9. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales I

UNIVERSIDAD DE JAÉN
ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR
Departamento de Matemáticas
(Área de Álgebra)
Curso 2009/10
PRÁCTICA Nº9
Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I:
Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.
Recordemos que llamamos vector a un elemento de un espacio vectorial. En el caso en que dicho
espacio sea n, los vectores serán n-uplas y los introduciremos en Mathematica como una lista formada por n
elementos de . Así, por ejemplo el vector v = (1, –2, 3) de 3, lo escribiremos:
In[]:=
v={1,-2,3};
Para cualquier otro espacio vectorial V sobre , de dimensión n, utilizaremos su identificación con n a
través de las coordenadas respecto de una determinada base. Por ejemplo, el polinomio p(x) = 3x2 + x + 2 de
P2() lo identificamos con (2,1,3) pues éstas son sus coordenadas respecto de la base canónica {1, x, x2}.
1. BASES Y COORDENADAS
1.1.
INDEPENDENCIA LINEAL
En un espacio vectorial V, un conjunto finito de vectores se dice linealmente independiente si el vector
cero se escribe de forma única como combinación lineal de dichos vectores y, por tanto, con escalares cero. Para
espacios de dimensión finita, esto puede traducirse en el estudio de los sistemas homogéneos que tienen como
matriz de coeficientes a aquella en la que sus columnas son las coordenadas, respecto de una determinada base
(elegiremos siempre que sea posible la canónica), de los vectores que estamos estudiando. El teorema de
Rouché-Frobenius nos permite deducir que un conjunto de r vectores es linealmente independiente si y sólo si el
rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores respecto de una base, es igual al número
de vectores.
Por ejemplo, si queremos estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores de 3 v = (1, 0,
0) y w = (–1, 1, 0), escribiremos:
In[]:=
{{1,0,0},{-1,1,0}};
MatrixForm[RowReduce[Transpose[a]]]
Out[]=
1 0y
i
j
z
j
z
j
j0 1z
z
j
z
k0 0{
Así, el rango es 2, igual al número de vectores, y el conjunto es linealmente independiente.
1.2.
BASE Y COORDENADAS RESPECTO DE UNA BASE
Sabemos que una base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores linealmente independiente y
que además es un sistema de generadores de dicho espacio. Durante esta práctica tomaremos como ejemplo a V
= 3 cuyos elementos son ternas (x, y, z) con cada una de sus componentes en . Como ejemplo consideremos la
siguiente base de 3:
-1-
PRÁCTICAS DE ÁLGEBRA LINEAL DE ÁLGEBRA II
B1 = {(1, 0, 1), (–1, 1, 0), (0, 1, –1)}
Las bases las introducimos en Mathematica como matrices, es decir, como lista de listas siendo cada
una de sus componentes uno de los vectores de la base:
In[]:=
b1={{1,0,0},{-1,1,0},{0,1,-1}};
Para probar si dichos vectores forman base de 3 y como conocemos la dimensión del espacio que es 3,
nos bastará con ver que son linealmente independientes, pues como sabemos tres vectores linealmente
independientes en un espacio de dimensión 3 forman base. Para ver que son linealmente independientes basta
con calcular su determinante, si es distinto de cero forman base y si es cero son linealmente dependientes y no
forman base.
In[]:=
Det[b1]
Out[]=
-1
Por tanto, B1 es base de 3.
Las coordenadas de un vector respecto de una base se pueden calcular mediante la resolución de un
sistema de ecuaciones. Consideremos el vector v de 3 con coordenadas (4, 1, –2) respecto de la base canónica,
veamos cuáles son sus coordenadas respecto de la base B1. Las coordenadas buscadas serán los números x, y, z
tales que:
(4, 1, –2) = x(1, 0, 0) + y(–1, 1, 0) + z(0, 1, –1)
es decir, la solución del sistema:
 1 − 1 0  x   4 

   
 0 1 1  y  =  1 
 0 0 − 1 z   − 2 

   
con matriz de coeficientes aquella cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la base y cuyo vector
de términos independientes es el vector v. En Mathematica:
In[]:=
v={4, 1, -2};
vb1=LinearSolve[Transpose[b1], v]
Out[]=
{3,-1,2}
Comprobemos que éstas son las coordenadas del vector v respecto de la base B1:
In[]:=
v==Sum[vb1[[i]]b1[[i]],{i,3}]
Out[]=
True
1.3.
CAMBIO DE BASE
Supongamos que tenemos dos bases B1 y B2 de un espacio vectorial, nos proponemos encontrar la
matriz del cambio de base B1 a B2, que nos permite calcular las coordenadas de cualquier vector respecto de B2,
conocidas las coordenadas de dicho vector respecto de B1. Como sabemos la matriz del cambio de base es la
matriz regular que tiene por columnas las coordenadas de los vectores de la primera base, B1 respecto a la
segunda base, B2.
Como ejemplo consideremos las bases de 3
B1 = {(1,0,1),(-1,1,0),(0,1,-1)}
B2 = {(1,0,-1),(2,1,0),(-1,1,1)}
En primer lugar introducimos las bases en el Mathematica y comprobamos que realmente lo son:
-2-
PRÁCTICAS DE ÁLGEBRA LINEAL DE ÁLGEBRA II
In[]:=
b1={{1,0,0},{-1,1,0},{0,1,-1}};
Det[b1]
Out[]=
-1
In[]:=
b2={{1,0,-1},{2,1,0},{-1,1,1}};
Det[b2]
Out[]=
-2
Teniendo en cuenta lo anterior, la matriz del cambio de base de B1 a B2 se puede construir como sigue:
In[]:=
Out[]=
P = Transpose[Table[LinearSolve[Transpose[B2],B1[[i]]],{i,1,3,1}]];
MatrixForm[P]
5 
 −1 3


2
2
2 

 1 −1 −1 
 2
2
2 
 −1 3
3 


2
2 
 2
Una vez construida la matriz del cambio de base es inmediato obtener las coordenadas del vector v = (4,
1, -2) respecto de la base B2 conocidas las coordenadas del mismo respecto de B1. Por la práctica anterior
introducimos el vector y calculamos sus coordenadas respecto de B1:
In[]:=
v = {4, 1, -2};
vb1 = LinearSolve[Transpose[b1], v]
Out[]=
{3,-1,2}
Para calcular las coordenadas respecto de la nueva base, utilizaremos el cambio de base, con lo que
basta con multiplicar dicha matriz por el vector vb1:
In[]:=
vb2= P.vb1
Out[]=
{2,1,0}
Podemos comprobar que el cambio de base se ha realizado satisfactoriamente transformando ambos
vectores a sus coordenadas respecto de la base canónica de 3 para lo cual solo hay que sumar los productos de
cada una de las componentes del vector v1 por el respectivo elemento de la base:
In[]:=
Sum[v1[[i]]*b1[[i]],{i,1,3}] == Sum[v2[[i]]*b2[[i]],{i,1,3}]
Out[]:=
True
2. APLICACIONES LINEALES
Dados V y V’ dos espacios vectoriales sobre un cuerpo , una aplicación f: V → V’ se dice que es una
aplicación lineal si verifica:
1. f(u + v) = f(u) + f(v), ∀u, v ∈ V.
2. f(αu) = αf(u), ∀α ∈ , ∀u ∈ V.
En Mathematica trabajaremos con las coordenadas de los vectores respecto de una base y no con los
vectores. Para definir una aplicación lineal debemos de seguir las reglas habituales de Mathematica:
nombre[variable_]]:= expresión
-3-
PRÁCTICAS DE ÁLGEBRA LINEAL DE ÁLGEBRA II
Teniendo en cuenta que en este caso tendremos como variable un vector y como expresión otro vector:
Ejemplo. Definir en Mathematica la aplicación lineal f: 3 → 4 dada por f(x, y, z) = (2x, x + y, 3x + y – z, y +
5z) y calcular f(3,2,1):
In[]:=
Out[]:=
f[{x_,y_,z_}]:={2x,x+y,3x+y-z,y+5z};
f[{3,2,1}]
{6, 5, 10, 7}
En la práctica para estudiar si f es aplicación lineal se suele usar la definición la siguiente
caracterización:
La aplicación f: V → V’ es lineal si, y solo si,
f(αu + βv) = αf(u) + βf(v), ∀α, β ∈ ¼, ∀u, v ∈ V.
Estudiamos si la aplicación anterior es lineal.
In[]:=
Out[]:=
f[{x_,y_,z_}]:={2x,x+y,3x+y-z,y+5z};
Simplify[f[a*{x1,y1,z1}+b*{x2,y2,z2}]]==
Simplify[a*f[{x1,y1,z1}]+b*f[{x2,y2,z2}]]
True
Ejemplo. Estudiar si la aplicación g: 3 → 2 dada por g(x, y, z) = (xy, x + y) es lineal.
In[]:=
Out[]:=
g[{x_,y_,z_}]:={x*y,x+y};
Simplify[g[a*{x1,y1,z1}+b*{x2,y2,z2}]] ==
Simplify[a*g[{x1,y1,z1}] + b*g[{x2,y2,z2}]]
{a(x + b x1), a(x + b x1 + y + b y1)} ==
{a x + b x1, a x + b x1 + a y + b y1}
2.1. EXPRESIÓN MATRICIAL DE UNA APLICACIÓN LINEAL
Sea f: V → V’ una aplicación lineal y sea B = {e1, e2,..., en} una base de V. Entonces f está totalmente
determinada por las imágenes de los vectores de B, es decir, f(e1), f(e2),..., f(en), pues dado un vector x de V de
coordenadas x ª (x1,...,xn)B, entonces,
f(x) = f(x1e1 + ... + xnen) = x1f(e1) + ... + xnf(en)
Sea ahora B’={u1,..., um} base de V’ y consideremos las coordenadas de los vectores f(e1),..., f(en)
respecto de B’:
f(e1) ª (a11,…, am1)B’
f(e2) ª (a12,…, am2)B’
∂
f(en) ª (a1n,…, amn)B’
De esta forma se tiene:
f(x) ª (a11x1 + ... + a1nxn, a21x1 + ... + a2nxn,..., am1x1 + ... + amnxn)B’
Ahora bien, si denotamos a las coordenadas de f(x) por f(x) ª (y1,..., ym)B’, entonces se obtiene:
y1 = a11x1 + … + a1nxn
-4-
PRÁCTICAS DE ÁLGEBRA LINEAL DE ÁLGEBRA II
y2 = a21x1 + … + a2nxn
∂
ym = am1x1 + … + amnxn
o matricialmente:
 y1   a11 a12
  
 y2   a21 a22
 M = M
M
  
 y  a
a
m2
 m   m1
L a1n  x1 
 
L a2 n  x2 
O M  M 
 
L amn  xn 
Esta expresión recibe el nombre de ecuación matricial de una aplicación lineal f respecto de las bases B
y B’. La matriz
 a11

a
A =  21
M

a
 m1
a12
a22
M
am 2
L a1n 

L a2 n 
,
O M 

L amn 
recibe el nombre de matriz asociada a f respecto de las bases B y B’ que denotaremos por A = MB,B’(f). (Notar
que el número de columnas es igual a la dimensión de V y su número de filas igual a la dimensión de V’). Así,
para calcular la matriz asociada podemos dividirlo en dos pasos:
Paso 1: Calculamos las imágenes de los vectores de la base B de V: f(e1),..., f(en).
Paso 2: Calculamos las coordenadas de lo obtenido en el paso anterior respecto de la base B’ de V’.
Recordemos que si f es un endomorfismo, V’=V, la base B’ de V’ se toma como B.
Ejemplo. Calcular la expresión matricial de la aplicación lineal f: 3 → 4 dada por f(x, y, z) = (2x, x + y, 3x + y
– z, y + 5z) respecto de las bases B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} y B’ = {(1, 2, 3, 0), (2, 4, 6, 1), (1, 0, 0, 0), (0,
1, 0, 0)}.
In[]:=
Out[]:=
f[{x_,y_,z_}]:={2x,x+y,3x+y-z,y+5z}
B= {{1,1,1},{1,1,0},{1,0,0}};
Bp={{1,2,3,0},{2,4,6,1},{1,0,0,0},{0,1,0,0}};
A= Transpose[Table[ LinearSolve[Transpose[Bp]],
f[B[[i]]]]],{i,1,3}]];
MatrixForm[A]
 − 11 −2 1 
3


1
0 
 6
2
 1
1 
3


 0 −2 − 1 
3


2.2. RELACIÓN ENTRE EXPRESIONES MATRICIALES ASOCIADAS A LA
MISMA APLICACIÓN LINEAL RESPECTO DE DISTINTAS BASES
Sea f: V → V’ una aplicación lineal con n = dim(V), m = dim(V’), y consideremos B yB bases de V y B’
yB’ bases de V’, si A es la matriz asociada a f respecto de B y B’ y C es la matriz asociada a f respecto de B
yB’, se tiene que C y A son matrices equivalentes, además C = Q-1AP, donde P es la matriz del cambio de base
en V deB a B y Q es la matriz del cambio de base en V’ de B’ aB’. En el caso particular de un endomorfismo y
tomando la misma base en el espacio de partida y en el de llegada, la relación entre A y C es C = P-1AP.
Dos matrices cuadradas A y C para las que existe una matriz regular P de forma que C = P-1AP se dice
que son semejantes.
-5-
PRÁCTICAS DE ÁLGEBRA LINEAL DE ÁLGEBRA II
Proposición.
1. Dos matrices son equivalentes si, y solo si, son matrices asociadas a la misma aplicación lineal
respecto de distintas bases.
2. Dos matrices son semejantes si, y solo si, son matrices asociadas al mismo endomorfismo respecto de
distintas bases.
Ejemplo. Comprobar la relación entre la matriz asociada a f respecto de las bases anteriores y la matriz asociada
a f respecto de las bases canónicas.
In[]:=
Out[]:=
f[{x_,y_,z_}]:={2x,x+y,3x+y-z,y+5z}
Bc3= IdentityMatrix[3];
Bc4=IdentityMatrix[4];
c= Transpose[Table [f[Bc3[[i]]],{i,1,3}]];
B= {{1,1,1},{1,1,0},{1,0,0}};
Bp={{1,2,3,0},{2,4,6,1},{1,0,0,0},{0,1,0,0}};
A= Transpose[Table[ LinearSolve[Transpose[Bp],
f[B[[i]]]],{i,1,3}]];
P=Transpose[Table[LinearSolve[Transpose[B],Bc3[[i]]]
,{i,3}]];
Q=Transpose[Table[LinearSolve[Transpose[Bp],Bc4[[i]]]
,{i,4}]];
Inverse[Q].A.P==c
True
2.3. OPERACIONES CON APLICACIONES LINEALES Y RELACIÓN CON LAS
MATRICES ASOCIADAS
Dados V y V’ dos espacios vectoriales sobre un cuerpo , denotaremos por Hom(V, V’) al conjunto de
todas las aplicaciones lineales de V en V’. En este conjunto se podemos definir operaciones suma y producto por
escalar de la forma:
Dadas f, g ∈ Hom(V, V’) y λ ∈ se define las aplicaciones lineales:
f + g: V → V’; (f + g)(u) = f(u) + g(u)
λf: V → V’; (λf)(u) = λf(u)
Dadas aplicaciones lineales f: V → V’ y g: V’ → V’’, su composición g ë f: V → V’’ definida por (gë
f)(x) = g(f(x)) es también lineal.
Veamos cómo la asignación a una aplicación lineal de su matriz asociada se comporta bien respecto a
las operaciones con aplicaciones lineales:
Proposición. Sean V, V’ y V’’ espacios vectoriales sobre de dimensiones finitas, B, B’ y B’’ bases de V, V’ y
V’’ respectivamente y f, g: V → V’ y h: V’ → V’’ aplicaciones lineales, entonces se tiene:
1. MB,B’(f + g) = MB,B’(f) + MB,B’(g).
2. MB,B’(λf) = λMB,B’(f), para todo λ ∈ .
3. MB,B’(h ë f) = MB,B’(h) MB,B’(f).
Ejemplo. Calcular las matrices asociadas a f, g y h respecto de las bases canónicas y comprobar la proposición
anterior, siendo:
f: 3 → 3 dada por f(x, y, z) = (x + y, 3x + y – z, y + 5z).
g: 3 → 3 dada por g(x, y, z) = (2x, y + z, x + y).
h: 3 → 4 dada por h(x, y, z) = (2x, x + y, 3x + y – z, 2y + z).
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PRÁCTICAS DE ÁLGEBRA LINEAL DE ÁLGEBRA II
In[]:=
f[{x_,y_,z_}]:={x+y, 3x+y-z, y+5z}
g[{x_,y_,z_}]:={2x, y+z, x+y}
h[{x_,y_,z_}]:={2x-z, x+y, 3x+y-z, 2y+z}
s[{x_,y_,z_}] = f[{x,y,z}] + g[{x,y,z}];
p[{x_,y_,z_}] = 3*f[{x,y,z}];
c[{x_,y_,z_}] = h[f[{x,y,z}]];
B= IdentityMatrix[3];
Af = Transpose[Table [f[B[[i]]],{i,1,3}]];
Ag = Transpose[Table [g[B[[i]]],{i,1,3}]];
Ah = Transpose[Table [h[B[[i]]],{i,1,3}]];
As = Transpose[Table [s[B[[i]]],{i,1,3}]];
Ap = Transpose[Table [p[B[[i]]],{i,1,3}]];
Ac = Transpose[Table [c[B[[i]]],{i,1,3}]];
In[]:=
Af + Ag ==As
Out[]:=
True
In[]:=
3*Af ==Ap
Out[]:=
True
In[]:=
Ah.Af ==Ac
Out[]:=
True
-7-