Modelo de Harrod

Estefanía Alonso Pérez
Ana Mª Estévez Rodríguez
Beatriz Pérez Hernández
A) Introducción histórica.
Roy Forbes Harrod.
Nacido en Londres en 1900 y fallecido en Holt (Norfolk) en 1978. Economista
británico. Seguidor de John Maynard Keynes, estudió las condiciones del crecimiento
armonioso en una economía capitalista y los posibles factores que condicionan su
inestabilidad. Harrod estudió la carrera universitaria en las dos universidades más
prestigiosas del país, en Oxford y Cambridge. Fue uno de los discípulos más
aventajados de Keynes. En el año 1922, recién licenciado, comenzó a impartir clases en
el Christ Church de Oxford, donde permaneció hasta 1967. Su actividad docente tan
sólo se vio interrumpida por la Segunda Guerra Mundial, en la que sirvió a su país como
consejero personal del primer ministro Winston Churchill.
Nombrado, entre los años 1945 a 1961, director adjunto del The Economic
Journal, en el año 1948 publicó Towards a Dynamic Economics (Hacia una economía
dinámica), en la que afirmó, siguiendo la teoría keynesiana, que la cuestión decisiva en
el crecimiento económico de un país estribaba en la tasa de aumento del producto
nacional, necesario para garantizar el uso pleno de una cantidad de capital siempre
creciente. Precisamente, el tiempo que estuvo en The Economic Journal le permitió a
Harrod poder discutir sus ideas respecto al crecimiento con Keynes a través de una
numerosa correspondencia.
Otras obras suyas son International Economics (Economía internacional, 1933),
Life of Lord Keynes (La vida de J.M. Keynes, 1951), Economic Essays (Ensayos
económicos, 1952), The Dollar (El dólar, 1953), Reforming the World's Monetary
System (Reforma del sistema monetario mundial, 1965) y Towards a New Political
Economy (Hacia una nueva política económica, 1967).
En 1952 fue nombrado asesor del Fondo Monetario Internacional. Desde este
puesto, Harrod siguió haciendo notables aportaciones teóricas sobre comercio
internacional, los problemas de la liquidez internacional, los problemas de crecimiento
económico superando las condiciones del equilibrio estacionario y los ciclos
económicos; para ello se basó en esquemas del tipo de “principio de aceleración”.
En relación a esto, y teniendo en cuenta la función que realiza el progreso
técnico, Harrod elaboró un modelo económico, que expuso en su artículo Essay in
Dinamic Theory. De una manera totalmente independiente, el estadounidense Ensey
David Domar hizo el mismo hallazgo en el año 1946, por lo que el modelo económico
fue bautizado con el nombre de Harrod-Domar. En opinión de Harrod, Keynes introdujo
una importante laguna en su libro al no ocuparse de la “macrodinámica”, o lo que es lo
mismo, el análisis de las fuerzas determinantes de las tasas de aumento de las
principales categorías de la demanda (bienes de capital, exportaciones, etc.). En este
sentido, Keynes dio gran importancia a las expectativas como factor que podría influir
sobre dichas variables, pero no se ocupó en destacar cómo se formarían dichas
expectativas. Además, la introducción de las propensiones marginales dentro del
estudio, supuso también un freno al estudio dinámico.
El modelo Harrod-Domar expresa las condiciones que debe tener una economía
capitalista o de mercado para generar el volumen de demanda global necesario para
permitir el desarrollo sostenido y equilibrado. Sin abandonar nunca el sistema
keynesiano, este modelo considera la capacidad productiva como una variable a lo largo
del tiempo. Para garantizar el equilibrio a largo plazo no basta con el volumen de
ahorro, sino que es preciso que en todo momento se dé una total utilización de la
capacidad productiva, incrementada a través de las nuevas inversiones.
B. Hipótesis del modelo.
 El nivel de ahorro agregado es una proporción constante de la renta nacional
retardada un período.
 Por lo que respecta a la fuerza de trabajo, ésta crece a una tasa constante n, pero
si que ello suponga la existencia de rendimientos decrecientes, sino que son
constantes.
 Se supone que poseemos una única combinación de capital y de trabajo dentro
de la función de producción, no existiendo progreso técnico ni depreciación de
capital.
 Por lo que respecta al capital, éste es una parte del volumen de producción
existente.
 La inversión depende proporcionalmente de la variación de la renta.
 El equilibrio tiene lugar cuando el ahorro es igual a la inversión.
C) Formulación matemática.
 S(t) = s Y(t-1), siendo S(t) el ahorro agregado, Y(t-1) la renta en el período
anterior y s la propensión marginal al ahorro, encontrándose entre los valores 0 y 1.
 I(t) = k ( Y(t) – Y(t-1) ), siendo I(t) la inversión de un país en el momento t, k el
acelerador de la inversión e Y(t), Y(t-1) las rentas en el período t y t-1
respectivamente.
 S(t) = I(t)
D) Resolución y análisis del modelo.
Sustituimos las hipótesis en la igualdad y obtenemos una EDF. lineal, homogénea
de orden 1 y coeficientes constantes. No hay solución particular porque es homogénea.
Obtenemos la solución a través del Mathematica:
EDF. lineal, homogénea de orden 1 y coeficientes constantes. No hay solución
particular porque es homogénea.
RSolve Y t
1
1
s
k
t
Y t
k
s
k
1 t
C 1
Y t
0, Y t ,
RSolve
Y t
Y 0
s
k
1
Y t
0,
Y0 , Y t , t
k
Y t
s
k
k
Y t_
k
1
s
s
t
Y0
t
k
Y0
t
k
Y0
Para hallar la convergencia, damos valores a las variables. En este caso, la renta
inicial es 6000, el acelerador de la inversión es igual a 1 y la tasa de ahorro, que
sabemos que tiene que estar entre 0 y 1, le hemos dado el valor 0.5.
{Y0=6000,k=1,s=0.5}
{6000,1,0.5}
Y[t]
6000 1.5 t
m=Table[Y[t],{t,0,20}]
6000 , 9000. , 13500. , 20250. ,
30375. , 45562.5 , 68343.8 , 102516. ,
153773. , 230660. , 345990. , 518985. ,
778478. , 1.16772
10 6, 1.75158 10 6 ,
2.62736 10 6 , 3.94105
10 6, 5.91157 10 6 ,
8.86735
10 6 , 1.3301
10 7, 1.99515
10 7
ListPlot[m,PlotRange{0,100000}]
100000
80000
60000
40000
20000
5
10
15
20
ListPlot[m,PlotJoinedTrue, PlotRange{0,100000}]
100000
80000
60000
40000
20000
5
10
15
20
No hay convergencia porque tiende a infinito. Si fuera continua:
Limit[Y[t],t]

* Estabilidad.
Y[t+1]=z[t]
z t
1
y t 1
z t
1
0
A
0 1
1, 0 ,
s
k
s
k
0, 1
Y t
1
0
0 1
s
k
z t
y t
s
k
Eigenvalues[A]//N
s
1. , 1.
k
Sabemos que s y K son positivos ,
s
por tanto 1
es mayor que uno ,
k
entonces existe un módulo mayor que uno
y por tanto el sistema es inestable .
E) Conclusiones económicas.
 La solución obtenida nos indica cómo cambia la renta con el tiempo. Esta
ecuación depende de la tasa de crecimiento garantizado (s/k). Esta tasa puede
definirse como aquel ritmo general de crecimiento que de alcanzarse, dejará a los
empresarios en una actitud que les predispondrá a mantener una evolución similar.
Así pues, si la renta crece al mismo ritmo que la tasa de crecimiento garantizado, los
empresarios estarán conformes con su situación y llevarán a cabo las inversiones
necesarias. Por lo tanto, se estará en un equilibrio macroeconómico dinámico.
 Como se puede observar en el estudio de la convergencia, la renta a lo largo del
tiempo no converge hacia un punto, sino que tiende a infinito. Este crecimiento de la
renta de forma explosiva es debido a que dicha función es una función exponencial
con base mayor que 1.
 Como indica el estudio de la estabilidad, dicha función es inestable. Esto es,
cualquier desviación que se produzca en la trayectoria de equilibrio dará lugar a
desviaciones cada vez mayores de dicha trayectoria, en vez de acercamientos.
 Existe un nivel de producto que crece a una tasa de crecimiento natural. Así,
para que exista un crecimiento sostenido y equilibrado con pleno empleo, esta tasa
tiene que ser igual a la tasa de crecimiento garantizado. De esta manera, quedaría
demostrado que podemos estar en equilibrio pero con subempleo de los recursos, ya
que esta condición no tiene por qué cumplirse siempre.
F) Variantes del modelo.
Uno de los supuestos en los que se basa Harrod es que no existe depreciación,
entonces la tasa de variación del capital k sería igual al nivel de inversión.
Tendríamos que la inversión sería: I = v Y*.
Un modelo que proponemos distinto al de Harrod es que la inversión real bruta
dependa de la depreciación del capital. Es decir, I

 Inversión real bruta
=tasa de depreciación del capital físico; 0<
= depreciación del capital físico
K*=inversión real neta, incremento que experimenta el stock de capital en cada
momento del tiempo.
Otra variante es que suponemos la existencia de un sector público que recauda
impuesto en una proporción t’; por lo que la renta destinada al ahorro y a su vez a la
inversión, sería la renta total menos la proporción de la renta (Yd ) que es destinada
al impuesto. También podríamos tener en cuenta que un nivel mínimo de renta es
destinado a productos de 1ª necesidad, por lo que la inversión se llevará a cabo bajo
un mínimo de renta disponible(Yd )
La inversión sería I= v Yd ; I=v ( Y – t’Y ) siendo Yd > Ymín
Suponemos que en lugar de hallar la variación del capital como una proporción
de la variación de la renta, hallaremos la variación del capital (K’) como una
proporción (v) de la variación de la renta esperada(Ye), es decir, lo que podría variar
en el período posterior(t+1):
K’= v Ye(t+1)
Otra variante podría ser que el ahorro viniera dado por la siguiente ecuación:
S (t)= sY(t-1) – k Y(t) ; donde k es la propensión del gasto en función de las
expectativa de renta en t
0<k<s<1
Es necesario decir que esta teoría hizo resurgir la utilización del análisis dinámico y
en base a él se crearon nuevos modelo (Modelos variantes) que trataban de explicar el
crecimiento económico.
Distintos autores como los que se citan a continuación podrían ser modelos variantes del
modelo de Harrod.
-
Modelo de Kaldor: Su obra abarca distintos campos de la teoría y política
económica (fiscal, monetaria, equilibrio, economía internacional, etc.). Sólo
haremos referencia a la teoría de la distribución y la del crecimiento.
El modelo de la teoría de la distribución esta compuesto por las
siguientes ecuaciones:
Y=W+B
S=Sw+Sb
I=S
Y= producción; W= salario; B= beneficios; I= inversión; S= ahorro (Sw= de
trabajadores, Sb= de capitalistas); sb y sw son las propensiones al ahorro de capitalistas
y trabajadores
I= swW+ sbB= sbB+sw (Y-B)= (sb-sw) B + swY
Sin embargo, en el modelo de Harrod la inversión es: I=v·y*
El modelo de crecimiento recoge los factores que pueden favorecer o
perjudicar a una economía que pretende crecer. Dicho modelo se fundamenta en las
siguientes tres ecuaciones:
a) Una función de ahorro:
S/Y=(·(B/Y)+
0<Propensión marginal a ahorrar respecto a los beneficios.
0<Propensión marginal a ahorrar respecto de los salarios.
Y: Renta bruta del período.
b) Una función que recoja el progreso técnico, en el que se muestre la relación que
existe entre la tasa de crecimiento de la producción por trabajador(G0) y la tasa
de crecimiento del capital per cápita (Gk-
G0=’+’(Gk-
c) Una función de inversión que depende por una parte de la producción en un
momento inicial, para hallar el volumen de inversión en un momento
determinado; por otro lado, se tiene en cuenta la alteración que se produce en la t
asa de beneficio:
I(t+G0 (t)-’] [K(t+’] + (t+[d(Y(t)/K(t)] /dt


-
tasa de crecimiento de la población.
otro parámetro
Modelo de Pasinetti : El modelo de Pasinetti, sigue una estructura muy parecida
a la anterior, con la diferencia de la función de beneficios(B) que la desglosa
entre los beneficios del capitalista (Bc) y los de los trabajadores (Bw):
B = Bc + Bw
Las funciones de ahorro para cada uno de los dos grupos sería:
Sw= sw (W+Bw); Sc=sc Bc
La función de ahorro general es:
S=Sc+SwS= sw (W+Bw) +sc Bc
I=S I=sw (W + Bw) +sc Bc
Y=W + B I =swY + (sc – sw) Bc
-
Modelo de Samuelson: este autor parte de la idea de que el equilibrio
macroeconómico de un país debe de ser propiciado por :
Y(t) =C(t) + I(t) + G(t)
Consumo, C(t)= c Y (t-1)
Inversión, I (t)= v (Y(t-1) – Y(t-2)
Gasto = cte
-
Además de los anteriormente citados existen otros autores postkeynesianos
como Kalecki, o la sra. Robinson, que desarrollaron otros modelos que pueden
considerarse como variantes al de Harrod
-Modelo de kalecki: El modelo para una economía capitalista.
La inversión no va a depender del proceso multiplicador como en el caso del
planteamiento de Harrod, sino que va a estar relacionado con el ciclo económico.
Describe un mecanismo continuo, es decir, para crecer hay que invertir, y al invertir
modificamos el ciclo económico que puede generar mejores expectativas de
crecimiento, que provoca una variación en la inversión. El modelo sería:
a. Igualdad entre ahorro e inversión, S=I
b. Los beneficios (Bt) en relación con la inversión existente en un período de
tiempo anterior (It-w), donde A es el consumo estable y q la tendencia a
consumir de los capitalistas cuando sus beneficios aumentan: Bt= (It-w+A)/(1-q)
c. La relación entre la producción (Ot) y los beneficios. B’ y ’ son parámetros
afectados por las alteraciones sobre los beneficios y distribución de la renta:
Ot=(Bt+B’)/(1-’)+To
d. Inversión: It+=[a/(1+c)]· St+b’·(Bt^/t^)+e(Ot^/t^)+d’
-
El modelo de crecimiento neoclásico, fue elaborado inicialmente por Solow y
Swan. En sus estudios parten de algunas hipótesis comunes al modelo Harrod.
Pero estos le dan un papel más crucial a la acumulación de capital en el
crecimiento económico. El modelo se expresa mediante una función de
producción, generalmente de tipo Cobb-Douglas en el que se muestran las
relaciones que existen entre el capital y el trabajo, considerando la oferta, ya que
la demanda se ajusta a ella.
Y = A K^a L^b,
Los incrementos en la renta vendrán explicados por el incremento de los factores más
un componente residual al que llaman productividad total de los factores
- El Modelo de Solow.
Este autor parte de tres supuestos:
1. La población y la fuerza de trabajo crecen a una tasa proporcional constante (n).
2. El ahorro y la inversión son una proporción fija (s) del producto neto en
cualquier momento del tiempo.
3. La tecnología esta afectada por dos coeficientes constantes, en concreto, la
fuerza de trabajo por unidad de producto y el capital por producto (v).
Se considera que s, v y n, pueden alcanzar distintos valores a lo largo del tiempo, por
ello se plantea, cual de los tres tiene un comportamiento más importante para conseguir
el nivel de equilibrio dentro de la economía. Para Solow el término más relevante es la
relación que existe entre el capital y el producto; sin embargo, para el modelo de
Harrod-Domar, era el ahorro.
Modelo de Solow:
1. Supone que en la economía sólo se produce un tipo de bien, cuyo nivel de
producción es Y. No incluye función de inversión porque supone que todo lo que
se ahorra se invierte.
2. El ahorro es proporcional a la renta: S=sY
3. El stock de capital(k) no se deprecia y la inversión neta(I) es la tasa de
crecimiento de k. Se cumple que K*=I. Como en equilibrio S=I, entonces:
K*=sY.
4. La función de producción recoge dos factores, capital y trabajo (L): Y=F(K,L)
Es una función agregada, continua y con rendimientos constantes, por lo que se
puede expresar también de la siguiente forma: y=f(k). Siendo y=Y/L; k=K/L. La
productividad marginal del capital, f’(k)>0, para todo K, y disminuye cuando el
capital por trabajador aumenta.
5. La fuerza de trabajo crece a un nivel proporcional constante y exógeno (n):
L*/L=n. La expresión de L: L=L0ent
Utilizando todas estas ecuaciones obtenemos la ecuación fundamental del equilibrio
neoclásico: k*=sf(k)-nk
MODELO DE CRECIMIENTO ENDÓGENO
El modelo de crecimiento endógeno no considera al progreso técnico como un
factor que está exógenamente determinado. Por el contrario, Harrod no daba excesiva
importancia a dicho progreso. Para Harrod el elemento fundamental para el crecimiento
era el nivel de ahorro, por lo que las economías debían fomentarle para mejorar su
situación. En la década de los sesenta, autores como Arrow y Levhari, señalaron que el
progreso técnico presenta un comportamiento endógeno, motivado por los efectos que
genera sobre el crecimiento económico la generación de un mejor conocimiento de los
hechos y el aprendizaje.
Existen otras variantes que consideran el conocimiento como un factor de
producción, y su aplicación provoca un aumento en la productividad marginal (Teoría
de Romer). La aportación de Lucas, nos dice que el capital humano toma gran
importancia en el proceso de crecimiento, por ello, es de fundamental el papel de la
educación y formación en las escuelas.
-Modelo de Domar:
1. La inversión determina el nivel efectivo de la renta a través del multiplicador de
la siguiente forma:
Y*=(1/s)·I*
s= propensión marginal a ahorrar.
2. La inversión aumenta el nivel de renta potencial máximo (Y`), mediante un
stock de capital mayor, suponiendo que no existe depreciación.es la
productividad media de la inversión potencial
Y`=I
3. La inversión se modifica a través del comportamiento de los empresarios y
puede verse favorecida mediante la evolución de la producción.
4. La inversión puede generar capacidad productiva a un ritmo dado.
5. El empleo existente depende de la relación entre la producción efectiva y la
capacidad productiva.
Con estos supuestos se formula el modelo de Domar partiendo de la condición de pleno
empleo, por lo que se cumpliría que Y*=Y s)·I* * =s
Esta expresión nos muestra la tasa de crecimiento de la inversión que consiga que la
renta efectiva alcance su máximo nivel de crecimiento potencial, para sconstantes.
BIBLIOGRAFIA:
 Análisis Discreto en Economía y Empresa, GONZÁLEZ CONCEPCIÓN,
BARRIOS GARCÍA
 Crecimiento Económico , MIGUEL ÁNGEL GALINDO-GRACIELA
MALGESINI
 Buscadores de Internet.