Componentes Simétricas

Cátedra de Teoría de Circuitos
Apunte de Componentes simétricas
Componentes Simétricas
1. Introducción
Este método fue desarrollado en 1918 por D. L. Fortescue en “ Método de las
coordenadas simétricas”, y se aplica a la resolución de redes polifásicas, para soluciones
analíticas o analizadores de redes. Sirve para cualquier sistema polifásico desequilibrado:
en el cual n fasores relacionados entre sí pueden descomponerse en n sistemas de
vectores equilibrados (componentes simétricos).
En un sistema trifásico que esta normalmente balanceado, las condiciones
desbalanceadas de una falla ocasionan, por lo general, que haya corrientes y tensiones
desbalanceados en cada una de las tres fases. Si las corrientes y tensiones están
relacionados por impedancias constantes, se dice que el sistema es lineal y se puede
aplicar el principio de superposición . La respuesta en tensión del sistema lineal a las
corrientes desbalanceadas se puede determinar al considerar la respuesta separada de
los elementos individuales a las componentes simétricas de las corrientes. Los elementos
de interés del sistema son las máquinas, transformadores, líneas de transmisión y cargas
conectadas tanto en estrella como en triángulo.
Básicamente el método consiste en determinar las componentes simétricas de las
corrientes en la falla, y luego encontrar las corrientes y tensiones en diversos puntos del
sistema. Es sencillo y permite predecir con gran exactitud el comportamiento del sistema.
Su aplicación más importante es el cálculo de fallas desbalanceadas en sistemas
trifásicos simétricos, en condiciones de régimen permanente, aunque con una sola falla
simultánea por vez. En caso de haber varias fallas la solución puede ser muy difícil o
imposible. En tales casos son preferibles los métodos generales, con variables de fase,
aplicando los métodos de mallas o nodos.
Esta transformación puede interpretarse como una aplicación particular de las ecuaciones
de redes en formulación impedancia (o admitancia).
Se trata de una transformación de variables, de la misma forma que en el método de
mallas se trabaja con un juego de variable nuevas i’ (corrientes de malla) para facilitar la
resolución de las variables primitivas i (corrientes de las ramas). Si llamamos C a la
matriz de transformación, queda:
i' = C ⋅ i
Normalmente los “circuitos de secuencia” son simples, se podrán expresar en formulación
impedancia (a veces admitancia) y a lo sumo habrá que aplicar el teorema de Thevenin o
el de Norton.
2.
Definiciones
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De acuerdo con el teorema de Fortescue, tres fasores desbalanceados de un sistema
trifásico se pueden descomponer en tres sistemas balanceados de fasores. Los conjuntos
balanceados de componente son:
1)Componentes de secuencia positiva que consisten en tres fasores de igual magnitud
desfasados uno de otro por una fase de 120º y que tienen la misma secuencia de fase
que las fases originales.
2)Componentes de secuencia negativa que consiste en tres fasores iguales en magnitud,
desplazados en fase uno de otro en 120º y que tienen una secuencia de fase contraria a
las fases originales.
3)Componentes de secuencia cero (homopolares) que consisten en tres fasores iguales
en magnitud y con un desplazamiento de fase cero uno de otro.
Se acostumbra designar a las tres fases de un sistema con A, B, C de modo que la
secuencia directa sea ABC.
Trabajando con fasores, la transformación de Fortescue clásica es:
Diagrama fasorial de
tensiones a neutro en
un sistema trifásico
j 120º
Operador a= 1 e
a
UC
UA
1
UB
a
2
Figura N° 1
⎧ &0 1 &
⎫
&
&
⎪U = 3 ⋅ (U A + U B + U C ) Homopolar (sec .cero) ⎪
⎪⎪
⎪⎪ respecto a la
1
⇒ Comp.Simétricas ⎨U& + = ⋅ U& A + aU& B + a 2U& C Directa (sec . positiva ) ⎬
3
⎪
⎪ fase " A"
1
−
2
⎪U& = ⋅ U& A + a U& B + aU& C Inversa (sec .negativa)⎪
⎪⎩
⎪⎭
3
(
(
)
)
⎧ U& A = U& 0 + U& + + U& − = U& A0 + U& A+ + U& A−
⎪
∴ ⎨U& B = U& 0 + a 2U& + + aU& − = U& B0 + U& B+ + U& B−
⎪U& = U& 0 + aU& + + a 2U& − = U& 0 + U& + + U& −
C
C
C
⎩ C
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matricialmente:
variables nuevas
variables primitivas
[U& ' ] = [s] [U& ]
−1
⎡U& 0 ⎤
⎡1 1
⎢ &+⎥ 1⎢
⎢U ⎥ = 3 ⎢1 a
⎢U& − ⎥
⎢⎣1 a 2
⎣ ⎦
1 ⎤ ⎡U& A ⎤
⎢ ⎥
a 2 ⎥ ⋅ ⎢U& B ⎥ ó
⎥
a ⎥⎦ ⎢⎣U& C ⎥⎦
[U& ] = [s] [U& ]
0+ −
−1
[1]
ABC
esta expresión es la transformación de Fortescue inversa.
⎡U& A ⎤ ⎡1 1
⎢& ⎥ ⎢
2
⎢U B ⎥ = ⎢1 a
⎢U& C ⎥ ⎢⎣1 a
⎣ ⎦
1 ⎤ ⎡U& 0 ⎤
⎢ ⎥
a ⎥⎥ ⋅ ⎢U& + ⎥ ó
a 2 ⎥⎦ ⎢⎣U& − ⎥⎦
[U& ] = [s]⋅ [U& ] ó
0+ −
ABC
[U ] = [s] [U ']
[2]
La última es la transformación de Fortescue directa. Se comprueba que s-1 es inversa de
s, en el desarrollo.
Lo hecho corresponde a la descomposición de un sistema asimétrico en tres sistemas
simétricos, de los cuales sólo es necesario definir las componentes de una sola fase (fase
de referencia, fase A), para luego hallar las otras componentes.
Como :
∑U
LINEA
=0
en un sistema trifásico, siempre se cumple Ulinea 0 =0, cualquiera que sea el desequilibrio.
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Las corrientes de una determinada secuencia solamente dan lugar a caídas de tensión de
la misma secuencia en circuitos conectados ya sea en estrella o triángulo con
impedancias simétricas en cada fase. Este resultado (el más importante) permite dibujar
tres circuitos de secuencia monofásicos, que considerados de manera simultánea,
contienen la misma información que el circuito original.
Las tensiones en los circuitos de secuencia positiva y negativa se pueden considerar
como medidos respecto a la tierra o al neutro.
Puede verse un ejemplo de un sistema completo en la Figura N° 2.
I+c
I-c
Ia
Ic
I 0c
I 0a
I-a
0
Ib
I+a
Ib
I+b
I-b
+
Ia
I-a
I 0a
Figura N° 2: Terna de corrientes asimétricas (Ia, Ib, Ic) descompuesta en componentes simétricas
(tres fasores se transforman en nueve)
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Si se utiliza la transformación clásica de Fortescue, como las variables nuevas sólo
corresponden a una fase, la potencia resultará un tercio de la real. Existen otras
transformaciones alternativas que permiten obtener la potencia real a partir de las
variables nuevas en forma directa. Se desarrolla este tema más adelante.
3. Valores base
Las líneas de transmisión de potencia se operan a niveles en los que el kV es la unidad
más conveniente para expresar sus tensiones. Debido a que se transmite una gran
cantidad de potencia, los términos comunes son los kilowatts o megawatts y los
kilovoltamperes o megavoltamperes. Sin embargo, esas cantidades al igual que los
amperes y los ohms, se expresan frecuentemente en por ciento o en por unidad de un
valor base o de referencia especificado para cada una. Por ejemplo, si se selecciona una
base de tensión de 120 KV, las tensiones de 108, 120 y 126 kV equivaldrán a 0,90; 1,00;
1.05 en por unidad o a 90, 100 y 105% respectivamente.
El valor en por unidad de cualquier cantidad se define como la relación de la cantidad a
su base y se expresa como un decimal. La relación en por ciento es 100 veces el valor en
por unidad.
La tensión, la corriente, los kilovoltamperes y la impedancia están relacionados de tal
manera que la selección de los valores base para cualquiera dos de ellos determina la
base de las dos restantes. Si se especifican los valores de la corriente y de la tensión, se
pueden determinar las bases de impedancias y de kilovoltamperes. La impedancia base
es aquella que tiene una caída de tensión igual a la del tensión base, cuando la corriente
que fluye a través de ella es igual a la del valor base de corriente.
Si se trata de máquinas eléctricas, normalmente se definen SB y UB, iguales a los [MVA] y
[kV] nominales de la máquina. Resultan así los otros valores base:
IB =
ZB =
SB
3 ⋅U B
U B / 3 U B U B2
⋅
=
, etc
IB
U B SB
Son valores de referencia para magnitudes de igual naturaleza. Por ejemplo, una
impedancia Z puede expresarse como:
Z [o / 1] =
Z
con
ZB
[Z ] = [Z B ] = Ω
y [Z ] = p.u. = [o / 1]
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Todas las máquinas tienen valores “por unidad” parecidos. Con las cantidades “por
unidad” se puede operar como si fueran magnitudes físicas.
4. Influencia de la impedancia de neutro
Si se introduce una impedancia Zn entre el neutro y la tierra de una carga trifásica
conectada en estrella entonces la suma de las corrientes de línea es igual a la corriente In
en la trayectoria de retorno a través del neutro. Esto es,
I n = I A + IB + I C
si se expresan las corrientes de línea desbalanceadas en términos de sus componentes
simétricas, se obtiene:
In
= (IA0 + IA+ + IA-) + (IB0 + IB+ + IB-) + (IC0 + IC+ + IC-)
= (IA0 + IB0 + IC0) + (IA+ + IB+ + IC+) + (IA- + IB- + IC-)
= 3IA0 + 0 + 0
Como las corrientes de secuencia positiva y negativa suman cero por separado en el
punto neutro n, no puede haber ninguna corriente de secuencia positiva o negativa en las
conexiones desde el neutro a la tierra, independientemente del valor de Zn . Además la
combinación de todas las corrientes de secuencia cero en n da 3IA0, lo que resulta en una
caída de tensión de 3IA0Zn entre el neutro y la tierra.
Si no hay conexión entre el neutro y la tierra no puede haber flujo de corriente de
secuencia cero porque entonces Zn = ∞, lo que se indica a través del circuito abierto
entre el neutro y el nodo de referencia en el circuito de secuencia homopolar.
5. Impedancias de Secuencia de distintos elementos
La impedancia, transformada por la aplicación simultánea de la transformación de
Fortescue a U e I resulta:
U = Z ⋅ I ⇒ s ⋅ U ' = Z ⋅ s ⋅ I ' ⇒ U ' = s −1 ⋅ Z ⋅ s ⋅ I '
O sea que,
Z ' = s −1 ⋅ Z ⋅ s
[3]
siendo Z las impedancias reales (propias y mutuas). A continuación se analizan las
impedancias transformadas de los elementos del circuito.
Las impedancias que van a “ver” las componentes simétricas en general son diferentes
de las reales.
5.1. Impedancias-Generador sincrónico
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Figura N° 2
Al generador sincrónico siempre se lo considerará en estrella.
Cuando ocurre una falla, en las terminales del generador fluye las corrientes IA, IB e IC en
las líneas . Si la falla involucra la tierra, la corriente que fluye en el neutro del generador
se designa como In y las corrientes de línea se pueden dividir en sus componentes
simétricas independientemente de lo desbalanceadas que estén.
Para cada fase si no hubiera acoplamientos: U=E –ZI, y para las tres fases A, B, C, si se
considera que hay acoplamiento, y no hay impedancia de neutro:
⎡U& A ⎤ ⎡ E& A ⎤ ⎡ Z& AA
⎢& ⎥ ⎢& ⎥ ⎢&
⎢U B ⎥ = ⎢ E B ⎥ − ⎢ Z BA
⎢U& C ⎥ ⎢ E& C ⎥ ⎢ Z& CA
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
Z& AB
Z& BB
Z&
CB
Z& AC ⎤ ⎡ I&A ⎤ ⎡ E& A ⎤ ⎡ Z&
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
Z& BC ⎥ ⋅ ⎢ I&B ⎥ = ⎢ E& B ⎥ − ⎢ Z& m
Z& CC ⎥⎦ ⎢⎣ I&C ⎥⎦ ⎢⎣ E& C ⎥⎦ ⎢⎣ Z& M
Z& M
Z&
Z&
m
Z& m ⎤ ⎡ I&A ⎤
⎥ ⎢ ⎥
Z& M ⎥ ⋅ ⎢ I&B ⎥
Z& ⎥⎦ ⎢⎣ I&C ⎥⎦
Todos los componentes de las matrices son fasores (tensiones y corrientes) o complejos
(Impedancias).
El anterior desarrollo matricial es posible pues el generador es simétrico, siendo
ZAA=ZBB=ZCC=Z: impedancias propias.
Las impedancias mutuas son cíclicamente iguales: ZAB=ZBC=ZCA=ZM, ZBA=ZCB=ZAC=Zm,
siendo Zm distinto de ZM debido a la presencia del rotor, pues está girando.
Cambiando variables resulta:
⎡ Z&
⎡ E& A ⎤
⎡U& A ⎤
⎡U& 0 ⎤
⎢ &+⎥
−1 ⎢ & ⎥
−1 ⎢ & ⎥
−1 ⎢ &
⎢U ⎥ = s ⋅ ⎢U B ⎥ = s ⋅ ⎢ E B ⎥ − s ⋅ ⎢ Z m
⎢ Z& M
⎢ E& C ⎥
⎢U& C ⎥
⎢U& − ⎥
⎣
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
Z& M
Z&
Z&
m
Z& m ⎤ ⎡ I& 0 ⎤
⎥ ⎢ ⎥
Z& M ⎥ ⋅ s ⋅ ⎢ I& + ⎥ =
Z& ⎥⎦ ⎢⎣ I& − ⎥⎦
desarrollando:
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⎤ ⎡I&0⎤
⎡E&0⎤ ⎡Z& +Z&M +Z&m
⎤ ⎡I&0⎤ ⎡E&0⎤ ⎡Z&G0
⎥ ⎢&+⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢&+⎥ ⎢ &+⎥ ⎢
+
= ⎢E&+⎥ −⎢
Z&G
Z& +a2Z&M +aZ&m
⎥⋅ ⎢I ⎥
⎥⋅ ⎢I ⎥ = ⎢E ⎥ −⎢
−
2
−
−
−
⎢E& ⎥ ⎢
Z&G ⎥⎦ ⎢⎣I&−⎥⎦
Z& +aZ&M +a Z&m⎥⎦ ⎢⎣I& ⎥⎦ ⎢⎣E& ⎥⎦ ⎢⎣
⎣ ⎦ ⎣
[4]
Z’ queda diagonal por la condición cíclica anterior. En las nuevas variables sus valores
están desacoplados, o sea que: U0=E0-Z0 I0, etc; es decir, se obtienen tres ecuaciones
independientes que equivalen a tres circuitos monofásicos separados. Se trata de los
“circuitos de secuencia” donde Z0, Z+, Z- son las “impedancias de secuencia”.
Si la máquina trabaja en cortocircuito, como solo genera f.e.m de secuencia positiva:
E0=E-=0, E+=EA. Además U=0 ∴ U0=U+=U-=0 y de las ecuaciones anteriores [4] sólo
queda la segunda: 0=E+-Z+ I+, por lo tanto I+ = (E+/Z+)=(EA/Z+)=IA .
Las otras dos dan I0=I-=0 ∴ IB=a2 I+ , Ic=a I+ por lo que se tienen tres corrientes perfectas
y simétricas, sólo interviene Z+, así, al hacer el equivalente circuital de la máquina no se
tienen en cuenta los acoplamientos entre las fases. Tampoco cuando la carga es
equilibrada.
Si hay impedancia de neutro, debe restarse su caída por fase: U=E-Z.I-ZN.IN (U es medida
respecto de tierra), como IN=IA+IB+IC queda:
⎡U& A ⎤ ⎡E& A ⎤ ⎡ Z& Z&M Z&m ⎤ ⎡I&A ⎤ ⎡Z&N Z&N Z&N ⎤ ⎡I&A ⎤ ⎡E& A ⎤ ⎡ Z& + Z&N Z&M + Z&N Z&m + Z&N ⎤ ⎡I&A ⎤
⎢& ⎥ ⎢& ⎥ ⎢ &
& &
&
& ⎥ ⎢& ⎥
& & ⎥ ⎢& ⎥ ⎢ & & & ⎥ ⎢& ⎥ ⎢ & ⎥ ⎢ & &
⎢UB ⎥ = ⎢EB ⎥ − ⎢Zm Z ZM ⎥.⎢IB ⎥ − ⎢ZN ZN ZN ⎥.⎢IB ⎥ = ⎢EB ⎥ − ⎢Zm + ZN Z + ZN ZM + ZN ⎥.⎢IB ⎥
⎢U&C ⎥ ⎢E&C ⎥ ⎢Z&M Z&m Z& ⎥ ⎢I&C ⎥ ⎢Z&N Z&N Z&N ⎥ ⎢I&C ⎥ ⎢E&C ⎥ ⎢Z&M + Z&N Z&m + Z&N Z& + Z&N ⎥ ⎢I&C ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎦⎣ ⎦ ⎣
⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎦⎣ ⎦
Y multiplicando ambos lados por [s]-1 y [s] como antes y desarrollando:
⎡U& 0 ⎤ ⎡ E& 0 ⎤ ⎡ Z& 0 + 3Z& N
⎢ &+⎥ ⎢ &+⎥ ⎢
⎢U ⎥ = ⎢ E ⎥ − ⎢
⎢U& − ⎥ ⎢ E& − ⎥ ⎢
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
Z& +
⎤ ⎡ I& 0 ⎤
⎥ ⎢ &+ ⎥
⎥ ⋅ ⎢I ⎥
−
Z& ⎥⎦ ⎢⎣ I& − ⎥⎦
Por lo tanto se incrementa la impedancia homopolar en 3ZN (sigue siendo simétrico a
pesar de la “asimetría”).
Se ve que ZN sólo interviene con secuencia “0”. Para la fase de referencia:
(
U 0 = U A0 = E A0 − Z A0 ⋅ I A0 − Z N ⋅ I N = E 0 − Z 0 ⋅ I 0 − Z N ⋅ 3I 0 = E 0 − I 0 ⋅ Z 0 + 3Z N
La ZN suele colocarse para limitar I0 durante fallas.
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)
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Las respectivas impedancias de secuencia se pueden hallar en un ensayo aplicando a la
máquina la E de secuencia apropiada, manteniendo el rotor girando sin excitación, es
decir pasivado para que la propia máquina no genere E.
Ω
Figura N° 3
El pasivado del rotor significa un corto entre sus bornes, en el caso de rotor bobinado.
Las puestas a tierra sólo son necesarias cuando se mide la secuencia cero. La velocidad
del rotor será constante.
- Con secuencia positiva las u e i inducidas en el rotor son nulas. El campo giratorio
marcha sincrónicamente con el rotor. La Z+ queda definida por la R y X “estáticas” (sin
movimiento relativo) que son elevadas, en especial la X. Es la ZS de teoría de máquinas
eléctricas.
- Con secuencia negativa aparecen importantes corrientes en el rotor (en arrollamientos
rotóricos, barras amortiguadoras, etc, de 2f pero sincrónicas con el campo giratorio
estatórico) que impiden en gran medida la entrada del flujo en el mismo, por lo tanto baja
la inductancia. Como esta situación es similar al subtransitorio del generador, su valor es
similar a X’’d.
-Con secuencia nula no hay flujo neto penetrando en el rotor pues las tres corrientes
“entran”, la reactancia es aproximadamente la de dispersión (es menor que X-).
• Reactancias típicas turbogenerador: Xs=1; X-=0,13; X0=0,04 [º/1]
5.2. Impedancias - Transformador
La tensión de salida del transformador es igual a la de entrada impuesta por el generador,
menos la caída interna: UT=UG-ZI (matricial), pero como no hay partes en movimiento, los
acoplamientos entre arrollamientos son recíprocamente iguales: ZM=Zm (pues ZAB=ZBA,
etc).
Transformando como en el caso de [4], y despreciando el brazo de excitación:
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⎡U& T0 ⎤ ⎡U& G0 ⎤ ⎡ Z& + 2 Z& m + 3 Z& N
⎢ &+⎥ ⎢ &+⎥ ⎢
⎢U T ⎥ = ⎢U G ⎥ − ⎢
⎢U& T− ⎥ ⎢U& G− ⎥ ⎢
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎡ U& T0 ⎤ ⎡U& G0 ⎤ ⎡ Z& 0 + 3 Z& N
⎢ &+⎥ ⎢ &+⎥ ⎢
⎢U T ⎥ = ⎢U G ⎥ − ⎢
⎢U& T− ⎥ ⎢U& G− ⎥ ⎢
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
(
Z& + Z& m a + a 2
Z& +
)
⎤ ⎡ I& 0 ⎤
⎥ ⎢ &+ ⎥
⎥ ⋅ ⎢I ⎥
2
Z& + Z& m a + a ⎥⎦ ⎢⎣ I& − ⎥⎦
(
)
[6]
⎤ ⎡ I& 0 ⎤
⎥ ⎢ &+ ⎥
⎥ ⋅ ⎢I ⎥
−
Z& ⎥⎦ ⎢⎣ I& − ⎥⎦
Salvo que la impedancia de neutro ZN y la impedancia mutua Zm sean iguales a cero,
resulta:
Z& + = Z& − ≠ Z& 0
Si al transformador con la salida en cortocircuito, se le aplica U+G siendo U0G=U-G=0:
0
⎡0⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ Z& + 3Z& N
⎢0⎥ = ⎢U& + ⎥ − ⎢
⎢ ⎥ ⎢ G⎥ ⎢
⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣
Z& +
⎤ ⎡ I& 0 ⎤
⎥ ⎢ & + ⎥ &0 &−
⎥ ⋅ ⎢I ⎥ ∴ I = I = 0
Z& − ⎥⎦ ⎢⎣ I& − ⎥⎦
de aquí que:
0 = U& G+ − Z& + I& +
Siendo ZN=0, si se aplica U-G:
0 = U& G+ − Z& + ⋅ I& +
0 = U& − − Z& − ⋅ I& −
G
y aplicando
U& G0 ∴ 0 = U& G0 − Z& 0 ⋅ I& 0
Si el transformador no tiene neutro accesible, por ejemplo conexión en triángulo, I0=0
pues: IN=IA+IB+IC = 3I0=0. Por lo tanto Z0=U0G/I0=infinito.
Es decir, para cualquier transformador:
Z+=Z-=ZCoCo
[7]
Siempre en circuitos lineales, simétricos y estáticos, vale Z+=Z-.
La determinación de las impedancias de secuencia se facilita “ensayando” el
transformador con una fuente de la secuencia correspondiente y salida en cortocircuito.
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Las secuencias positiva y negativa no ofrecen dificultades. La secuencia homopolar
depende de la forma de conexión y conexión a tierra de los neutros, pues el generador se
supone conectado a tierra, lo mismo que los bornes de salida del transformador; así:
Figura N° 4
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Figura N° 5
En general las reglas serían:
Si la conexión de arrollamientos no provee un camino a tierra para las corrientes
homopolares, el circuito de secuencia debe contener una interrupción para el
arrollamiento en cuestión.
Si las corrientes homopolares están confinadas a circular en un arrollamiento, provéase
un cortocircuito a tierra en el circuito de secuencia indicando que las corrientes no
emergen por los terminales.
Si la ausencia de un camino a tierra significa que el transformador es un circuito abierto
para las corrientes homopolares, el circuito de secuencia debe tener la impedancia
magnetizante en la rama en cuestión.
Si las corrientes homopolares inyectadas en un juego de terminales circulan libremente,
sólo debe agregarse la impedancia de dispersión en esa rama.
El procedimiento usual se reduce a calcular las U e I sin considerar el desfasaje originado
por los distintos “grupos” de transformadores. En ciertos casos es necesario tener en
cuenta dicho desfasaje (por ejemplo en aplicación de relés).
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5.3. Impedancias - Cargas
Normalmente serán equilibradas, con o sin acoplamientos mutuos, irán en convención
consumidora y siempre en estrella.
Pueden contener fuentes, como por ejemplo en el caso de motores sincrónicos, donde:
U=E+ZI (matricial)⇒[U]=[E]+[Z][I]
Figura N° 6
E es la f.c.e.m del motor síncrono.
Desarrollando con iguales procedimientos:
⎡U& 0 ⎤ ⎡ E& 0 ⎤ ⎡ Z& 0
⎢ &+⎥ ⎢ &+⎥ ⎢
⎢U ⎥ = ⎢ E ⎥ + ⎢
⎢U& − ⎥ ⎢ E& − ⎥ ⎢
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
Z& +
⎤ ⎡ I& 0 ⎤
⎥ ⎢ &+ ⎥
⎥ ⋅ ⎢I ⎥
−
Z& ⎥⎦ ⎢⎣ I& − ⎥⎦
[8]
con ZN=0; si ZN es distinta de cero, resulta Z0+3ZN.
Para hallar, por ejemplo, el circuito de secuencia homopolar de una carga en estrella con
neutro, de ZN distinto de cero y E0 fcem=0 (en general no hay fuerza contra-electromotriz
de secuencia homopolar).
Figura N° 7
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5.4. Impedancias - Líneas
Los sistemas que son esencialmente balanceados y simétricos son los de mayor interés.
Estos se harán desbalanceados solo cuando ocurra una falla asimétrica.
La simetría total en los sistemas de transmisión es en la práctica más ideal que real. Pero
como el efecto de la asimetría es muy pequeño, con frecuencia se supone un balance ,
especialmente si las líneas se trasponen a lo largo de sus trayectorias.
Se llama línea traspuesta o simétrica a la que tiene impedancias propias y mutuas iguales
(al menos en promedio) en todas las fases. Esto es lo habitual, si no existen fallas.
Dada la Figura N° 8, si se cortocircuita la línea y se alimenta con una secuencia positiva:
I0=0, I-=0, I+=IA=E+/Z+ :
Figura N° 8
E+=(R+Lp).IA -Mp(IB+IC)=R+(L-M)pIA; ya que IB + IC=-IA y si p=jω, (corriente alterna):
Z+=R+jω(L-M)
[9]
Si se aplica secuencia negativa, se obtiene:
Z-=Z+
[10]
si se aplica secuencia homopolar (Figura N° 9):
I0=IA=E0/Z0; E0=(R+Lp)I0+Mp(I0+I0).
por lo tanto:
Z0=R+jω(L+2M).
La Z0 es más grande que Z+ ó Z-, aún sin considerar una eventual ZN (que en caso de
existir se agrega como 3ZN a Z0).
Dato práctico: con ZN=0,Z0=2 a 3,5 Z+.
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Figura N° 9
Nota: El caso del transformador con brazo de excitación, con neutro aislado o en
conexión triángulo, puede asimilarse a este caso. Si R≈0 (por comodidad), en el ensayo
de secuencia homopolar, el único lugar por donde pueden circular las I0 es por los brazos
de excitación (Figura N° 10):
⎧Z + = Z − = jω (L − M ) ≅ Z C 0C 0 (chico)
⎨
0
⎩ Z = jω (L + 2M ) = Z exc (grande)
Figura N° 10
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Cátedra de Teoría de Circuitos
Apunte de Componentes simétricas
Métodos para hallar M, despejándola:
M = L−
⎞
1⎛Z
= ⎜⎜ exc − L ⎟⎟
2 ⎝ jω
jω
⎠
Z C 0C 0
Inversamente, si se conocen Z0, Z+ ,Z-, de [6]:
⎧
⎧Z 0 + Z + + Z − = Z 0 + 2 Z +
Z 0 = Z + 2Z M
⇒
⎨ +
⎨
−
2
Z 0 − Z + = 3Z M
⎩Z = Z = Z + Z M a + a = Z − Z M
⎩
(
o
Z=
Z 0 + 2Z +
3
)
, Z M = jωM =
Z0 −Z+
3
Estos valores de impedancias de secuencia, también pueden obtenerse a partir de los
valores de fase, Figura N° 11:
∆U
A
Zsimétrica
Zmutua
B
Zsimétrica
Zmutua
C
Zsimétrica
Figura N° 11
⎡ ∆U A ⎤ ⎡ Z S
⎢ ∆U ⎥ = ⎢ Z
B⎥
⎢
⎢ M
⎢⎣∆U C ⎥⎦ ⎢⎣ Z M
ZM
ZS
ZM
Z M ⎤ ⎡I A ⎤
Z M ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ I B ⎥⎥
Z S ⎥⎦ ⎢⎣ I C ⎥⎦
con:
⎧Zs = R + jωL
⎨
⎩ Z M = jω M
por lo tanto:
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Cátedra de Teoría de Circuitos
⎡ ∆U 0 ⎤
⎡ ZS
⎢
+⎥
−1 ⎢
⎢∆U ⎥ = s ⋅ ⎢ Z M
⎢ ∆U − ⎥
⎢⎣ Z M
⎣
⎦
ZM
ZS
ZM
Apunte de Componentes simétricas
ZM ⎤ ⎡I 0 ⎤
⎢ ⎥
Z M ⎥⎥ ⋅ s ⋅ ⎢ I + ⎥ = Z ´⋅I ´
Z S ⎥⎦ ⎢⎣ I − ⎥⎦
desarrollando con iguales valores anteriores:
⎡Z 0
⎢
Z ´= ⎢
⎢
⎣
Z+
⎤
⎥
⎥ [12]
Z − ⎥⎦
o sea, que: Z0=ZS+2ZM, Z+=Z-=ZS-ZM. Este desacoplamiento es la razón primaria para
usar las componentes simétricas en vez de las cantidades de fase. Las Z+, Z-, Z0 son las
impedancias de “servicio” o de “fase”.
Si la línea es no traspuesta, en general se podrá expresar por:
⎡ Z AA
Z = ⎢⎢ Z BA
⎢⎣ Z CA
Z AB
Z BB
Z CB
Z AC ⎤
Z BC ⎥⎥ [13]
Z CC ⎥⎦
con:
Zii=Rii+jXii= impedancias serie propias
Zji=Zij=Rij+jXij= impedancias mutuas (Rij se debe a la presencia de tierra).
5.5. Líneas con asimetrías o fallas
Una línea con asimetría puede tener una matriz como la [13] si sus elementos no guardan
igualdad o simetría. Un caso típico es el que no presenta acoplamientos y es ZA ≠ ZB ≠
ZC:
⎡ ∆U A ⎤ ⎡ Z A
⎢ ∆U ⎥ = ⎢
⎢ B⎥ ⎢
⎢⎣∆U C ⎥⎦ ⎢⎣
ZB
⎤ ⎡I A ⎤
⎥ ⋅ ⎢ I ⎥ = Z .I
⎥ ⎢ B⎥
Z C ⎥⎦ ⎢⎣ I C ⎥⎦
[14]
y, como antes ∆U´ = Za’ I’ con Za’=s-1 Z s (Za se usa para diferenciar que se trata de la
asimetría); desarrollando:
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Cátedra de Teoría de Circuitos
Apunte de Componentes simétricas
⎡ Za 0
⎢
Za´= ⎢ Za +
⎢ Za −
⎣
[15]
Za −
Za 0
Za +
Za + ⎤
⎥
Za − ⎥
Za 0 ⎥⎦
Za’ es la matriz de impedancias equivalentes o transformadas, no de secuencia.
(Al término Z° se le suma 3Zn si hay neutro)
Za0 = 1/3 (ZA + ZB + ZC)
Siendo:
Za+ = 1/3(ZA +a ZB +a2 ZC)
[16]
Za- = 1/3 (ZA +a2 ZB +a ZC)
Aparecen numerosos acoplamientos en las componentes transformadas, por lo tanto se
deberán usar procedimientos especiales.
Sólo si ZA = ZB = ZC se cumplirá Za0 = ZA; Za+ = Za- = 0; en cuyo caso las componentes de
secuencia son Z0 = Z- = Z+ = ZA (pasa a ser como una línea simétrica o transpuesta).
No es sensato estudiar las líneas no simétricas con componentes simétricas. En cambio
debe trabajarse en el dominio de fase o usar transformaciones especiales (“modales”).
Lo mismo rige para las admitancias derivación.
6. Sistemas con asimetría o falla
Para simplificar el estudio se descompone en 2 partes simétricas, una en convención
“fuente” y otra en “consumidora” (aunque ambas pueden contener fuentes), con todos los
acoplamientos inductivos (de modo de constituir “circuitos de secuencia”), unidas por una
parte asimétrica sin acoplamiento (falla):
Asimétrica: ZA≠ZB≠ZC
A1
S1
B1
C1
ZA
ZB
ZC
UC1
IA
A2
B2
C2
S2
UC2
O1
ZN
IN
O2
Figura N° 12
Página 18 de 43 – Versión del 13/03/06
Cátedra de Teoría de Circuitos
Apunte de Componentes simétricas
ZN puede asignarse a S1 ó S2.
Para la asimetría: ZA≠ZB≠ZC:
∆U A = U A1 − U A 2 = Z A I A
∆U B = U B1 − U B 2 = Z B I B [17]
∆U C = U C1 − U C 2 = Z C I C
6.1. Circuitos equivalentes
Como para las partes simétricas (S1 y S2), los circuitos de secuencia están desacoplados
se pueden determinar cada uno separadamente y luego aplicarlos sobre la parte
asimétrica. Para la secuencia “+” (fase de referencia A), después de la conveniente
aplicación del teorema de Thévenin a cada parte:
U+
I+
2
1
- I+
+
+
+
I+
Z1+
E1+
Z2+
+
U1+
U2+
-
+
=
E2+
-
+
Z+
U+
+
E+
-
=
+
(simbología)
neutro ficticio
Figura N° 13
Habrá otros 2 circuitos para las componentes “-“ y “0”, en general sin fuentes pues los
generadores sólo generan secuencia “+”. Además en la secuencia “0” se colocará en
serie 3 ZN. A su vez, estos 3 circuitos de secuencia podrán resultar interconectados
según sea la falla, lo que permitirá resolver el problema, tal como se verá más adelante.
6.2. Métodos
Una vez establecidos los circuitos de secuencia de la parte simétrica (Figura N° 12) se
tiene:
⎡ ∆U 0 ⎤ ⎡ E 0 ⎤ ⎡ Z 0 + 3Z N
⎢
⎢ +⎥ ⎢
+⎥
⎢∆U ⎥ = ⎢ E ⎥ − ⎢
⎢ ∆U − ⎥ ⎢ E − ⎥ ⎢
⎣
⎦ ⎣ ⎦ ⎣
Z+
⎤ ⎡I 0 ⎤
⎥ ⎢ +⎥
´
⎥ ⋅ ⎢ I ⎥ o [∆U ´] = [E´] − Z s .[I ´]
Z − ⎥⎦ ⎢⎣ I − ⎥⎦
[ ]
Siendo [Z´s ] la impedancia de la parte simétrica.
Página 19 de 43 – Versión del 13/03/06
[18]
Cátedra de Teoría de Circuitos
Apunte de Componentes simétricas
Estas ∆U’ resultan aplicadas a la parte asimétrica, por lo que:
⎡ ∆U 0 ⎤ ⎡ ⎡ Za 0
[∆U ´] = Z a´ . [I ´] o sea : ⎢⎢∆U + ⎥⎥ = ⎢⎢⎢⎢Za +
⎢∆U − ⎥ ⎢ ⎢ Za −
⎦ ⎣⎣
⎣
[ ]
Za −
Za 0
Za +
Za + ⎤ ⎤ ⎡ I 0 ⎤
⎥⎥ ⎢ ⎥
Za − ⎥ ⎥ . ⎢ I + ⎥
Za 0 ⎥⎦ ⎥⎦ ⎢⎣ I − ⎥⎦
[19]
[Za´] es asimétrica.
(Como en el caso de líneas no traspuestas, no acopladas)
Igualando [18] y [19]:
E’- Zs’ I’ = Za’ I’ ó E’ = (Zs’ + Za’ ). I’ por lo tanto:
[I ´] = [Z s´ + Z ´A ]−1 . [E´]
(cálculo complejo)
∆U’ sale de [18] ó [19]. Luego: I = s I’
[20]
∆U = s ∆U’ (ó con ∆UA = ZA IA, etc.)
Si se desean hallar las tensiones simples habrá que hallar U1+, U2+, etc, de S1 y S2
(Figura N° 13) y luego aplicar la transformación directa.
6.3. Casos Particulares
Existen 3 casos muy importantes que permiten resolver mediante la interconexión de los
circuitos equivalentes de secuencia:
a) Una fase con impedancia Z y las otras dos con impedancia cero
Z
A
B
C
Figura N° 14
Página 20 de 43 – Versión del 13/03/06
Cátedra de Teoría de Circuitos
Apunte de Componentes simétricas
⎧ ´0 1
⎪ Za = 3 Z ⎡ ∆U 0 ⎤
⎪⎪
⎧ ZA = Z
1
Z
⎢
´+
+⎥
∴
⎨
⎨Za = Z ∴ ⎢∆U ⎥ =
3
3
⎩Z B = Z C = 0
⎪
⎢∆U − ⎥
1
⎣
⎦
´
−
⎪ Za = Z
⎪⎩
3
Z
∆U 0 = ∆U + = ∆U − = ( I 0 + I − + I + ) ⇒
3
0
⎡I 0 + I + + I − ⎤
⎡1 1 1⎤ ⎡ I ⎤
⎢1 1 1⎥ . ⎢ I + ⎥ = Z ⎢ I 0 + I + + I − ⎥ ∴
⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ 3⎢
0
+
−⎥
−⎥
⎢
⎢
⎢⎣1 1 1⎥⎦ ⎣ I ⎦
⎣I + I + I ⎦
I0
Z/3
o también
I+
I-
Z
I0
I+
Z
U0+Se llama conexión
Figura N° 15
b) Una fase con impedancia cero y las otras dos con impedancia Z
A
Z
B
Z
C
fi
16
Figura N° 16
2
⎧ ´0 1
+
−
Z
Z
Z
Z
(
0
)
=
+
+
=
a
⎪
3
3
⎧ Z =0
⎪⎪ ´+
1
⎪
A
∴
⎨
⎨ Z a = ................... = − Z
3
⎪
⎪⎩Z B = Z C = Z
1
´
−
⎪ Z a = ................... = − Z
⎪⎩
3
Para fase A: ∆UA = ∆U0 + ∆U+ + ∆U- = 0 (pues ZA = 0). Además:
Página 21 de 43 – Versión del 13/03/06
I-
Z
U0+-
Cátedra de Teoría de Circuitos
⎡ ∆U 0 ⎤ ⎡ Za ´0
⎢
⎢ ´+
+⎥
⎢∆U ⎥ = ⎢ Za
⎢∆U − ⎥ ⎢ Za ´−
⎣
⎦ ⎣
Ya que
Za ´−
Za ´0
Za ´+
Za ´+ ⎤
⎥
Za ´− ⎥
Za ´0 ⎥⎦
Apunte de Componentes simétricas
0
⎡ 2I 0 − I + − I − ⎤
⎡3I 0 − I A ⎤
⎡I 0 ⎤
⎡ 2 − 1 − 1⎤ ⎡ I ⎤
⎥
⎢ +⎥ Z ⎢
Z⎢ +
⎥ ⎢ +⎥ Z ⎢ 0
+
−⎥
⎢ I ⎥ = 3 ⎢− 1 2 − 1⎥ ⎢ I ⎥ = 3 ⎢− I + 2 I − I ⎥ = 3 ⎢3I − I A ⎥
⎢I − ⎥
⎢− I 0 − I + + 2 I − ⎥
⎢3I − − I A ⎥
⎢⎣− 1 − 1 2 ⎥⎦ ⎢ I − ⎥
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣ ⎦
⎡I 0 ⎤
⎡ ∆U 0 ⎤
⎡I A ⎤
⎢ +⎥ 1 ⎢
1⎢ ⎥
0
+
−
+⎥
I A = I + I + I ∴ ⎢ I ⎥ = ⎢∆U ⎥ + ⎢ I A ⎥
⎢ I − ⎥ Z ⎢∆U − ⎥ 3 ⎢ I A ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣
⎦
o sea (ver Figura N° 17)
I+
U+
I-
+
I0
Z IA/3 -
Z
0
Z
conexión
Figura N° 17
c) Superposición de los casos anteriores
Hay otras asimetrías particulares que pueden resolverse por superposición de estas,
como ser el de una fase con impedancia Z y dos fases con impedancia Z’.
A
A
B
B
C
C
A
A
B
B
C
C
Figura N° 18
Página 22 de 43 – Versión del 13/03/06
Cátedra de Teoría de Circuitos
Apunte de Componentes simétricas
Una forma es suponer tres impedancias simétricas Z’ y una asimetría consistente en una
impedancia Z-Z’ en serie en la fase con impedancia Z (caso a) anterior).
Otra forma es suponer tres impedancias simétricas Z y una asimetría consistente en una
impedancia Z’-Z en serie en cada una de las dos fases con impedancia Z’ (caso b)
anterior).
6.4. Clásico (general)
Se exploran las posibilidades que ofrecen las transformaciones directas e inversa de la
parte asimétrica, juntamente con las relaciones tensión-corriente que impone ésta. De ahí
debe surgir la solución y la forma en que se deben conectar los circuitos de secuencia.
Aplicaciones (no corresponde a este curso)
a) Generador sincrónico
, sin neutro, cortocircuito entre 2 fases (Figura N° 19):
Responde a la conexión
(Figura N° 20):
ZA = :
S1
S2
∆U A
ZN = :
Figura N° 19
I+
IZ+
:
Z-
:
Z0
:
∆
E+
3ZN=:
Figura N° 20
Página 23 de 43 – Versión del 13/03/06
∆
∆
Cátedra de Teoría de Circuitos
Apunte de Componentes simétricas
En la Figura N° 19, por la rama Z- circulará una corriente I- y por la rama Z0 circulará una
corriente I0. También, al ser el Sistema 2 un cortocircuito, si se toma UA=cte. entonces:
U+=U-=U0.
E+
I = −I = +
, I0 = 0
−
Z +Z
IA = I 0 + I + + I −, 0 + I + − I − = 0
I B = I 0 + a 2 I + + aI − = 0 + (a 2 − a ) I + = − j 3I +
− j 3E +
IB = +
= − I C (pues IA = 0)
Z +Z−
+
−
⎧ Z + = 1 a 2 (arg Z + ) p.u. (C 0 C 0 )
Valores típicos ⎨ −
−
⎩Z = 0,15 a 0,30 (arg Z ) p.u
y considerando que tengan el mismo ángulo de fase (p.ej. reactancia pura)
Z++Z-=1,15 a 2,3 p.u. Luego:
⎧ Bifásico : I = 3
a
B
⎪
1,15
⎪
C 0 .C 0 ⎨
1
1
⎪Trifásico : I B = 1 a 2
⎪⎩
3
=1
2,3
= 1,50
a
a
0,75 pu
0,5 pu
⇒ puede ser más desfavorable un cortocircuito bifásico que uno trifásico.
Además: ∆UA = ∆U0+∆U- +∆U+ = 3∆Uº = 3 Z- (-I-)= 3Z- I+ = UAB con lo cual resulta:
U AB = 3( Z − I + ) = 3Z −
IB
−j 3
⇒ Z− =
jU AB
3I B
(Método para hallar Z-)
Nota: Debe medirse PAB para hallar el coseno del ángulo entre UAB y IB como PAB / UAB IB
(P=IUcosϕ).
b) Generador sincrónico, estrella, con neutro, cortocircuito bifásico con neutro.
Por lo anterior con ZN = 0
Página 24 de 43 – Versión del 13/03/06
Cátedra de Teoría de Circuitos
Z+
Apunte de Componentes simétricas
I+
Ζ-
I0
IZ0
E+
Figura N° 21
I+ =
Z0
E+
−
+
;
I
I
=
Z− +Z0
Z −Z 0
Z+ + −
Z +Z0
pues:
I − Z − = I 0 Z 0 = (− I + − I − ) Z 0
análogamente:
I 0 = −I +
Z−
; se verifica : I A = I 0 + I + + I − = 0
Z− + Z0
también:
Z−
Z0
2 +
−
a
I
aI
+
−
, y si Z 0 ≅ 0 :
0
0
−
−
Z +Z
Z +Z
0
Z−
3e j 210 E +
I B ≅ −I + −
+ a 2 I + − aI + −
= − I + + a 2 I + = 3e j 210 I + =
Z +0
Z +0
Z+
I B = I 0 + a 2 I + + aI − = I +
de la misma manera:
I C = 3 e j150 I + =
3e j150 E +
Z+
c) Generador sincrónico, estrella, cortocircuito monofásico con neutro:
Página 25 de 43 – Versión del 13/03/06
Cátedra de Teoría de Circuitos
Apunte de Componentes simétricas
I+
I-
I0
Z0
UB UA
Z+
3ZN
Z-
E+
ZN
UC
Figura N° 22
I+ = I− = I0 =
E+
≅ 0,73 p.u. si Z N = 0
Z + + Z − + Z 0 + 3Z N
I A = I 0 + I + + I − = 3.0,73 = 2,2
da mayor que antes, pero influye mucho ZN (por eso se coloca).
Además:
UA = U0 + U- + U+ =0 (condición de cortocircuito), y si ZN es importante :
UB= U0 +a U- + a² U+ será superior a la tensión de fase (será U0grande), puede aparecer
una sobretensión importante (conviene ZN=0, opuesto a lo anterior!)
6.5. Asimetrías longitudinales y transversales
Longitudinales: p.ej. asimetrías en conductores de líneas
Transversales: p.ej. puesta a tierra, cortocircuitos
Las asimetrías longitudinales según procedimiento ya visto. Las fallas transversales
deben transformarse para adaptar el circuito resultante al de la Figura N° 12.
Ej: asimetría de una fase a tierra:
A
R
B
V
R
C
W
R
U
Carga
ZG+0-
R
S1
ZN
ZN
Rf=0
Rf
U
1
2
S2
Figura N° 23
Página 26 de 43 – Versión del 13/03/06
Cátedra de Teoría de Circuitos
U=E+
ZG+
Apunte de Componentes simétricas
ZGRf
ZG-
3ZN
Rf
1
Rf
1
1
R
R
∆ U+
∆ U-
2
2
R
:
∆ U0
2
Figura N° 24
Ej: dos asimetrías simultáneas
R
R
R
ZN
Rf
Figura N° 25
No puede aplicarse componentes simétricas. Son 2 fallas simultáneas (cortocircuito en
S1 y asimetría a tierra en S2). No hay forma de armar S1 y S2 con asimetría del tipo
visto. Debe resolverse con los métodos generales de electrotecnia.
7. Potencia
Dado un sistema, con [ I ] = [ IABC ] ; [ U ] = [ UABC ], se verifica, desarrollando, que la
potencia total es:
S = [ I*]t [U] con [I*]t traspuesta de las conjugadas
[23]
Pero [I] =[ s ][I´] y también [ I*] = [s*][ I´*] pues F(Zi*) =F*(Zi),
aunque al transponer cambian el orden: [I*]t = [I*´]t [s*]t ∴
S = [I *´]t [s*]t [U] = [I *´]t
[s*]t [s]
123
[U´] = 3 [I *´]t [U´] = 3S´
[24]
3.[1] (matriz unidad)
siendo S´=[I*´]t [U´] la potencia calculada para las componentes simétricas.
[25]
Ocurre que éstas se aplican 3 veces para reconstruir el sistema original; o dicho de otro
modo la potencia de las componentes simétricas es 3 veces menor debido a que sólo
intervienen las componentes de 1 fase.
Puede modificarse la transformación para que la potencia se mantenga invariante:
Si I=C. I´∴
I*t = I*´t .C*t ∴
Página 27 de 43 – Versión del 13/03/06
[26]
Cátedra de Teoría de Circuitos
Apunte de Componentes simétricas
S= I*t .U = I*´t .C*t .U y S´= I*´t .U´, entonces:
Para que S= S´ debe ser U´= C*t .U
(en lugar de U’= C-1.U)
[27]
Valores que suelen asignarse a C:
Variante 1:
C = s ∴ s*t = 3 s-1 (por desarrollo). Así, por ejemplo resulta:
28]
⎧ I° = 1/3 (I A + I B + I C ) (igual al caso clásico)
⎨
⎩ U° = U A + U B + U C (triple del caso clásico)
Variante 2:
C = s/√3 ∴ C*.t = √3 s-1 (por desarrollo)
29]
Resulta:
⎧
I° = 1/ 3 (I A + I B + I C ) ( 3 del caso clásico)
⎨
⎩ U° = 1/ 3 (U A + U B + U C ) ( 3 del caso clásico)
Las impedancias resultan: U = Z I = Z. C. I´; U´= Z´.I´ ⇒ C*t. U = Z´.I´ ⇒
Z. C = (C*t)-1 . Z´ ⇒Z´= C*t Z C
[30]
Variante 1: Z´= 3 s-1 Z s (triple de la Z´ clásica)
Variante 2: Z´= √3 s-1 Z s/√3 (igual a la Z´ clásica), por lo que se prefiere esta variante.
8. Matrices Admitancia
El método general( apartado “sistemas con falla”) fracasa si (Zs´+ Za´) no se puede
invertir, por ejemplo, si uno de sus elementos fuera ∞ (el determinante resulta ∆ = ∞), o si
todos los elementos resultan iguales (∴∆ = 0, [Zs´+ Za´]-1 = 0/0). En tal caso se puede
trabajar con matrices admitancias, que se corresponden con el método de los nodos. Se
define:
Página 28 de 43 – Versión del 13/03/06
Cátedra de Teoría de Circuitos
1
⎡
⎢ Z 0 + 3Z
N
⎢
−1
[Y ´] = [Z´] = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Apunte de Componentes simétricas
⎤
⎥
0
⎥ ⎡Y
⎥=⎢
Y+
⎢
⎥
1 ⎥ ⎢⎣
⎥
Z− ⎦
1
Z+
⎤
⎥
⎥
Y − ⎥⎦
[31]
De [18] se halla:
I´= Zs´-¹ (E´- ∆U´) = J´- Y´∆U´
[32]
Lo que equivale a aplicar Norton a cada circuito de secuencia, por ejemplo en la Figura
N° 26
I+
I+
Y+
∆ U+
∆ U+
J+
E+
Figura N° 26
De [19] :
I´= Za’-¹ ∆U´ = Ya´ ∆U´
Igualando [32] y [33]:
I´- Y´∆U´ = Ya´∆U´
∆U´ = (Y´+Ya´)-¹.I´
[33]
[34]
Luego se calcula ∆U, etc.
La dificultad reside en la determinación de Ya´, que en general tiene una expresión
complicada, salvo casos especiales.
Cuando sea factible modelar una falla como de fase abierta sin neutro (∴YA = 0 , YN= 0)
la Y´+Ya´ toma una expresión simple y reduce a 2 el sistema de ecuaciones a resolver. Ej.
:
Página 29 de 43 – Versión del 13/03/06
Cátedra de Teoría de Circuitos
Apunte de Componentes simétricas
Conocido
S1
A
B
C
S2
ZN=:
Rf=1ohm
0.5
ohm
Figura N° 27
Supóngase:
⎡1,5e − j 90
[Y ´] = ⎢⎢
⎢
⎣
⎡ Z ´0
⎢
Ya ´´ = ⎢ Z ´ +
⎢ Z´−
⎣
[ ]
⎤
E th+ 8,370e j 0
⎥
+
=
=
= 64,0e − j 80 kA
J
,
⎥
+
j 80
Z th 0,131e
7,6e − j 80 ⎥⎦
7,6e − j 80
Z´−
Z ´0
Z ´+
Z´+ ⎤
⎥
Z´− ⎥
Z ´0 ⎥⎦
−1
se hace el desarrollo literal (complicado) y queda :
0⎤
⎡0 0
1 ⎢
[Ya ´] = ⎢0 1 − 1⎥⎥
Rf
⎢⎣0 − 1 1 ⎥⎦
Al aplicar [34] y como I° = 0 (no hay neutro) resulta ∆U° = 0, por lo que resta hallar:
⎡1 + 7,6e − j 80
⎤ ⎡∆U + ⎤ ⎡64e − j 80 ⎤
−1
+
−
=⎢
.
⎥ ⇒ ∆U , ∆U , etc
⎢
− j 80 ⎥ ⎢
−⎥
−1
1 + 7,6e ⎦ ⎣∆U ⎦ ⎣ 0 ⎦
⎣
Obsérvese que también la falla se podría haber modelado como la Figura N° 28, que no
ofrece dificultad para la solución:
S1
ZA=:
c/u 0.5
ohm
S2
ZN=:
Figura N° 28
Cuando Z’ + Za´ se puede invertir no hay ventaja en el empleo de las matrices admitancia,
salvo dichos casos particulares.
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Apunte de Componentes simétricas
9. Mediciones de corrientes y tensiones de secuencia
Si bien los modernos instrumentos microprocesador pueden hacer los cálculos internos
para dar directamente las componentes simétricas de las corrientes y tensiones que
miden, se dan a continuación métodos con uso de elementos auxiliares.
9.1. Corrientes
9.1.1. Corriente de secuencia Directa e Inversa
Caso Trifilar sin Neutro
Σ
Figura N° 29
o
Z& = R .e j 60
Se demuestra (ver punto 9.1.2) que:
+
&I = I
A1
K
y
−
&I = I
A2
K
Ej. : Si 500/5 A entonces K=100 (=500/5)
9.1.2. Demostración
El circuito se puede analizar por superposición, prescindiendo de la constante K:
Página 31 de 43 – Versión del 13/03/06
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Apunte de Componentes simétricas
Figura N° 30
⎧U AB = I Z .Z = I R .R
⎨
⎩ IB = IZ + IR
∴
⎧ I Z .Z = ( I B − I Z ).R
⎨
⎩ I Z .( Z + R ) = I B .R
Figura N° 31
I1 =
I B R + I C R.e j 60
R + R.e
j 60
=
I B + I C .e j 60
3.e
j 30
=
[I
3
1
B .e
j −30
+ I C .e j 30
]
y, por la Figura N° 32:
Figura N° 32
I1 =
⎤
1
1⎡
I B (1 − a) + I C (1 − a 2 ) = ⎢ I B + I C − aI B − a 2 I C ⎥ = − I +
3
3 ⎢ 123
⎥
⎦
⎣ −I A
[
]
Se observa que el amperímetro A1 mide –I+
Análogamente para el amperímetro A2:
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Apunte de Componentes simétricas
I 2 = −I −
9.1.3. Caso Trifilar con Neutro
Figura N° 33
Z& = R .e j 60
o
3 + j150
I&A1 =
I .e
K
y
3 − j −150
I&A2 =
I .e
K
La fase sale de cálculos y esta relacionada con los fasores IA1 e IA2, cuya ubicación es
desconocida.
9.1.4. Corriente de secuencia Homopolar: 3 posibles métodos
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Apunte de Componentes simétricas
Figura N° 34
9.2. Tensiones
9.2.1. Tensiones de secuencia Directa e Inversa
Σ
Figura N° 35
o
Z& = R .e j 60
+
&I = 3U
K .R
Invirtiendo la posición de R y Z:
3U −
I& =
K .Z
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Apunte de Componentes simétricas
9.2.2. Tensión de secuencia Homopolar
Figura N° 36 a y b
10. Ejemplos
10.1. Ejemplo 1
Dado:
U 0 = 25e j −10 ,U + = 100e j 0 , U − = 30e j 30 ,
hallar el sistema real y sus relaciones de potencia si:
I A = 10e j −10 , I B = 5e − j 20 , I C = −( I A + I B ) ≈ 78e j160
Entonces:
[U ] = [s ][U ´] o sea :
⎡U A ⎤ ⎡1 1
[U& ] = ⎢⎢U B ⎥⎥ = ⎢⎢1 a 2
⎢⎣U C ⎥⎦ ⎢⎣1 a
⎤
1 ⎤ ⎡U 0 ⎤ ⎡
25e j −10 + 100e j 0 + 30e j 30
⎢ +⎥ ⎢
⎥
− j10
− j120
j0
j120
j 30 ⎥
.100e + 1e .30e ⎥
a ⎥ ⎢U ⎥ = ⎢25e
+ 1e
2 ⎢ −⎥
j
120
⎥
a ⎥⎦ ⎣U ⎦ ⎢⎣
1e .100e j 0 + 1e − j120 .30e j 30
⎦
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Apunte de Componentes simétricas
j 4 , 05
⎤
⎡ 150.6 + j10,66 ⎤ ⎡151e
⎥
⎢
= ⎢⎢ − 51,36 − j 75,94 ⎥⎥ = ⎢91,7e − j124 ⎥
⎢⎣− 25,38 + j 52,26⎥⎦ ⎢⎣ 58,1e j116 ⎥⎦
U
-
U
+
U 0
Figura N° 37
Figura N° 38
[ ]
[
S = I * t [U ] = 10e − j10 5e j120 7,8e − j160
]
⎡ 151e j 4,05 ⎤
⎢
− j124 ⎥
⎥ = (1502 − j157) + (457 − j32) + (326 − j315) =
⎢91,7e
j
116
⎥
⎢ 58,1e
⎦
⎣
= (2285 − j504) VA (capacitivo)
falta hallar las componentes simétricas de las corrientes:
⎡1 1
1⎢
I ´= ⎢1 a
3
⎢⎣1 a 2
0
⎡0,076e j 76 ⎤ ⎡
1 ⎤ ⎡ 10e j10 ⎤
0
⎤ ⎡I ⎤
⎢ ⎥
⎥
⎥ 1⎢
⎢
a 2 ⎥⎥ ⎢ 5e − j120 ⎥ = ⎢ 21,9e j18 ⎥ ≅ ⎢⎢ 7,3e j18 ⎥⎥ = ⎢ I + ⎥
3
⎢ 8,85e − j11 ⎥ ⎢⎣2,95e − j11 ⎥⎦ ⎢ I − ⎥
a ⎥⎦ ⎢⎣7,8e j160 ⎥⎦
⎣ ⎦
⎦
⎣
Potencia desarrollada por las componentes simétricas:
Página 36 de 43 – Versión del 13/03/06
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[ ][ ] [
S&´= I * t U& ´ = 0 7,3e − j18
2,95e j11
]
Apunte de Componentes simétricas
⎡25e − j10 ⎤
⎢
j0 ⎥
− j18
+ 88,5e j 41 = (694,3 − j 225,6) + (67 + j58) =
⎢100e ⎥ = 0 + 730e
⎢ 30e j 30 ⎥
⎣
⎦
1
1
= (761 − j168) = (2283 − j504) = S&
3
3
Si se usa para la transformación inversa la expresión:
[I ´] = [S * ] t [I ]
⎡ 0 ⎤
I&´ = ⎢⎢ 21,9e j18 ⎥⎥ , S&´= S&
⎢⎣8,85e − j11 ⎥⎦
[]
10.2. Ejemplo 2
Un generador sincrónico de 3x13,12 kV, 50 Hz, 1MVa, 0,9MW, alimenta una carga
óhmica simétrica de 800 kW mediante una línea sin pérdidas. Las impedancias de
secuencia del generador valen:
Z + = 1.e j 80 p.u
ohm.
Z − = 0,4.e j 90 p.u Z 0 = 0,10e j 90 p.u, y la impedancia del neutro es ZN=50+j0
R
U
V
R
W
R
Rf = 0
ZN
Figura N° 39
Aplicando el método de componentes simétricas, se pide:
1)Cuando una de las líneas hace contacto directo con tierra( ver Figura N° 39), establecer
los circuitos de secuencia y la vinculación entre ellos para dicha falla.
2)Para la misma falla, hallar la corriente a través de la misma.
3)Indicar cómo se modifican los circuitos de secuencia y el conexionado, si Rf es distinto
de cero, dibujando los mismos.
Solución:
Página 37 de 43 – Versión del 13/03/06
Cátedra de Teoría de Circuitos
Apunte de Componentes simétricas
Um
U
U 2 132002
= 174,2 Ω
Zb = 3 m = m =
1.106VA
Im Um
S
Ub =
13,2kV
7620V
= 7,62kV ∴ I b =
= 43,7 A
174,2Ω
3
se reducen todas las cantidades a p.u.:
U2
13200 2
217,8
=
= 217,8Ω ⇒ R =
= 1,25 p.u.
P
800000 W
174,2
50Ω
ZN =
= 0,287 + j 0 p.u.
174,2
R=
Transformación del sistema: U = 13,2 / 3 kV
A
ZG+0-
R
B
S1
C
ZN
1
2
S2
U=E+
ZG+
ZG-
1
ZG0
3ZN
1
1
R
R
∆ U+
∆ U-
2
2
R
Figura N° 40
(conexión Triángulo con ∞ derivado de cada circuito de secuencia)
Reducción de los circuitos de secuencia( Thevenin) en p.u :
Z
+
TH
U TH
Z +R
1e j 80 .1,25e j 0
= +
=
= ........ = 0,722e j 45,3 = 0,508 + j 0,513
Z + R (0,174 + j 0,985) + (1,25)
U .R
1e j 0 1,25e j 0
= +
=
= .......... = 0,722e − j 34, 7
Z + R (0,174 + j 0,985) + (1,25)
Página 38 de 43 – Versión del 13/03/06
:
∆ U0
2
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Z − TH =
Apunte de Componentes simétricas
Z −R
0,4e j 90 1,25e j 0
=
= ........ = 0,381e j 72,3 = 0,116 + j 0,363
−
Z + R ( j 0,4) + (1,25)
Z 0TH = 3.Z N + Z 0 = 3. 0,287 + j 0,1 = 0,861 + j 0,1 = 0,867e j 6,6
Queda:
+
∆U +
+
U TH
-
+
Z TH
∆U
Z TH
+
-
0
∆U +
0
Z TH
+
I+=I0=IFigura N° 41
∴I + =
+
Z TH
+
U TH
= ............. = 0,406e − j 68
−
0
+ Z TH + Z TH
Corrientes en la falla:
⎡ I A ⎤ ⎡1 1
⎢ I ⎥ = ⎢1 a 2
⎢ B⎥ ⎢
⎢⎣ I C ⎥⎦ ⎢⎣1 a
1⎤
a ⎥⎥
a 2 ⎥⎦
⎡ I 0 ⎤ ⎡ I 0 + I + + I − ⎤ ⎡3 0,406e − j 68 ⎤ ⎡1,218e − j 68 ⎤
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢ +⎥ ⎢
0
0
0
⎥
⎥=⎢
⎥=⎢
⎢I ⎥ = ⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢I − ⎥ ⎢
0
0
0
⎦
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎣ ⎦ ⎣
Si Rf es distinta de cero, el sistema puede transformarse así:
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Apunte de Componentes simétricas
A
Z+0-
R
B
S1
C
ZN
1
2
S2
U=E+
Z+
Z-
Z0
3ZN
Rf
Rf
Rf
1
R
1
1
R
∆ U+
∆ U-
2
2
R
:
∆ U0
2
Figura N° 42
Figura N° 43
10.3. Ejemplo 3
Para el problema anterior, con Rf=0, calcular las tensiones y las corrientes en el
generador y la carga.
Solución:
Con referencia a la Figura N° 43 y trabajando en p.u.:
+
+
⎧∆U + = U TH
− I + Z TH
= 0,722e − j 34, 7 − 0,406e − j 68 .0,722e j 45,3 = 0,324 − j 0,298
⎪
−
− −
− j 68
j 72 , 3
= 0,155e j184,3 = −0,155 − j 0,012
⎨ ∆U = − I Z TH = −0,406e 0,381e
⎪ ∆U 0 = − I 0 Z 0 = −0,406e − j 68 0,876e j 6, 6 = 0,356e j118, 6 = −0,170 + j 0.313
TH
⎩
Entre puntos 1 y 2 de la parte asimétrica (Figura N° 42), resulta:
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⎡ ∆U A ⎤ ⎡1 1
⎢ ∆U ⎥ = ⎢1 a 2
⎢ B⎥ ⎢
⎢⎣∆U C ⎥⎦ ⎢⎣1 a
1⎤
a ⎥⎥
a 2 ⎥⎦
Apunte de Componentes simétricas
⎡ ∆U 0 ⎤
0
⎡ − 0,001 + j 0,003⎤ ⎡
⎤
⎢
⎢
⎥
⎢
+⎥
j174 ⎥
⎢∆U ⎥ = .... = ⎢ − 0,503 + j 0,053⎥ ≅ ⎢ 0,506e ⎥
⎢∆U − ⎥
⎢⎣− 0,007 + j 0,882⎥⎦ ⎢⎣0,882e j 90,5 ⎥⎦
⎣
⎦
Corrientes por el generador:
∆ U+
U+
Z+
Ιg+
R
∆ U-
ZΙg-
R
∆ U0
Z0
Ιg0
R
Figura N° 44
U + − ∆U + 1e j 0 − (0,324 − j 0,298)
=
= 0,739e − j 56, 2
j 80
+
Z
1e
j184 , 3
−
− ∆U
− 0,155e
I G− =
=
= ................. = 0,388e j 265, 7
j 90
−
Z
0,4e
0
− 0,356e j118,6
− ∆U
I G0 = 0
= 0,411e j 298,6
=
j 90
Z + 3Z N 0,10e + (3 .0,287 + j 0)
I G+ =
⎡ I GA ⎤ ⎡1 1
∴ ⎢⎢ I GB ⎥⎥ = ⎢⎢1 a 2
⎢⎣ I GC ⎥⎦ ⎢⎣1 a
1⎤
a ⎥⎥
a 2 ⎥⎦
⎡ I G0 ⎤
⎡ 1,478e − j 67 ⎤
⎢ +⎥
⎢
− j128, 4 ⎥
⎢ I G ⎥ = .................. = ⎢0,309e
⎥
⎢ I G− ⎥
⎢ 0,558e j 68 ⎥
⎣ ⎦
⎣
⎦
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∴ I N = −( I GA + I GB + I GC ) = ........... = 1,232e j118,5
que puede compararse con la corriente de falla IA, verificándose que, aproximadamente,
son iguales y opuestas.
11. Bibliografía
-“Symetrical components”, Wagner y Evans
-“Power system control and stability”, PM Anderson, AA Fouad, Ames, Iowa, 1977
-“Análisis de sistemas eléctricos de potencia”, W.D. Stevenson.
-“Electrical Energy Systems Theory”. Olle I. Elgerd
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Apunte de Componentes simétricas
12. Indice
1.
INTRODUCCIÓN................................................................................................................................................... 1
2.
DEFINICIONES ..................................................................................................................................................... 1
3.
VALORES BASE.................................................................................................................................................... 5
4.
INFLUENCIA DE LA IMPEDANCIA DE NEUTRO......................................................................................... 6
5.
IMPEDANCIAS DE SECUENCIA DE DISTINTOS ELEMENTOS ................................................................ 6
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
6.
IMPEDANCIAS-GENERADOR SINCRÓNICO .............................................................................................................. 6
IMPEDANCIAS - TRANSFORMADOR ........................................................................................................................ 9
IMPEDANCIAS - CARGAS ..................................................................................................................................... 13
IMPEDANCIAS - LÍNEAS ....................................................................................................................................... 14
LÍNEAS CON ASIMETRÍAS O FALLAS ..................................................................................................................... 17
SISTEMAS CON ASIMETRÍA O FALLA ........................................................................................................ 18
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
CIRCUITOS EQUIVALENTES .................................................................................................................................. 19
MÉTODOS ............................................................................................................................................................ 19
CASOS PARTICULARES ........................................................................................................................................ 20
CLÁSICO (GENERAL) ........................................................................................................................................... 23
ASIMETRÍAS LONGITUDINALES Y TRANSVERSALES ............................................................................................. 26
7.
POTENCIA............................................................................................................................................................ 27
8.
MATRICES ADMITANCIA ............................................................................................................................... 28
9.
MEDICIONES DE CORRIENTES Y TENSIONES DE SECUENCIA .......................................................... 31
9.1. CORRIENTES ........................................................................................................................................................ 31
9.1.1. Corriente de secuencia Directa e Inversa................................................................................................. 31
9.1.2. Demostración............................................................................................................................................ 31
9.1.3. Caso Trifilar con Neutro........................................................................................................................... 33
9.1.4. Corriente de secuencia Homopolar: 3 posibles métodos.......................................................................... 33
9.2. TENSIONES .......................................................................................................................................................... 34
9.2.1. Tensiones de secuencia Directa e Inversa ................................................................................................ 34
9.2.2. Tensión de secuencia Homopolar ............................................................................................................. 35
10.
EJEMPLOS ........................................................................................................................................................... 35
10.1.
10.2.
10.3.
EJEMPLO 1...................................................................................................................................................... 35
EJEMPLO 2...................................................................................................................................................... 37
EJEMPLO 3...................................................................................................................................................... 40
11.
BIBLIOGRAFÍA................................................................................................................................................... 42
12.
INDICE .................................................................................................................................................................. 43
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