Circuito RLC Circuito RLC

Circuito RLC
i(t) = 0 Antes de cortocircuitar
i(t) " 0 Después de cortocircuitar
!
Circuito RLC
v A ,vC ? v A (t) = u(t)V
iR = iL = iC
#V " v B
dv
v B = V " RCX
= iL = iC = CX C
%
dt =>
$ R
di
%
L L = v B " vC
v B = vC + LCX
&
dt
LCX
d 2vC
dv
+ RCX C + vC = V
2
dt
dt
dvC
dt
d 2vC
dt 2
<= vC (t)
!
1
Circuito RLC
CIRCUIT RLC
VX A 0 DC 10
CX C 0 10u
LX B C 1m
RX A B 1K
.IC V(C)=0
.PRINT TRAN V(C)
.TRAN 0.5m 50m UIC
.END
Resultados de la simulación
V
v(c)
10
voltage
8
6
4
L<R2C/2
XXX
2
0
0
10
20
30
time
V
40
50
ms
v(c)
20.0
L>R2C/2
voltage
15.0
10.0
XXX
5.0
0.0
T = 2" LC
0
10
20
30
time
40
50
ms
!
2
Características temporales
• Inicialmente las señales pasan por un
período transitorio
• Pasado este período la señal se
estabiliza y pasa a un estado
estacionario
V
v(b)
10
Estacionario
voltage
8
Transitorio
6
4
XXX
Estacionario
2
0
0.0
mA
5.0
10.0
15.0
time
ms
20.0
25.0
30.0
-i(vin)
10
Estacionario
current
8
Transitorio
6
4
XXX
Estacionario
2
-0
0.0
2.0
4.0
6.0
time
8.0
10.0
us
3
V
v(c)
10
voltage
8
Estacionario
Transitorio
6
4
XXX
Estacionario
2
0
0
10
20
30
time
V
40
50
ms
v(c)
20.0
Estacionario
Transitorio
voltage
15.0
10.0
XXX
Estacionario
5.0
0.0
0
10
20
30
time
40
50
ms
Uso de ecuaciones diferenciales
• Relativamente simple para circuitos RC
y RL
RC
dVC (t)
= V " VC (t)
dt
• Complejo para circuitos con varios
componentes (ej. RLC)
!
LCX
d 2vC
dv
+ RCX C + vC = V
2
dt
dt
• Uso de métodologias de resolución
simples: Formulismo de Laplace
!
4
La transformada de Laplace
• Simplificación de funciones temporales
V (s) =
$
#
0
v(t)e"st dt
L
v(t) %%&V (s)
• Me permitirá usar las mismas técnicas
de circuitos usadas hasta ahora
!
5
Linealidad de la T.L
L[ x(t) ] = X(s)
L[ y(t) ] = Y(s)
L[ x(t)k + y(t)r ] = k L[ x(t) ] + r L[ y(t) ]
= kX(s) + rY(s)
Aplicación de la linealidad:
6
Problema propuesto 3.2
• Aplicando la propiedad de linealidad. Calcular
la transformada de Laplace de:
y(t)=2(e-4t-e-3t)u(t)
L[ y(t) ] = Y(s) =?
Ayuda: L[ u(t)eat ] = 1/(s-a)
Tabla de Transformadas
7
Tabla de Transformadas
Ventajas de la T.L.
• Las ecuaciones diferenciales se
convierten en ecuaciones algebraicas
dVC (t)
= V " VC (t)
dt
dV (0)
VC (0) = C
= 0 (Condiciones iniciales)
dt
#
V
RC [ sVC (s) " VC (0)] = " VC (s)
s
t )
&
"
V
L -1
VC (s) =
$$
$%VC (t) = V (1" e RC +u(t)
s(1+ sRC )
'
*
RC
!
8