Gauss. Flujo de campo: campo eléctrico que atraviesa una

Gauss. Flujo de campo: campo eléctrico que atraviesa una superficie
Teorema de Gauss: el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la
carga que encierra dicha superficie dividido por ε0
¿Qué es ε0?
Johann Karl Friedrich Gauss fue un matemático, físico, astrónomo, etc. que contribuyó en
muchos campos de la ciencia y es uno de los matemáticos más influyentes de la historia de la
ciencia.
La Ley de Gauss, desarrollada por el, mide el flujo de los campos a través de una superficie
siendo ese el resultante de su fórmula que se aplica de la siguiente manera:
-La integral de una superficie dada multiplicada por ds definida como un vector que es
perpendicular a la superficie dada es igual a la carga dividida entre la constante dieléctrica en
el vacío (número constante).
-Dependiendo el ángulo que formen el vector de campo y el vector de superficie el valor del
flujo será mayor o menor.
Si la fórmula de Gauss de la diapositiva anterior se ve desarrollada con el módulo de los
vectores, aparece la función del coseno, la cual por el propio valor del coseno, si forma un
ángulo de 90 el resultado será 0, pero si el ángulo es de 0 grados se obtendría el valor máximo.
-Gauss demostró que dependiendo de la forma en la que las cargas se distribuían la red sería
preferible que se distribuyera de una manera u otra debido a la sencillez del cálculo de la
misma.
Superficies de Gauss según la distribución de cargas
Según gauss sería más difícil de calcular su flujo si se representase de esta manera ya que la
superficie se debería de dividir en cuadrados elementales, cada uno lo suficientemente
pequeño para ser considerado como un plano y cada uno tendría su vector de superficie
perpendicular.
En este caso, es más fácil calcular el flujo ya que puede describirse como la suma de tres
términos: una integral para cada ‘tapa’ y otra para la superficie cilíndrica.
Si las cargas salen en perpendicular de un cilindro la mejor forma de agruparse es un cilindro
(en lo que respecta al cálculo).
Sí se puede pero el cálculo sería muy complejo debido a que los vectores de campo inciden de
forma perpendicular sólo en algunos casos, y en otros, sería necesario calcular el ángulo y
posteriormente aplicar un sumatorio de todos.
Según gauss sería más difícil de calcular su flujo si se representase de esta manera ya que la
superficie se debería de dividir en cuadrados elementales, cada uno lo suficientemente
pequeño para ser considerado como un plano y cada uno tendría su vector de superficie
perpendicular.
ds es un vector perpendicular a la superficie a integrar y hacia afuera.
En un cubo habrá un vector de superficie para cada cara.
1- Perpendicular respecto a la superficie, y por lo tanto radial.
2- Principalmente es imposible, pero partiendo de ese supuesto, se perdería la simetría, de
modo que quedaría asimétrico y habría que calcular el ángulo que forma cada uno respecto a
su vector de superficie.
3- La simetría es la compensación de los vectores opuestos o contrario en sentido pero iguales
en dirección y módulo.
¿por qué cos 0º? ¿y por qué esa ecuación?
1- En todos los puntos de la esfera ds y E son paralelos
2- Después de desarrollar la fórmula vectorial, llegaríamos a una fórmula más sencilla de
aplicar que sería la que aparece en la diapositiva de arriba.
3- El cos 0º es debido a que el ángulo que forman el vector de campo y el vector de superficie
es 0 debido a que son paralelos.
4- Eso implica que el campo es uniforme. Al ser uniforme, todos los vectores del campo son
iguales por lo que el modulo es siempre el mismo.
Porque E es constante para cualquier punto de la superficie y porque la superficie de una
esfera es 4 πr2
1- Porque el campo es uniforme.
2- http://es.wikipedia.org/wiki/Esfera
3- A la ley de Coulomb
Aunque fueran infinitos, el resultado siempre vendría condicionado por el vector lateral ya que
los otros dos se complementan o contrarrestan y sólo quedaría el lateral. Si el cilindro tiene
una inclinación de 90º, toda la fórmula se simplificaría como 0. Por ello, fuere cual fuere la
longitud, siempre aplicaríamos la parte de la fórmula de los laterales.
Desarrollo de la fórmula.
IsupS1 Arriba
IsupS2 Abajo
IsupSL Lateral
-En el lateral ds PUEDE ser paralelo al plano luego……………
El valor de la carga lo recoge la variable sigma. Q/m2 pero como es el area del circulo πr2
Si m2 (en este caso πr2) es infinito, algo dividido por infinito es 0. Luego, sigma, es 0.
****Porque el área de un círculo es πr2 ****
πr2 en lugar de m2 por ser el área del círculo
E es independiente del radio ya que, como hemos visto en la anterior diapositiva, al despejar la
fórmula, no queda en función del radio(apoyarse en la anterior diapositiva)
¿Se podría haber puesto otra superficie?
Sí ya que el resultado de E sería independiente.
Si saliera h el plano no sería infinito, e importaría la posición, dado que se vería diferente.
Si saliera infinito, daría igual dónde te pusieras, siempre se vería igual.
Se habla de Equilibrio Electrostático cuando todas las cargas están en reposo. En esta
situación el campo eléctrico en el interior del conductor es 0. Si el campo eléctrico fuera
distinto de cero las cargas seguirían moviéndose hasta conseguir el equilibrio.
Saber llegar a la fórmula (mediante el desarrollo anterior)