2, experimenta una expansión adiabática reversible hasta que la presión desciende a 1.25 Kg/cm2. Suponiendo que γ=1.4=cte, ¿cuál será Vf y el trabajo realizado?. Solución. c) Vf = 6.62 litros, W = 1647.6 Julios. 3.7. Para un sistema dado y en un proceso adiabático casiestático se cumple P=cteV-5/3. Hallese el trabajo casiestático realizado sobre el sistema y el calor neto intercambiado en cada uno de los tres procesos a), b) y c) que se indican en la figura. Todos los procesos se inician en el estado A (P=32 atms, V=1 litro) y finalizan en el estado B (P=1 atm y V=8 llitros). P(atm) 32 A (a) (b) Proceso adiabático (P=cteV-5/3) 1 (c) B 1 8 V (litros) Solución. a) W = 224 atm.l, Q = 188 atm.l. b) W = 115.514 atm.l, Q = 79.514 atm.l. c) W = 7 atm.l, Q = - 29 atm.l. 3.8. Un cilindro rígido contiene un pistón “flotante” libre para moverse en su interior sin fricción. Inicialmente el pistón divide el cilindro en dos partes iguales, y en cada lado del pistón se tiene un mol del mismo gas ideal a 278 K y 1 atm. En la parte izquierda (parte A) se incrusta un calefactor de resistencia eléctrica que proporciona calor muy lentamente hasta que la temperatura del lado A alcanza el valor 443 K. Si tanto el cilindro como el pistón son aislantes perfectos para el calor, calcula la cantidad de calor suministrada por la resistencia eléctrica. Las capacidades caloríficas molares del gas con constantes y valen CV = ·3R/2 y CP = 5R/2. Solución. Q = 2519.9 Julios. Ayuda. El cálculo del volumen total es inmediato con los datos iniciales, y este volumen será igual en el estado final. Expresando Vtotal en función de datos finales tendremos una ecuación en Pf y TBf. El apartado c) de la cuestión 3.4 es aplicable a la parte B del cilindro (¿por qué?). Calculada TBf, como TAf es un dato, podemos calcular el ∆Utotal. ¿Qué relación guarda Q pedido con ∆Utotal?. ¿Por qué?. 3.9. Un pistón de superficie A = 0.3 m2 divide un cilindro en dos partes. Dicho pistón se mantiene fijo mediante una pestaña. A la izquierda del pistón se encuentra encerrado gas helio a 4 atms de presión y 20 ºC. En el lado derecho hay un muelle que ejerce una fuerza elástica hacia la izquierda f = 3 104 x Newton; donde x es la distancia entre el pistón y el extremo izquierdo del cilindro. Inicialmente xi = 0.4 m. Quitamos la pestaña y permitimos que el pistón se mueva hasta que se alcance una situación de equilibrio. ¿Cuál es la temperatura y presión del helio en esta situación final de equilibrio? He 4 atms 20 ºC vacío xi=0.4 m L=1.5 m. Datos y notas.- Considerar el helio como un gas ideal de capacidad calorífica a volumen constante CV = 12.5 J/mol K. Suponer que las paredes del cilindro y del pistón son adiabáticas. Suponer despreciable la variación de temperatura del muelle (de esta forma el incremento de energía interna del muelle se traducirá en un incremento de energía potencial elástica del mismo). 1 atm = 1.013 105 N/m2. Solución.- Tf = 227.08 K, Pf = 1.11 atms