La m odelizaci¶on de la curva obtenida en elensayo de sorci¶on de

La m o deliza ci¶
o n de la curva obte nida e n e le nsayo de sorci¶
o n de
iodo e n ¯br asde p oli¶
e ste r de uso te xtil
GabrielGuill¶
e n B ue nd
¶
³a*A na Mar¶
³a IslasC orte s*O lga R u¶
³zMa ldo nado
Instituto Po lite cnico N acionalE sit07 7 38 GA M M¶
e xico D.F.
*
e -m a il: guillen15@hotm ail.com
R e ci
bi
d
o : 2 de Se p tiem br e de 2 004.
A ce p tad
o : 3 de N oviem bre de 2 004.
R e sum e n
E n e l p r e se nte tra ba jo se a borda la va lora ci
on
¶
num ¶
e rica de las consta nte s de un m o delo si
gm oi
dala justa do a la cur va obte nida dele nsayo de sorci¶
o n de i
o do e n funci¶
o n de te m p e ra tura dele nsayo,
y q ue e suti
li
za da p a ra ca r acte r i
zar la m icro e structura de las¯br aste xtiles,m i
sm a q ue de¯ne susp ropi
e dadesm e c¶
a nica s,funciona lesy ti
nt¶
o re as.La va lora ci
o n num ¶
¶
e rica de losp a r¶
a m e trosdelm o delo se
re ali
z¶
o a trav¶
e sde dost¶
e cnica sm ate m ¶
a ti
casdistinta s,ca be indi
ca r q ue a m ba s t¶
e cni
cas e n la d¶
e ca da de los 80 se ha br¶
³an consi
dera do com o te rm i
na les.Si
n e m ba rgo,e n la a ctua lidadcon la a p li
ca ci
o n de la com p uta ci¶
¶
o n consti
tuye n m ¶
e to dosde
a p roxim aci
o n inicialp a ra op tim iza rse p or re gr e si
¶
on
¶
no line a l.
Pa labra sclave s.-Mi
cro e structura ,t¶
e cnica de sorci
on
¶
de i
o do,si
gm oide de Gom p e tz,a lgori
tm o de Gugge nhe im ,m ¶
e to do Mar q uar dt.
I.Intro d
ucci
on
¶
La s¯br aste xti
lesa lo largo de la ca dena p r oductiva m o di¯ca n su m icro e structura y p or e nde de¯ne n susp r op iedadesm e c¶
a ni
ca s,tint¶
o r e a sy com p orta m iento e n su uso ¯nal.Pa ra a p a re ce r una p rop iedaddete rm i
na da e n las¯bra sq ue no la p ose e n,convi
e ne m o di¯ca r la m i
cro e structura a un nive le n la
q ue se ha com p roba do la r e laci
o n e ntre ¶
¶
e sta y la p ropi
e dadconsider ada [1]
.
Pa ra e studiar la m icro e structura , e s p re ci
so ha ce r uso de m e diosindi
r e ctosde obse rva ci¶
o n,com o
la di
fra cci
o n de los e lectrone s,o de los rayos X ,
¶
q ue p e rm ite n lo ca li
zar los ¶
a tom os,la e sp e ctroscopi
a in°a -ro ja,la e sp e ctrogra f¶
³a R a m a n,la r e sona nci
a
m a gn¶
e ti
ca nuclea r q ue p e rm i
te e va lua r lasfue rzasde
35
cohe si
o n e ntre m ol
¶
¶
e culas,se g¶
u n su dire cci¶
o n y su inte nsi
dad,e lgra do de orienta ci
o n de losgra ndese je s
¶
m a cr om olecular e s,laszona sde a lta o ba ja crista nilidad.E la n¶
a lisisq u¶
³m i
co,la cr om a togr af¶
³a,q ue p e r m ite n identīcar lose lem e ntoso losgrup osfunci
ona lesde la e structura de lasm a crom ol
¶
e culas,la vi
scosi
m e tr¶
³a ,la osm om e tr¶
³a ,la ultra ce ntrifuga ci¶
o n,e tc.,
p rop orcionan i
nform aci
o n sobr e su longitud,form a
¶
ge ne r aly hom oge ne i
dad.Sin e m bar go,dicha st¶
e cnica sge ne ra lm e nte e st¶
a n fue ra delalca nce de un labora tor i
o te xtilconve ncional[1]
.
Una e xce lente a lte r nati
va e con¶
o m ica ,re p ro ducible,
se nci
lla y de a lta se nsibi
li
dada la va riaci¶
o n de la m icro e structura de las¯bra slo consti
tuye n last¶
e cnica sq u¶
³m i
cas; e ntre e llas,se cita n e ltiem p o y te m p e ra tur a cr¶
³tica de disoluci
o n,solubilidaddife re n¶
cialy sorci¶
o n de i
o do.
E sta u¶lti
m a e sun p a r¶
a m e tro de la m i
cro e structura p rop ue sto p or p rop ue sto p or Schw e rtasse k [2 ]p a ra e va lua r indire cta m e nte e lvolum e n li
bre [2 ]de las
¯bra sce lul¶
o si
cas.Lasm i
sm a scondicione sdele nsa yo conduje ron a sor cione sm uy ba ja se n e lca so de las
¯bra sde p oli
¶
e ste r,ya q ue e lm e dio a cuoso,hi
ncha nte de las¯br asce lul¶
o si
ca s,no a ctu¶an com o ta lcua ndo se trata de a q u¶
e llas.Sladece k [3]obse rv¶
o q ue la
sorci¶
o n re sulta ba m uy favore cida cua ndo se re ali
za ba e n un m e dio q ue conte n¶
³a fe nol,e lcua la ctu¶a com o m e dio hi
ncha nte delp oli
¶
e ste r,delm i
sm o m odo q ue lo ha ce e la gua p or s¶
³m ism a cua ndo se tra ta de ¯bra sce lul¶
o si
cas.La cko & Gaa nski[4]e studiaron con deta lle la i
n°ue ncia de lasva riablesdelp roce so de sor ci¶
o n de iodo p or e lp oli
¶
e ste r (conce ntra ci¶
o n de fe nole i
o do,dur aci
o n dele nsayo)y ta m bi
¶
¶
en
de q ue m ane ra la sorci
o n e si
¶
n°ue nciada p or la e structura de la ¯bra (te m p e ra tura y r e laci
o n de e sti¶
ra do,te m p e ra tura de te rm o¯ja do).
Ga c¶
e n y Ma i
llo [5]consi
dera ron i
nte re sa nte conoce r la var i
a ci¶
o n de la sor ci¶
o n de iodo e n funci¶
o n de
36
la te m p e ra tura dele nsayo,con la i
nte nci¶
o n de conoce r i
ndire cta m e nte la e voluci¶
o n delvolum e n libre de
la ¯bra [4]
.E llo p e rm ite distingui
r con m ayor p r e cisi¶
o n e ntre m ue stra sde lasq ue se dese e cono ce r si
e xiste n dife re nciase n su m i
cro e structura ,lascua les
p or otra p a rte ,p ue den conducir a dife re nte sa bsorcione sde colora nte e n un p ro ce so tint¶
o r e o,o a com p orta m i
e ntosi
r re gular e so insa tisfa ctoriose n su p roce sa do o a lo largo de su uso.
Por otra p a r te ,la consulta bi
bli
ogr¶
a ¯ca r e a liza da p a re ce indica r q ue no e xiste i
nform a ci¶
o n con r e laci
on a
¶
la p a ra m e triza ci¶
o n num ¶
e ri
ca de la curva sorci¶
o n de
i
o do.E n e ste se ntido,abor dam osdosm ¶
e todosp a ra a justa r una sigm oi
de de Gom p e tza la curva obte ni
da dele nsayo de sorci¶
o n de iodo e n ¯bra sde p oli
¶
e ste r e n funci¶
o n de la te m p e ra tura de e nsayo.Pa ra re ali
za r e le nsayo de sorci
o n de iodo con otra s
¶
¯bra s e s ne ce sa rio cam bi
a r la soluci
o n hincha nte .
¶
E n e ste traba jo u¶ni
ca m e nte tra ta m os¯bra sde p oli
¶
e ste r .E sre leva nte ha ce hinca p i
¶
e e n una clasi¯ca ci¶
o n de losm o delos,p ar a si
m p li¯car la com p r e nsi
on
¶
deldo cum e nto.
La si
guiente clasi¯ca ci
o n e sge n¶
¶
e rica y funciona p e rfe ctam e nte p ar a losob je ti
vosdele studi
o.Losm o delosse clasīcan e n: m o delosform a les,m odelosp se udoform a lesy,m o delose m p ¶
³ricos.
E lm o delo form a lse ca ra cte riza :
a )Por p rove ni
r de p ostulados,com o e je m p lo losm odelosde din¶
a m ica cl¶
a si
ca,q ue p rovi
e ne n de lastre s
Le ye s de N e w ton; p or e je m p lo,e lm o delo de a dsorci
o n de B r una ue r,E m m e tty Te ller q ue p r ovie¶
ne de losdosp ostuladosde dichosa utore s,o tam bi
¶
e n losm o delosde difusi
o n q ue p roviene n de lasdos
¶
leye sde Fi
ck y m uchose je m p losm ¶
a s.
b)E lm o delo form a lse ca ra cte riza p or r e gi
r a to dos
o a una e nor m e ca nti
dadde fe n¶
o m e nosde la ¶
³ndole
conce rniente a ¶
e l.
La sca ra cte r¶
³stica sde un m o delo p se udoform a lson:
a ) Ha be r si
do obte nido p or t¶
e cni
cas de a n¶
a lisis
num ¶
e rico;
b)Q ue susconstante sp a ra m ¶
e trica ste nga n signi¯ca do claro,un¶
³vo co y p re ciso,y
C o nta cto S 54
,35{41(2 004)
b)Pose e r consta nte sp a ra m ¶
e tri
casq ue p ose e n un signīcado f¶
³si
co m uy p obre o nulo;
c) Su utilidadse re stringe a lra ngo e n e lq ue fue
dete rm i
na do y alca so e sp e c¶
³¯co p a ra e lq ue fue
dete rm i
na do.
E lm o delo q ue se utiliz¶
o p a ra a justa r a losdatose xp eri
m e nta lesde la ta bla 1 e se m p ¶
³rico,si
n e m bar go e n lascienci
a se xi
ste n m odelose m p ¶
³ri
cosq ue con
e lti
e m p o se han clasīca do com o p se udoform a l.Por
e je m p lo,e n 187 1 se e ncontr¶
o q ue e lcalor e sp e c¶
³¯co delsulfa to de so dio e n t¶
e r m inos de la te m p e ra tura ,a justa ba p e rfe ctam e nte a una hi
p¶
e rbola e xp one nci
a lcon a s¶
³ntota .Poste riorm e nte se e studiaron va riassalesi
norg¶
a ni
ca sy se vio q ue la m ayor¶
³a
obe dec¶
³a a di
cha e cua ci¶
o n,con lo cua llasconsta nte sp a ra m ¶
e trica sp ose e n un si
gni¯ca do claro,un¶
³voco y p r e ciso y adem ¶
a se sobe decido p or m ucha ssa lesorg¶
a nica s.
II.Par am e tri
zaci
on d
¶
e l
a cur va so r ci
on d
¶
e i
od
o e n funci
on d
¶
e l
a te m p e r atur a d
e e nsayo
E n e lp re se nte e studi
o se va lora la sorci
o n de io¶
do de una ¯br a de p oli
¶
e ste r de uso te xtily se e xp re sa p or losm i
li
gra m osde iodo sorbidosp or gra m o de ¯br a,desp u¶
e sde p e rm ane ce r e n contacto dura nte ve i
nte m inutoscon una soluci¶
o n 0.5 M de iodo e n agua q ue contiene fe nolcom o age nte hincha nte .De sp u¶
e sde lava r la ¯bra ,se devue lve e n una soluci¶
o n de fe nol-te tra clor o e ta no y se va lora e li
o do sor bi
do con una soluci
o n de ti
¶
osulfa to s¶
o dico.
Losap a ra tosutiliza dosse cita n a conti
nua ci¶
o n:
²Te rm ostato de p re ci
si
o n de §0.01±C
¶
²Mate rialvolum ¶
e trico
²Tubo de vidrio Pire x 50 m lde ca p a ci
dadcon
bo ca y tap ¶
o n e sm e rilados
²B a lanza a na l
¶
³ti
ca de p re cisi¶
o n de 0.1m g
²Sop or te de a ce ro i
noxidable p a ra lostubos
La sorci
o n de i
¶
o do [4](SI)se ca lcula delm o do q ue
se indi
ca a continua ci¶
o n:
SI =
c)Q ue va riosfe n¶
o m e nosde la m ism a ¶
³ndole lo obe dezca n.
V £0:01£2 53:83
2W
(1)
E lm o delo e m p¶
³ri
co se ca ra cte riza p or:
Donde:
a )Se obti
e ne p or t¶
e cnica sde an¶
a li
si
snum ¶
e rico (igual
q ue e lp se udoform a l);
S I son los m g de iodo sorbidos p or gra m o de
¯bra
La m o deliza ci¶
o n de la cur va ...
Gabr ielGuill
¶
e n,A na Mar¶
³a Islasy O lga R u¶
³z.
37
Ta bla 1.V a lor e sdele nsa yo de so r ci¶
o n de Io do e n funci
on
¶
de te m p e r a tur a de e nsayo (m g I2 /g)
Te m p e r atura del
e nsayo (±C )
2 0.0
2 5.0
30.0
35.0
40.0
45.0
50.0
55.0
Sorci
o n de iodo
¶
10.60
15.30
2 2 .80
35.60
52 .00
7 4.50
9 0.10
86 .70
V Son los m l de tiosulfa to consum i
dos e n la
valora ci¶
on
2 53.82 E se lp e so m olecular deliodo
Fi
gur a 1.Da to se xp e r im e nta lesde la so r ci
o n de i
¶
o do a
dife r e nte ste m p e r a tur a sde e nsayo .
W e se lp e so e n gra m osde la m ue stra
Lose nsayosse re a li
zan p or dup lica do.
E n la ta bla de aba jo se p r e se nta n losdatose xp e rim e nta lesobte ni
dosdele nsayo de sorci¶
o n de i
o do
e n ¯br asde p oli
¶
e ste r,m ism osq ue se gra ¯ca n e n la
¯gura 1.
A le studiar la sorci¶
o n de i
o do p or e lp oli
¶
e ste r e n funci¶
o n de la te m p e ra tura r e sulta una curva e n la q ue ,
cua ndo e xiste su¯ciente inform a ci¶
o n o datose xp e rim e nta lesse distingue n tre s p a rte s.Prim e ra p a rte ,tra m o e n e lq ue la sorci
o n de i
¶
o do a um e nta e sca sa o m o dera dam e nte a lincre m e nta r la te m p e ra tura de e nsayo.La se gunda p a rte ,zona e n la q ue la sorci¶
o n de iodo e sm uy se nsible a la va ri
a ci
o n de la te m ¶
p e ra tura dele nsayo,de m ane ra q ue e leva ci
one sp e q ue n~ a sde la te m p e r atura p ro duce n aum e ntosde la
sorci
o n m ucho m ¶
¶
a sa cusa dos q ue e n e ltra m o i
ni
cial.Fina lm e nte ,e n la te rce ra p a rte ,i
nicia e n la q ue
la sorci
o n de iodo dism i
¶
nuye a li
ncre m e ntar la te m p e ra tura de e nsayo.
E la um e nto de la sorci
o n de iodo [5]q ue se deriva
¶
de un incr e m e nto de la te m p e ra tur a e sconse cue nci
a
de:
²Un fe n¶
o m e no de di
lata ci¶
o n si
m p le de lasa grup a cione sm oleculare sq ue signīcan un a um e nto de su p e ne tra bi
li
dad.
²Una m ayor di
so ciaci
o n de lasm ol
¶
¶
e culasde i
o do
y un incre m e nto delre corrido m e di
o li
br e y la
ve lo cidadde lasm ol
¶
e culasy ¶
a tom osde iodo,con
lo cualaum e nta su ca p aci
dadde p e ne tra ci¶
o n.
Si
n e m ba rgo,otrosfe n¶
o m e nosp ue den di
sm inui
r la
sorci¶
o n de i
o do a la um e nta r la te m p e ra tura :
²Dism i
nuci
o n de la sorci
¶
o n de iodo e n e l
¶
e q uilibri
o
²Un a um e nto de la p rop orci
o n de m a te ri
¶
a cri
sta lina o inacce sible a e xp e nsa sde zona m e nosor dena das.
La im p orta ncia re lati
va de los cua tro fe n¶
o m e nos
m e nciona doscondiciona e n bue na m e di
da e lva lor de
la sor ci¶
o n a una te m p e ra tura dete r m ina da y la loca liza ci¶
o n delm ¶
a xi
m o e n la cur va de sorci
o n.
¶
III.M o d
el
i
zaci
on d
¶
e l
a cur va so r ci
on d
¶
e i
od
ote m p e r atur a d
e e nsayo
La cur va a la q ue se ha he cho m e nci¶
o n ante rior m e nte ,m ue stra una te ndencia i
nte re sa nte .E n e ste docum e nto p re se nta m ose la juste delun m o delo m a te m ¶
a ti
co sigm oi
dala la se r i
e de datose xp e rim e nta dosi
ndica dose n la tabla 1.
E lm o delo e m p ¶
³rico utiliza do e sla sigm oi
de de Gom p e tzq ue cum p le a la e xp re si¶
o n si
guiente :
S I = ® e xp [¡k1e xp (¡k2 t)]
(2 )
Par a ha llar los valore s num ¶
eri
cos de los p a r¶
am e trosdelm odelo ante rior ,e sp re ciso re a liza r una e sti
m a ci¶
o n p r e li
m i
na r, m ism os q ue se op tim iza r¶
a n p or r e gre si¶
o n no line a luti
li
za ndo e lm ¶
e todo Mar q uar dt[10]
.La e sti
m a ci¶
o n p re li
m i
nar p e r m ite a horra r tiem p o m ¶
a q uina de op e ra ci¶
o n delsoft-
38
C o nta cto S 54
,35{41(2 004)
w a re de op tim i
zaci
o n, y ga ra nti
¶
za un adecua do a juste .Sise dete rm ina a rbitra riam e nte losva lore s num ¶
e ricos delm o delo y se p re te ndiera op ti
m i
zar e n un softw a re ,m uy p robablem e nte no se
p o dr¶
³a re a li
zar e lre ¯na m i
e nto de losm ism osp orq ue e sta r¶
³am osfue ra de la zona de funciona m iento
delsoftw a re .
E n e lca so de losdatose xp e rim e nta lesci
tadose n
la tabla 1 de e ste do cum e nto,q ue corr e sp onden a
la sor ci¶
o n de i
o do e n ¯br asde p oli
¶
e ste r ,se obti
ene lossiguiente sre sultados.Losp untose scogi
dosa
volunta dson:
Prim e ra m e nte ,ha llam os la consta nte num ¶
e rica ®.
Pa ra e llo,a p lica m os la t¶
e cnica de los tre s p untos
de a p oyo de Lip ka [6 ]
,q ue e n e se ncia consiste e n e scoge r a voluntaddosp untosp r¶
o xim osa lose xtre m osde la cur va ,
P 2 (55:86 :7 0)
P 1(2 0;10:6 0)
Lue go e ntonce s,
P 3 (37 :5;44:2 )
P 1(t;S I 1)
Sustituye ndo e n la e xp re si
o n (3)obte ne m os:
¶
P 2 (t2 ;S I 2 )
ln ® = 5:06 43446 1
Un te rce r p unto,se ha lla a p a rtir de:
µ
¶
t1 + t2
P3
;S I 3
2
Fi
na lm e nte ,e lva lor num ¶
e rico de e s:
® = 158:2 7 6 6 7 5
donde S I 3 corre sp onde a la ordena da delte rce r p unto,la cua le sle¶
³da di
r e ctam e nte de la curva.
Utiliza ndo la e xp re si¶
o n (3)e sfacti
ble ha llar e lvalor
num ¶
e rico de ®:
ln ® =
ln S I 1 ¤ln S I 2 ¡ln 2 S I 3
ln S I 1 + ln S I 2 ¡2 ln S I 3
(4)
A hora ,p a ra ha llar lasconstante snum ¶
e rica sk1 y k2
delm o delo (2 ),e sne ce sa ri
o llegar a la form a li
ne al
delm o delo sigm oi
dal.E sto se a lca nza re ali
za ndo las
op e r aci
one sp e rti
ne nte scom o se i
ndica e n (5):
h ³® ´
i
ln ln
= ln k1 ¡k2 t
SI
(5)
E se vidente q ue a lgra ¯ca r ln[ln(®=S I )]contra t,se
obti
e ne la form a li
ne a lde la si
gm oi
de y de la i
nte rse cci
o n alorige n y de la p e ndiente de la re cta se des¶
p re nde q ue :
k1 =
k2 =
e xp A
¡B
(6 )
(8)
C abe i
ndica r q ue se cum p le la r e stri
cci¶
o n (4).
A conti
nua ci¶
o n se a p lica m ¶
³nim oscuadra dosa la re laci¶
o n line a l(5),donde se obtiene n lossiguiente sva lore snum ¶
e ricosp ar a la i
nte rse cci
o n a lorige n y la
¶
p e ndiente de la re cta :
(3)
C a be se n~ a lar q ue ,e ste m ¶
e to do solo p ue de utiliza rse
sise cum p le la r e stri
cci¶
o n (4):
®
> 1;i = 1;2 ;3::::;n
S Ii
(7 )
A
B
=
=
2 :0589 432 9
¡0:049 41337
(9)
Sustituye ndo (9 )e n la (6 )ha llam oslosvalore sp a ra
lasdosconsta nte s,com o se se n~ a la aba jo:
k1 =
k2 =
7 :837 6 57 49
0:049 4134
(10)
E n la e cuaci
o n (2 ) se susti
¶
tuye n las consta nte s
(8) y (10),llegando alm o delo num ¶
e rico funci
ona l
siguiente :
SI
=
158:2 7 6 6 7 5e xp [¡7 :837 6 57 4
e xp (¡0:049 4134t)]
(11)
C om o se i
ndic¶
o a li
nicio de e ste a p a rta do,la e cua ci¶
o n (11) e s un m odelo con constante s p re lim ina re s,m ism asq ue se op tim iza ron p or re gre si
o n no li¶
ne a la trav¶
e sdelm ¶
e to do Ma rq ua rdt[10]
,p a ra llega r a lm o delo num ¶
eri
co funci
ona l¯na l(12 ).
La m o deliza ci¶
o n de la cur va ...
Gabr ielGuill
¶
e n,A na Mar¶
³a Islasy O lga R u¶
³z.
Ta bla 2 .-A n¶
a lisisde va r i
a nza de la r e gr e si
o n no line a l
¶
p o r e lm ¶
e to do Ma r q ua r d[7 ]
C a usa
Sum a de
C ua drados
Mo delo
2 5838.8
R e sidua l
184.016
Tota l
2 6 02 2 .8
Tota l(corr.)
7 2 43.58
R2
9 7 .459 6 %
R 2 (a justa do g.l) 6 9 6 .4434%
g.l.C ua dra do
Me di
o
3 86 12 .93
5 36 .8033
8
7
39
O tra a lte rna tiva q ue se ti
e ne p a ra ha llar losvalore snum ¶
e ri
cosp re lim ina re sdelm o delo sigm oi
dale s
e lm ¶
e to do de Gugge nhe i
m [7 ]
.E¶ste fue desa rrollado dura nte la p rim e ra m itaddelsiglo X X y fue m uy
bi
e n a cogido p a ra la dete r m ina ci¶
o n num ¶
e rica de las
consta nte sp a ra m ¶
e trica sde di
ve r sosm odelos,com o
la curva e xp one ncial,la norm a l,la p a r¶
a bola c¶
o nica [8]
,m o delosa na l¶
o gi
coscua ntīca bles[9 ]
,e tc.,a
p e sar de su a nti
gÄ
u e dadconti
n¶
u a siendo u¶til.
E la lgoritm o de Gugge nhe im [7 ]a p li
cado a la sigm oi
de de Gom p e tze s:
t! S I
SI
=
12 7 :1546
e xp [¡11:8409 e xp (¡0:06 6 2 14t)] (12 )
funci
o n q ue se dese a li
¶
ne ali
za r.E la lgoritm o de Gugge nhe im [7 ]re q uiere se lecci
ona r dosconjuntosde va lore sde lasabscisa sse p a ra dosp or una constante ar bi
trar i
a ¿,lo cualconduce a dosconjuntosde p a re sde p untos:
E n la ta bla 2 a p ar e ce e la n¶
a lisisde va rianza corre sp ondiente ,donde se m ue stra q ue la var i
a bi
lidadde
la re sp ue sta e sdel9 7 .4596 % y la var i
a nza re si
dual
e sde 36 .80033,lo q ue con¯rm a un a juste si
gni¯ca tivo a l1% de con¯a nza e stad
¶
³sti
ca.
E n la ¯gura 2 ,se ilustra e le xce lente a juste logra do
e n la curva de sorci
o n de iodo ci
¶
ta do e n la ta bla 1.
t !
t0 !
SI
SI0
(13)
p or e nde ¿ e s,
t0¡t = ¿
(14)
E lse gundo conjunto de p untosse e scri
be e ntonce s,
(t+ ¿)! S I 0
(15)
La form a funci
ona l(2 )de a cue rdo a lase xp r e sione s
(13)y (15)p ue de e xp re sa rse re sp e ctiva m e nte :
Figur a 2 .A juste no line a ldelm o delo si
gm o idalp o r e l
m ¶
e to do Ma r q ua r dt[10]
III O tro m ¶
e to d
o ap l
i
cad
o a l
a si
gm oi
d
e
E lm ¶
e todo a nte rior re sulta e xce lente p a ra hallar las
constante snum ¶
eri
ca sdelm o delo sigm oi
daltra ta do.
Si
n e m ba r go,e n la dete r m ina ci¶
o n de se dep e nde de
losp untosq ue se e sco ja n a volunta d.
ln S I = ¡k1e xp ¡k2t + ln ®
(16 )
ln S I 0= ¡k1e xp ¡k2(t+ ¿)+ ln ®
(17 )
p ar a re ducir lase xp re sione sde tre sa dosp a r¶
am e tros,se p ro ce de a re sta r m i
e m br o a m i
e m br o a m base xp re sione s,llega ndo a :
µ 0¶
SI
ln
= ¡k1e xp ¡k2t(1¡e xp ¡k2¿)
SI
(18)
A p lica ndo nue va m e nte loga ritm osa la e xp re si¶
o n (18)
llega m osa la for m a li
ne a lq ue p e rm ita e lc¶
a lculo de
lasconsta nte sp a ra m ¶
e tri
casi
nvolucra das.
40
C o nta cto S 54
,35{41(2 004)
· µ 0¶¸
SI
ln ln
= ¡k2 t+ ln k1(1¡e xp ¡k2¿) (19 )
SI
La e cua ci
o n (19)e se lre sulta do e se ncialde e ste a p a r¶
ta do.R e sulta ndo e vidente q ue la i
nte rse cci
o n a lor i
¶
ge n (A )y p e ndi
e nte de la re cta (B )son:
A
B
=
=
ln k1(1¡e xp ¡k2¿)
¡k2
A hora , s¶
o lo re sta dete rm i
nar e l va lor num ¶
e rico delp a r¶
a m e tro ®,e llo e sp osible desp e ja ndo dicho p ar ¶
a m e tro de la e cua ci¶
o n (2 ):
®=
SI
k2
=
(2 1)
Utiliza ndo losdatose xp e ri
m e nta lesde la ta bla 1al
m ¶
e to do descrito a nte riorm e nte ,nosconduce a construir e la rr e glo re cta ngular de Gugge nhe im [7 ]
,com o se m ue stra e n la ta bla 3.La consta nte de desp laza m i
e nto de Gugge nhe i
m [7 ]denom ina da com o ¿ e s
de 2 0 uni
dades.
=
SI
10.60
15.30
2 2 .80
35.60
t'
40.0
45.0
50.0
55.0
SI'
52 .00
7 4.50
9 0.10
86 .70
¿ = t'-t
2 0.0
2 0.0
2 0.0
2 0.0
=
=
1:316 6 1493
0:037 6 52 39
(2 2 )
Susti
tuye ndo (2 2 )e n (2 1)y e fe ctuando lasop e r aci
one sp e r ti
ne nte sllega m osa :
k1 =
k2 =
7 :051552 05
¡0:037 6 52 39
(2 6 )
SI
=
12 7 :1546 e xp [¡11:8409
e xp (¡0:06 6 2 542 t)]
(2 7 )
A conti
nua ci
o n,e n la ta bla 4se m ue stra e la n¶
¶
a lisisde var i
a nza r e sp e cti
vo.Pue de com e nta rse q ue la
va riabi
li
dadde la re sp ue sta e s si
gni¯ca tiva a l1%
de con¯anza e sta d
¶
³sti
ca .La r az¶
o n F q ue e se lcociente de la va rianza delm o delo y e lre sidua lcon¯r m a la bondaddela juste logr ado (86 12 .93/36 .8032 =
2 34.02 6 02 5 p a ra 3 y 5 gra dosde libe rtad).
A la p li
car m ¶
³ni
m oscua dra dosa la form a line a l(19 )
obte ne m ose lva lor num ¶
e rico de la inte rse cci¶
o n a lor i
ge n y la p e ndiente de la re cta ,com o se m ue stra a
continuaci
o n:
¶
A
B
2 48:2 186 8 e xp [¡7 :051552
e xp (¡0:037 6 52 39t)]
C om o he m osve ni
do i
ndica ndo a nte rior m e nte e lm odelo (2 6 )e sun c¶
a lculo p re lim i
na r,a p ar ti
r delcua l
se re ¯nan las consta nte s num ¶
e rica s delm o delo a
trav¶
e sdelp ro ce dim iento Ma rq ua rdt[10]
,llega ndo
a la e cua ci¶
o n num ¶
e ri
co funci
ona l¯na l(2 7 ):
Ta bla 3.A r r e glo r e cta ngular de Gugge nhe i
m
t
2 0.0
2 5.0
30.0
35.0
(2 5)
Sustituye ndo (2 3)y (2 5)e n e lm o delo funci
ona l(2 ),
obte ne m ose lm o delo num ¶
e rico funciona lsiguiente :
A
e xp
1¡e xp ¡k2¿
¡B
(2 4)
C alculando la m e dia de ®,de to doslosp untose xp e ri
m e nta les:
® = 2 48:2 186 89
(2 0)
A hora ,ha llar losva lore snum ¶
e ricosde k1 y K 2 r e sulta se ncillo:
k1 =
SI
e xp [¡k1e xp (¡k2 ¿)]
(2 3)
Ta bla 4.A n¶
a lisisde va r i
a nza de la r e gr e si
o n no line a lp o r
¶
e lm ¶
e to do Ma r q ua r d[10]
C ausa
Sum a d
e
g.l
.C uad
r ad
o
C uad
r ad
os
Me d
i
o
Mo delo
2 5838.8
3
86 12 .93
R e si
dua l
184.016
5
36 .8032
Total
2 6 02 2 .8
8
Total(corr .)
7 2 43.58
7
R2
9 7 .459 6 %
R 2 (a justa do g.l.) 9 6 .4434%
Fi
na lm e nte e n la ¯gur a 3 se i
lustra e la juste logra do
a losdatose xp e r i
m e nta lesde la sorci¶
o n de yodo e n
¯bra sde p oli
¶
e ste r.
La m o deliza ci¶
o n de la cur va ...
Gabr ielGuill
¶
e n,A na Mar¶
³a Islasy O lga R u¶
³z.
41
R e fe r e nci
as
1. Par i
sot,A .,(19 6 5),B olet¶
³n Inte xte r,N o.2 4,
p¶
a g.2 3-42 .
2 . So chw e rta sse k,(19 59 ),Fase rforchun undTe xtiltechnik,10,p ¶
a g.387 .
3. Sladece k,Uve ro°e ntliche r B e richta nsden W ollforschungi
nsti
tudin B orn.
4. Lacko,Ga lanski,(19 7 2 ),Te xti
li
a ,N ovi
e m br e ,
p¶
a g.47 .
5. Ga c¶
e n,Ma i
llo,B a i
xa uli,(19 80),B ull.Scient.
IT F,V ol.9 ,N o.34,p ¶
a g.141.
6 . Li
p ka, J., (19 7 6 ), Com p utacione s gr ¶
a ¯cas y
m ec¶
a nicas,C E C SA .
Figur a 3. O p ti
m iza ci¶
o n del m o delo sigm o idal p o r e l
m ¶
e to do Ma r q ua r dt[10]
C o ncl
usi
o ne s
E lan¶
a li
si
sa nte rior p e rm ite for m ular lassi
guiente s
conclusi
one s:
²La consulta bibli
ogr¶
a ¯ca re lativa sa lte m a,e va de la p a ra m e tri
zaci
o n num ¶
¶
e rica de la curva obte ni
da e n e le nsayo de sor ci¶
o n de iodo.E n e ste tra ba jo se p re se nta n dos m ¶
e to dos p a ra m o deliza r e sta d
¶
³stica m e nte la curva a nte s
cita da.
²A m bosm ¶
e to dosuti
li
za dosp a ra a justa r e lm odelo sigm oidalsobr e losdatos e xp e rim e nta les
de sor ci¶
o n de i
o do m ostrar on coi
nci
dencia nota ble e n susre sulta dos,si
e ndo a m bose xce lente sm ¶
e to dosde a p roxi
m a ci¶
on i
niciala p r ogra m asinform ¶
a ticosde op ti
m i
zaci
o n e sta d
¶
¶
³sti
ca .
²Se p rop one un si
ste m a p a ra clasi¯ca r m o delos
m ate m ¶
a ticos de uti
li
dade n la inge nier¶
³a ,q ue
p ose e la ve nta ja de nor m a r un crite r i
o a ce rca deldom i
nio de ve ra cidadde un dete rm i
na do m o delo m a te m ¶
a tico.
²E l si
ste m a de clasi¯ca ci¶
o n de m o delos m a te m ¶
a ticos m e nci
ona do e n e ste docum e nto, r e sulta adecua do p ar a se r e nse n~ a do e n las e scue las de i
nge nier¶
³a , debido a q ue e l a lum no te ndr¶
a idea clara de ha sta donde p ue de llega r con un dete rm ina do m o delo m a te m ¶
a tico q ue e ste
m ane ja ndo.
7 . Gugge nhe i
m ,E .S.,(192 6 ),Phi
l.Ma g.,1,538.
8. C i
urli
zza ,A .,Gui
ll
¶
e n,G.,Islas,A .M.,Maldonado,F.,(2 000),V alor did¶
a ctico delalgor itm o
de Gugge nhe im e n la e nse n~ anza de la m od
e liza ci¶
o n m ediante una p ar¶
a bo la c¶
o nica,X C ongre so La ti
noa m e rica no de Inve sti
ga ci¶
o n de O p e ra cione sy Si
ste m a s,Me m or i
a s.
9 . Guill¶
e n,G.,Islas,A .M.,(2 001),Una nue va
contribuci¶
o n a la e valuaci¶
o n num ¶
e r ica d
e los
par¶
a m e tros delm odelo de V anghe luwe ,ap lica do a la inve stigaci¶
o n te xtil,2 001Int.Te xt.C ongr e ss,m e m ori
a s,p ¶
a g.12 5.
10. Mar q uar dt,D.W .,(196 3),A n A lgorithm for
Le a st-Sq ua re sE sti
m a ti
on ofN onli
ne a r Pa ra m e te rs,Journalfor the Society of Industrialand
A p p liedMa the m atics,11:431-41.
cs