A1_FAp

EXAMEN A1 / FÍSICA APLICADA. CURSO 2010-2011
Nombre:
TEORÍA (3 puntos)
Teorema de Gauss. Enunciado y explicación breve. ¿Se cumple el teorema de Gauss cuando tenemos una
superficie cerrada y asimétrica?
PROBLEMA 1 (2 puntos)
Un silbato que emite una frecuencia de 4300 Hz produce una onda cuyo valor máximo de presión por
encima de la presión ambiental es 4⋅10-2 Pa. Esta onda se propaga a 344 m/s en el aire.
a) Escribir la ecuación de onda.
b) ¿Cuál es el nivel de presión sonora?. Presión de referencia pref = 2⋅10-6 Pa.
PROBLEMA 2 (3 puntos)
La ecuación del segundo armónico de una onda estacionaria en una cuerda de 10 m de longitud sometida a
una tensión de 50 N está dada por
y ( x, t ) = 8 sin (0.2π x ) ⋅ sin (20π t )
x en m, y en cm, t en s
a) Determinar la frecuencia y velocidad de propagación de las ondas viajeras cuya interferencia produce la
onda estacionaria en esta cuerda y calcular la densidad lineal de masa.
b) Escribir la ecuación de onda del término fundamental. Hallar la máxima velocidad de vibración de un punto
de la cuerda en este modo, suponiendo que la amplitud máxima es igual que la del segundo armónico.
c) Determinar las posiciones de los nodos del cuarto armónico.
1
Y
q2
X
q1
0.25 m
PROBLEMA 3 (2 puntos)
Un par de cargas del mismo valor y signos contrarios separadas cierta distancia
forman un dipolo eléctrico. Se tienen dos cargas q1 = 2⋅10-5 C y q2 = -2⋅10-5 C situadas
a 0.50 m de distancia (véase la figura).
a) ¿Es igual a cero el campo eléctrico en algún punto del eje X? Calcular su valor en
el punto A(0.25, 0). La constante de Coulomb es k = 9⋅109 N⋅m2/C2.
b) ¿Cuál es la fuerza que cada carga del dipolo ejerce sobre su compañera?
0.25 m
2
CRITERIOS
CALIFICACIÓN TEORÍA
Definir flujo campo eléctrico
Enunciado correcto teorema / superf. Cerrada
Relación flujo y líneas de campo
Ejemplos adecuados
Razonamiento en caso de superficie asimétrica
CRITERIOS
CALIFICACIÓN PROBLEMAS
0.50
0.75
0.50
0.50
0.75
Cada apartado de cada problema: 1 punto
SOLUCIONES PROBLEMAS
PROBLEMA 1 (2 puntos)
Un silbato que emite una frecuencia de 4300 Hz produce una onda cuyo valor máximo de presión por
encima de la presión ambiental es 4⋅10-2 Pa. Esta onda se propaga a 344 m/s en el aire.
a) Escribir la ecuación de onda. Determinar la longitud de onda.
b) ¿Cuál es el nivel de presión sonora?. Presión de referencia pref = 2⋅10-6 Pa.
a) Ecuación de onda: consideramos una onda plana en el sentido creciente del eje X y tomamos el origen de
modo que la fase inicial sea cero.
p(x, t ) = p0 cos(k x − ω t )
p, p0 en Pa, x en m, t en s
p(x, t ) = 4 ⋅10 −2 cos(25π x − 8600π t ) (Pa)
ω = 2π f = 2π ⋅ 4300 = 8600π Hz
v=
ω
k
k=
ω
v
=
8600π
= 25π m -1
344
λ=
2π
2π
=
= 0.08 m
25π
k
b) Nivel de presión sonora. Presión de referencia pref = 4⋅10-6 Pa.
2
⎛ p0 ⎞
⎛ p0 ⎞
⎛ 4 ⋅10 −2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟ = 86 dB
= 20 log10 ⎜⎜
= 20 log10
LP = 10 log10
−6 ⎟
⎜ p ref ⎟
⎜ p ref ⎟
2
10
⋅
⎠
⎝
⎝
⎠
⎝
⎠
3
PROBLEMA 2
La ecuación del segundo armónico de una onda estacionaria en una cuerda de 10 m de longitud sometida a
una tensión de 50 N está dada por
y ( x, t ) = 8 sin (0.2π x ) ⋅ sin (20π t )
x en m, y en cm, t en s
a) Determinar la frecuencia y velocidad de propagación de las ondas viajeras cuya interferencia produce la
onda estacionaria en esta cuerda y calcular la densidad lineal de masa.
b) Escribir la ecuación de onda del término fundamental. Hallar la máxima velocidad de vibración de un punto
de la cuerda en este modo, suponiendo que la amplitud máxima es igual que la del segundo armónico.
y (cm)
c) Determinar las posiciones de los nodos del cuarto armónico.
10
k 2 = 0.2π m -1
2π
2π
λ2 =
=
= 10 m
k 2 0.2π
a) Parámetros de la onda
. estacionaria
v=
ω2
k2
=
20π
= 100 m/s
0.2π
ω2 = 20π rad ⋅ s -1
20π
ω
f2 = 2 =
= 10 Hz
2π
2π
v=
T
µ=
µ
2L
λ4 =
=5m
4
y4 ( x, t ) = 8 sin (0.4π x ) ⋅ sin (40π t )
x en m, y en cm, t en s
4
2
0
T
50
= 4 = 5 ⋅10 −3 kg/m
2
v
10
f n = n ⋅ f1
λ1 =
ω1 =
ω2
2
2L
= 20 m
1
y1 ( x, t ) = 8 sin (0.1π x ) ⋅ sin (10π t ) x en m, y en cm, t en s
ω4 = 4ω1 = 40π rad ⋅ s -1
6
-2
b) Las frecuencias de todos los armónicos son
. múltiplos enteros del término fundamental
λ
2L
Longitud de onda: L = n n
λn =
2
n
c) Ecuación 4º armónico
8
-4
-6
-8
x (m)
-10
= 10π rad ⋅ s
-1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k1 = 2π / λ1 = 2π / 20 = 0.1π m -1
vmax = y&1 ( x, t )]max = 80π cm/s
2π
2π
k4 =
=
= 0.4π m -1
λ4
5
y (cm)
10
8
6
4
2
Hay un nodo para cada valor x que verifica
sin (0.4π x ) = 0
x1 = 0 x2 = 2.5 x3 = 5 x4 = 7.5 x5 = 10 (m)
0
-2
-4
-6
4
-8
-10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x (m)
9
10
Y
q2
X
q1
0.25 m
PROBLEMA 3 (2 puntos)
Un par de cargas puntuales del mismo valor y signos contrarios separadas cierta
distancia forman un dipolo eléctrico. Se tienen dos cargas q1 = 2⋅10-5 C y q2 = -2⋅10-5
C situadas a 0.50 m de distancia (véase la figura).
a) ¿Es igual a cero el campo eléctrico en algún punto del eje X? Calcular su valor en
el punto A(0.25, 0). La constante de Coulomb es k = 9⋅109 N⋅m2/C2.
b) ¿Cuál es la fuerza que cada carga del dipolo ejerce sobre su compañera?
0.25 m
d = 0.252 + 0.252 = 0.35 m
E=k
q2
q1
sin
45
º
sin 45º
+
k
d2
d2
= 9 ⋅109
r
E+
r
E−
A
X
d
q1
45º
0.25 m
Y
2 ⋅10 −5
sin 45º = 1.04 ⋅106 V/m
2
0.35
q2
b) La fuerza está dada por la ley de Coulomb. Su valor es:
d = 0.50 m
q1
0.25 m
r
r
q q r
2 ⋅ 10 −5 ⋅ (− 2 ⋅ 10 −5 ) r
F12 = k 1 2 2 u12 = 9 ⋅109
j = −14.4 j (N )
2
0.50
d
−5
−5
r
r
r
q1 q2 r
9 2 ⋅ 10 ⋅ (− 2 ⋅ 10 )
=
9
⋅
10
(
− j ) = 14.4 j (N )
F21 = k 2 u21
2
0.50
d
Y
r
q2 E
45º
0.25 m
a) Las cargas están colocadas simétricamente: en cualquier punto del eje X la
distancia a ambas cargas es la misma, por lo que el módulo del campo eléctrico
creado por cada una de ellas es el mismo (las cargas son de igual valor absoluto).
Pero esos campos tienen diferentes orientaciones. Respecto a la componente
horizontal, la del campo E+ está dirigida en el sentido positivo del eje X y la
componente horizontal del campo E- apunta en el sentido negativo de ese eje, y se
compensan entre si. Pero la componente vertical de ambos está dirigida en el sentido
positivo del eje Y, y una nunca puede compensar a la otra. Por eso el campo eléctrico
resultante en cualquier punto del eje X nunca puede ser nulo a una distancia finita.
r
r
u21 = − j
r
F12
r
F21
r
r
u12 = j
0.25 m
Véase que se trata de fuerzas de atracción, como corresponde a cargas de signo contrario.
5
X