Análisis Transitorio Circuitos RL, RC

Análisis Transitorio
Circuitos RL, RC
En esta sección se analizarán circuitos compuestos por elementos tales como bobinas,
condensadores y resistencias, durante el momento en el cual se produce una redistribución de la
energía, esto, debido al cambio o variación de las fuentes de energía a la cual están siendo
sometidos. Dicha variación es producida por la incorporación o eliminación de las fuentes de
energía en el circuito, lo que ocurre a través la utilización de interruptores (conmutación de
interruptores), los cuales de alguna forma agregan o quitan una o varias ramas al circuitos.
La situación descrita produce cambios en las cantidades de energía almacenada en los
elementos que tienen comportamiento capacitivo o inductivo, estableciendo nuevas condiciones
iniciales para algunas situaciones y valores permanente para otras. Dicho proceso no es
instantáneo.
Por otro lado, estos fenómenos también ocurren cuando las excitaciones varían en el
tiempo, tal es el caso de las redes excitadas con señales similares a los escalones o tipo pulso.
Un efecto muy ilustrativo consiste en un Flash para máquina fotográfica, el cual requiere de un
periodo de tiempo para quedar operativo, sin embargo, el resplandor es producido por una
descarga que demora solo unos milisegundos. Internamente existe un condensador el cual
almacena energía, que posteriormente es disipada en forma de luz y calor.
Ecuación diferencial de 1º orden
El proceso transitorio teóricamente se produce un lapso infinito de tiempo, pero en la
práctica esto depende de los parámetros del circuito.
El análisis comprende dos etapas:
• Determinación de la respuesta transitoria
• Determinación de la respuesta a régimen permanente
Como el circuito está compuesto por bobinas, condensadores y resistencias, el
planteamiento de las ecuaciones de circuito permite llegar a una ecuación diferencial de coeficientes
2
Teoría de Redes I
constantes que puede ser de tipo homogénea (igual a cero) o No Homogénea como las mostradas a
continuación
d n y (t )
d n− 1 y (t )
dy (t )
an
+ a n− 1
+ ... + a1
+ ao y (t )= 0
n− 1
n
dt
dt
dt
ó
d y (t )
d y (t )
dy (t )
+ an− 1
+ ... + a1
+ a o y (t )= x o (t )
n− 1
n
dt
dt
dt
n− 1
n
an
En la ecuación planteada y(t) representa la respuesta del sistema (Red) y x(t) representa la
excitación (o excitaciones).
Los circuitos de primer orden, basados en redes tipo R-C y R-L, son descritos por una
ecuación diferencial de primer orden.
Sea la ecuación de primer orden no homogénea
a1
dy (t )
+ ao y (t )= x(t )
dt
La solución de esta ecuación es una función que depende de dos componentes, una llamada
transitoria (o natural) y la otra llamada permanente (o forzada).
y (t )= y t (t )+ y p (t )
Físicamente la solución transitoria dependerá de las conmutaciones en el circuito, o
variaciones que pueda experimentar la función de excitación, y la permanente es función de la
fuente de energía aplicada.
En los problemas clásicos de primer orden establecen un tipo de excitación constante, de la
forma
x(t)=A
Luego se tiene
a1
dy (t )
+ a o y (t )= A
dt
En una ecuación diferencial no homogénea, la solución transitoria se obtiene a partir de la
ecuación homogénea, despejando la variable correspondiente e integrando directamente la
ecuación.
dy t (t )
+ ao y t (t )= 0
dt
dy (t )
a1 t = − ao y t (t )
dt
a1
dy t (t )
a
= − 0 dt
y t (t )
a1
a
ln y t (t )= − 0 t + K
a1
Circuitos de Primer orden
3
y t (t )= e
−
ao
t+ K
a1
y t (t )= K 1 e
−
ao
t
a1
La solución yp(t) permanente será entonces, la solución de la ecuación no homogénea. Para
encontrar dicha solución debemos considerar que la solución permanente es la que se manifiesta
una vez terminado el proceso transitorio (este estado el sistema está siendo sometido a un
excitación constante o no). Una vez terminando el transiente la solución tenderá a un valor
constante, eso quiere decir que las variaciones de la respuesta en el tiempo no existirán, lo que
implica que la derivada de dicha respuesta es cero, de acuerdo a esto se tiene
dy p (t )
+ ao y p (t )= A
dt
0 + a o y p (t )= A
a1
Despejando
y p (t )=
A
ao
Finalmente la solución de la ecuación diferencial
y (t )= y t (t )+ y p (t )= K 1 e
a
− 0t
a1
+
A
a0
El valor de la constante K1 se determina utilizando una condición inicial llamada y(t)|t=t
o
=y(t0). Conociendo dicha condición es posible despejar la constante K1, es decir
y (t o )= K 1 e
a
− 0 t0
a1
A
a0
+
a
Note que si to=0
− 0 t0
A
y (t o )−
= K 1 e a1
a0
A
y (t o )−
a0
K1 =
a
− 0 t0
e a1
y (0 )−
K1 =
1
A
a0
= y (0 )−
a
A
a0

A  − a10 t A
e +
y (t )= 
y
−
(
0
)

a0 
a0


4
Teoría de Redes I
Si las condiciones iniciales no son dadas en forma explícita, éstas deben ser determinadas
del circuito. Estas condiciones sólo se manifiestan en los elementos que almacenan energía, ya sea el
condensador o la bobina.
Si la condición inicial es cero, entonces la solución
a
A − a01 t A
+
y (t )= −
e
a0
a0
Esta es una función que parte de cero y varía exponencialmente hasta llegar al valor A/a0
para un t infinito.
Un elemento importante de esta respuesta es el valor que acompaña a t, el cual determina
que tan rápido la función llega al valor final. Se define entonces el parámetro τ como
τ=
a1
a0
Este parámetro recibe el nombre de constante de tiempo y equivale aproximadamente al
tiempo en el cual la respuesta llega 63% del valor final. Al trabajar con valores numéricos, se
considera τ como el inverso del factor que acompaña a t.
y (t )=
A A − τt
−
e
a 0 a0
y(t)
0,63
A
a1
A
a1
τ
t
Figura 1. Respuesta y(t)
Otro aspecto interesante es que esta ecuación diferencial representa un sistema lineal (red
lineal), esto quiere decir que es posible trabajar con múltiples excitaciones, obtener la respuestas
individuales y luego sumarlas.
Circuito Básico R-C y R-L sin excitación
Considere la siguiente red R-C , la cual no tiene excitación, pero si un condensador con una
carga inicial, la cual puede ser representada por un voltaje inicial VO.
Circuitos de Primer orden
5
S
R
_
+
t=0
vc =Vo
C
_
vR
R
ic
iR
+
C
vc =Vo
_
+
Figura 2. Circuito RC sin excitación en la entrada.
Aplicando la LCK para t ≥ 0 + , se tiene
Pero
i R = iC
vR
dv
=C C
R
dt
− vR = vC
v
dv
− C =C C
R
dt
dvC vC
C
+
=0
dt
R
Note que es una ecuación de primer orden homogénea
dvC
dt
=−
vC
RC
Integrando
t
+ K1
RC
ln vC = −
 t

+ K1 
−
RC

vC (t )= e 
vC (t )= Ke
−
t
RC
Para encontrar la solución particular se debe considerar la condición inicial. Luego
tomando en cuenta que el interruptor se cierra en t=0, y que el voltaje en el condensador en ese
instante es igual a VO, se tiene
vC (0 ) = VO = Ke
−
0
RC
= K ⋅1
K = VO
La solución entonces será
vC (t )= VO e
−
t
RC
Para todo t>0+.
Observe que a medida que avanza el tiempo, la exponencial va disminuyendo, luego
cuando t→ ∞, dicha componente se hace cero. Gráficamente se tiene
6
Teoría de Redes I
vc (t)
Vo
t
τ
Figura 3. Respuesta del condensador.
Esta curva se conoce como descarga del condensador, y la energía almacenada inicialmente
en el condensador se va disipando sobre la resistor R. Esta solución se conoce como la respuesta
natural del sistema.
Para esta situación se tiene que
τ = RC
y tiene unidades de tiempo, pues, [Faradio]. [Ohm]=[Segundo]
El ejemplo puede repetirse considerando un circuito R-L básico sin excitación. Tome en
cuenta además, que la bobina tiene una corriente inicial iL(0)=IO
_
S
R
t=0
vR
L
+
iL
R
iR
Figura 3. Circuito RL sin excitación en la entrada.
Aplicando la LVK para t ≥ 0 + , se tiene
Pero iR=iL
v R + vL = 0
di
iR R + L L = 0
dt
diL
+ iL R = 0
dt
diL
R
= − dt
iL
L
R
ln iL = − t + K 1
L
L
Como iL(0)=IO
L
iL (t )= Ke
−
R
t
L
iL (0 )= I O = Ke
K = IO
−
R
0
L
= K ⋅1
vL
_
i L(0)=Io
i L (0) =I o
+
Circuitos de Primer orden
7
iL (t )= I o e
−
R
t
L
Observe que la curva de la corriente tiene la misma expresión que el voltaje en el
condensador. En este caso la constante de tiempo está dada por
τ=
L
R
El cociente L/R tiene unidades de segundo.
Red R-L Serie con excitación
Consideremos el siguiente ejemplo
S
e(t)
+
t=0
R
L
iL(t)
Figura 4 Circuito RL con excitación en la entrada.
Este circuito contiene un interruptor S (Switch), el cual se ha de cerrar en t=0. Antes la red
R-L no esta sometida a ningún tipo de excitación.
Cuando el interruptor se cierra, la red RL queda alimentada por e(t)
i R(t)
e(t)
+
R
L
iL(t)
Figura 5. Circuito R-L con interruptor cerrado.
Planteando las ecuaciones de voltaje para t ≥ 0 + , se tiene:
e( t ) = i R R + L
di L
dt
La ecuación planteada corresponde a una Ecuación Diferencial de 1ºorden NO Homogénea,
cuya incógnita es la corriente iL(t)=iR(t). La solución de la ecuación diferencial esta formada por dos
componentes, un componente transitorio y un componente permanente. El primero depende
exclusivamente de las condiciones iniciales del sistema y el segundo es dependiente básicamente de
la excitación (también se le llama respuesta forzada)
De esta forma tenemos que
i L (t ) = i i (t )+ i p (t )
8
Teoría de Redes I
Consideremos que e(t)=v1 constante.
di L
+ i L R = v1
dt
L
Para encontrar la solución de esta ecuación, se determina la solución de la ecuación
homogénea integrando directamente (esto nos entrega la respuesta transitoria).
diLt
+ iLt R = 0
dt
di
L Lt = − iLt R
dt
diLt − R
=
dt
L
iLt
R
ln iLt = − t + K
L
L
 R

− t + K 
L

iLt (t )= e 
 R 
− t 
L 
 R 
− t 
L  K
= e
e = K1e
Tomando la ecuación no homogénea encontramos la solución permanente
L
diLp
dt
+ iLp R = v1
0 + i p R = v1
Despejando
iLp =
v1
R
La solución completa de la ecuación diferencial es
 R 
− t 
L 
iL (t )= iLt (t )+ iLp (t )= K 1 e 
+
v1
R
Para encontrar el valor de K1 se debe conocer la condición inicial del problema. Como el
circuito está abierto, la bobina no ha sido sometida a ninguna excitación antes de cerrar el
interruptor, luego en t=0-, iL(0-)=iL(0)=0, no tiene energía almacenada.
Evaluando la solución en esta condición
iL (0)= 0 = K 1 e
 R 
 − ⋅0 
 L 
i L (0 ) = 0 = K 1 ⋅1 +
K1 = −
v1
R
Finalmente la solución completa queda
+
v1
R
v1
R
Circuitos de Primer orden
9
R
v1 − L t  v1
+
i L (t ) = −
e
R
R
Expresada en forma clásica


− t  
v 
i L (t ) = 1 1 − e  L  

R


R
Note que en el instante t=0, la corriente vale 0, pero a medida que se incrementa el tiempo,
la componente exponencial decrece, haciendo que la corriente aumente. En t→ ∞ la corriente toma el
valor
i L (t )=
v1
R
Por otro lado si se considera el aspecto de que la bobina almacena energía al ser sometida a
una excitación constante, dicho elemento se comporta como un cable, luego la corriente será, la
excitación dividida por la corriente.
El proceso de almacenamiento de energía no es instantáneo, pero tampoco podemos
considerarlo extremadamente largo. En la práctica una buena aproximación es considerar que el
valor final ocurre para t=5τ , para esta situación particular tenemos que τ=L/R.
Circuito R-C Serie Con Excitación
Sea el siguiente circuito
s
v(t)
+
t=0
+
R
vc (t)
C
_
Figura 6. Circuito R-C con excitación en la entrada.
Planteando las ecuaciones de nudos para t ≥ 0 + , se tiene
i R (t )= iC (t )
vR (t )
dv (t )
=C C
R
dt
v(t )− vC (t )
dv (t )
=C C
R
dt
El resultado es una ecuación de 1ºorden No Homogénea
C
dvC (t ) vC (t ) v(t )
+
=
dt
R
R
10
Teoría de Redes I
Como v(t)=v1
C
La solución de la ecuación
dvC (t ) vC (t ) v1
+
=
dt
R
R
vC (t ) = vC t (t )+ vC p (t )
Para determinar la solución transitoria debemos resolver la ecuación homogénea
dvC t (t ) vC t (t )
+
=0
dt
RC
dvC t (t )
1
dt
=−
vC t (t )
RC
Integrando
ln vC t (t )= −
vC t (t )= e
−
1
t+ K
RC
1
t+ K
RC
vC t (t )= K 1 e
=e
−
1
t
RC K
e
1
−
t
RC
La solución permanente se determina a través de la ecuación no homogénea haciendo la
derivada igual a cero.
C
dvC p (t ) vC p (t ) v1
+
=
dt
R
R
C ⋅0 +
vC p (t )
vC p (t ) =
Luego la solución
R
v1
R
=
Rv1
= v1
R
vC (t ) = vC t (t )+ vC p (t )
vC (t )= K 1 e
−
1
t
RC
+ v1
Considerando que antes de cerrar el interruptor el condensador está descargado, luego,
esto implica que vC(0-)= vC(0)=0. Se puede determinar el valor de K1, evaluando la función en t=0.
vC (0 )= 0 = K1 e
K1 ⋅1 + v1 = 0
K 1 = − v1
Finalmente
−
1
0
RC
+ v1
Circuitos de Primer orden
11
vC (t ) = − v1 e
−
1
t
RC
+ v1
1
−
t

RC 
vC (t )= v1 
1
−
e




Note que cuando ha pasado mucho tiempo, el voltaje en el condensador vale v1, pues el
capacitor está cargado y se comporta como un circuito abierto.
Análisis de circuitos con excitación tipo pulso
Se ha considerado en los ejemplos anteriores que los interruptores tienen un tiempo de
cerrado igual a cero, es decir, la excitación que es una señal constante, es aplicada al circuito en
forma instantánea. De hecho es posible modelar este proceso mediante una función escalón
asociada a la excitación. Por otro lado, someter una red R-C o R-L a una excitación, la cual puede
estar conectada o no conectada, puede ser equivalente a excitar el circuito mediante un pulso, ya
sea de corriente o de voltaje .
vs (t)
Va
Va
+
t=t1
t=0
t
t1
(a)
(b)
Figura 7. (a) Excitación tipo pulso. (b) Implementación.
Sea el siguiente circuito
+
vs (t)
+
iR
vR _
R
iC
C
+
vc (t)
_
Figura 8. Circuito R-C con excitación tipo pulso.
Planteando la LCK para t ≥ 0 + , en el nodo que une la resistencia y el condensador
i R (t )= iC (t )
vS − vC
dv
=C C
R
dt
12
Teoría de Redes I
C
dv C v C v S
+
=
dt
R
R
Note que la excitación vS corresponde a la indicada en la Fig. 7a, luego esta ecuación
diferencial puede ser resuelta por tramos.
Considerando que 0<t<t1
dvC vC Va
+
=
dt
R R
1
−
t

RC
−
vC (t )= Va 
1
e





C
para 0 < t < t1
Considerando ahora para t>t1
C
dvC vC
+
=0
dt
R
vC (t )= Ke
−
1
t
RC
vC (t )= Ke
−
1
(t − t1 )
RC
para t > t1
ó
u(t-t1 )
Observe que en la última ecuación existe un desplazamiento temporal, pues la segunda
exponencial empieza en t=t1.
Para determinar K, se deben evaluar ambas curvas en t=t1 , es decir
(
vC (t 1 )= Va 1 − e
− 1 RC t1
)
Para el segundo tramo se tiene
vC (t1 )= Ke
t − t 
− 1 1
 RC 
= K ⋅1
Igualando ambas expresiones
(
K = Va 1 − e
− 1 RC t1
)
La solución particular finalmente queda
(
vC (t ) = Va 1 − e
− 1 RC t1
)e
t− t 
− 1
 RC 
u(t − t 1 )
Es importante mencionar que si el tiempo durante el cual le excitación permanece en el
valor Va es pequeño, es decir, menor a 5 veces la constante de tiempo, el voltaje en el capacitor no
llegará al valor máximo.
La siguiente figura ilustra las situaciones planteadas.
Circuitos de Primer orden
vs (t)
13
vs (t)
t 1 > 5RC
Va
t 1 < 5RC
Va
t
t1
t1
t
Figura 9. Respuesta a una excitación tipo pulso.
Tarea 1
Considere el circuito R-C con la excitación indicada en la figura. Determine el voltaje en el
condensador.
vs (t)
Va
t1
t2
t
Tarea 2
Considere un circuito R-L serie con excitación indicada y la condición inicial, iL(0)=IO
i s(t)
Ia
Ia
2
t1
t2
Determine la corriente en la bobina para todo t.
t