el teorema de bernoulli, la ley debil de los grandes

EL TEOREMA DE BERNOULLI, LA LEY DÉBIL DE LOS GRANDES NÚMEROS
Carlos S. CHINEA
EL TEOREMA DE BERNOULLI,
LA LEY DEBIL DE LOS GRANDES NÚMEROS
Es un hecho experimental, en multitud de ocasiones constatado por nuestra
experiencia, que cuando se lanza una moneda al aire un número alto de veces, la
mitad de las veces aproximadamente aparece cada cara. Análogamente, si se lanza
repetitivamente un dado de seis caras iguales, cada una de las caras sale
aproximadamente la sexta parte de las veces en las que se lanzó el dado.
Si la moneda, o el dado, se lanza un número bajo de veces, digamos 10 0 15
veces, puede suceder que la indicada aproximación a la mitad de las veces para
cada cara de la moneda, o a la sexta parte de las veces para cada cara del dado no
sea correcta. No sería impensable que de 10 veces, en nueve aparezca cara y solo
una sea cruz, en la moneda, o bien, que al lanzar el dado 10 o 15 veces, no
aparezca el 3 en ninguna ocasión.
Pero ocurre que cuanto mayor es el número de veces que se lanza el dado, o que
se lanza la moneda, mayor es la aproximación de la frecuencia relativa (el número
de veces que aparece el suceso dividido por el número total de veces que se realizó
el experimento) a la probabilidad del suceso.
Es tremendamente improbable que si se lanza una moneda 3000 veces, las tres mil
veces aparezca la misma cara. Y más improbable es cuanto más grande sea el
número de veces en que se repita el lanzamiento. Cada cara tiende a salir el mismo
número de veces, o sea, la mitad de las veces, que coincide con la probabilidad, ½,
de cada cara. En el caso de un dado, la frecuencia tiende a aproximarse a 1/6.
En general, para un suceso cualquiera, xn=xn(A)
x n → p , para n suficientemente grande
Si el suceso A es una cara de la moneda:
x n → 1 2 , para n suficientemente grande
Y si se trata de una cara del dado:
x n → 1 6 , para n suficientemente grande
Esta ley experimental, conocida como ley de estabilidad de las frecuencias, tiene un
respaldo matemático claro en un grupo de teoremas rigurosos que en conjunto
configuran lo que llamamos Ley de los grandes números.
Lo que vamos a ver en estas notas es uno de los primeros teoremas que se
probaron sobre este asunto, y que figura en Ars Conjectandi, la obra póstuma de
Jacob Bernouilli, publicada en 1713, ocho años después de su muerte, aunque alli
se probó de manera diferente a como lo hacemos aquí. El teorema de Bernoulli es
uno de los primeros logros de la estadística moderna.
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EL TEOREMA DE BERNOULLI, LA LEY DÉBIL DE LOS GRANDES NÚMEROS
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1. Introducción. Una cierta distribución discreta:
Sea X una variable aleatoria discreta de rango R X = {x1 ,..., x n ,...} . Sabemos que su
función de densidad es
 p = p[ X = x r ], si x = x r
f ( x) =  r
si x ≠ x r
0,
cumpliéndose:
a ) 0 ≤ f ( x) ≤ 1, ∀x ∈ R
∞
∞
b) ∑ f ( x r ) = ∑ p r = 1
r =1
c) F ( x) =
r =1
∑ pr
xk ≤ x
En experimentos aleatorios tales como el lanzamiento simultáneo de un conjunto de
k monedas aparece una interesante distribución de probabilidad discreta que se
denomina distribución binomial.
Si consideramos, por tanto, que es p la probabilidad de que salga cara en una
moneda y q la probabilidad de que salga cruz (de que no salga cara), se tiene que
es:
p = 1 2, q = 1−1 2 = 1 2
cumpliéndose, por tanto, que p + q = 1 .
Si llamamos a p probabilidad de éxito y a q probabilidad de fracaso, consideremos
el suceso xk consistente en que aparezcan k exitos y n-k fracasos al lanzar n
monedas. Puesto que los k éxitos son todas la formas de que salgan las n caras de
k en k se deben tomar combinaciones de n elementos tomados de k en k:
n
p k = p( x k ) =   p...(k veces)... p.q...((n − k )veces)...q
k 
o bien:
n
p k =  . p k q n − k
k 
que es la función de densidad de la distribución, o sea f ( x ) = p k , si x = x k
La función de Distribución es:
F ( x) =
n
∑ p(x ) = ∑  k  p q
k
xk ≤ x
k
k ≤r
 
n−k
, si x = xr
Se verifican, obviamente, las condiciones indicadas antes:
0 ≤ f ( x) = p k ≤ 1
∞
∑
k =0
n
n
n
f ( xk ) =∑ f ( xk ) =∑   p k q n − k = ( p + q) n = 1n = 1
k =0
k =0  k 
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Determinemos la media y la desviación típica utilizando el método de las funciones
características, que como ya vimos en el trabajo anterior “Medidas sobre
distribuciones absolutamente continuas. La función de distribución”, en
http://casanchi.com/mat/disnormal01.htm, nos permite calcular fácilmente los
momentos iniciales, la media, la varianza, etc. Aplicaremos ahora el método aquí,
siendo una distribución discreta.
La función característica es
[ ]
ϕ (t ) = E e
itxn
k
it
1
n

 itkn  n it kn  n  k n − k
 n  it n  n − k 



= E e  = ∑ e   p q = ∑   e . p  q =  p.e n + q 
k =1  k 
k 



  k =1
n
y sus dos primeras derivadas son:
 itn

ϕ ' (t ) = n p.e + q 


n −1
it
 itn

i n
. p. .e = p.i. p.e + q 
n


n −1
.e
it
n
n −1 it
n−2
n −1
it
it
it
it


 it





i
i n
n
n 
n
n
n








ϕ ' ' (t ) = p.i.  p.e + q  .e ' = p.i (n − 1). p.e + q  . p. .e + . p.e + q  . .e 
n



 n 







y sus valores en t=0:
ϕ ' (0) = p.i.( p + q )n −1 .1 = p.i

i
i
i
n −1
p
ϕ ' ' (0) = p.i.(n − 1).( p + q) n −2 . p. + ( p + q) n −1 .  = p.i. ((n − 1). p + 1) = −
p2 − =
n
n
n
n
n

=
1
1
pq
(
− np 2 + p 2 − p ) = (−np 2 − pq ) = − p 2 −
n
n
n
Y los momentos iniciales:
α k = (−i ) k ϕ k ) (0)
Esperanza matemática:
k 
Siendo M = E   = ( −i ) .ϕ ' (0)
n
Será:
1
k 
M = E [x n ] = E   = (−i ). p.i = p
n
La varianza y desviación standard:
[ ]
Siendo D x n = α 2 − M
2
2
Se tendrá:
D 2 [x n ] = (−i ) 2 ϕ ' ' (0) − p 2 = −(− p 2 −
pq
pq
) − p2 =
n
n
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σ = D 2 [x n ] =
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pq
n
2. Algunas desigualdades notables:
Teorema 1 (De convergencia al cero):
Sea X una variable aleatoria en el espacio probabilístico (U , Φ, p ) . Se cumple que si
g(x) es medible borel no negativa, entonces:
∀ε > 0, p[ g ( x) ≥ ε ] = 0 ⇒ g ( x) → 0
Demostración:
∀ε > 0, [ g ( x) ≥ ε ]U [ g ( x) < ε ] = U ⇒ p[ g ( x) ≥ ε ] + p[ g ( x) < ε ] = 1
Si ∀ε > 0, p[ g ( x) ≥ ε ] = 0 ⇒ p[ g ( x) < ε ] = 1 ⇒ p[ g ( x) < ε ] = 1, ∀ε > 0 ⇒
⇒ g ( x) < ε , ∀ε > 0 ⇒ g ( x) → 0
Teorema 2 (De la desigualdad de Markoff):
Sea X una variable aleatoria en el espacio probabilístico (U , Φ, p ) . Se cumple que si
g(x) es medible borel no negativa, entonces, para cada constante k>0 es:
∀k > 0, p[ g ( X ) ≥ k ] ≤
Demostración:
[
E [g ( X )]
k
]
Llamemos S = {u ∈ U / g ( X )(u ) ≥ k } = g ( X ) ≥ k , ∀k > 0 . La esperanza matemática
es:
E [g ( X )] =
∞
∞
−∞
−∞
∫ g ( x). f ( x).dx = ∫ g ( x).dF ( x) ≥ ∫ g ( x).dF ( x) ≥ ∫ k.dF ( x) = k ∫ dF ( x) =
S
= kF ( x) = k . p( S ) = k . p[g ( X ) ≥ k ]
de lo cual:
∀k > 0, p[ g ( X ) ≥ k ] ≤
S
S
E [g ( X )]
k
Teorema 3 (De la desigualdad de Bienaymé-Tchebyscheff):
Consideremos una variable aleatoria X de media M y de desviación standard D, es
[ ]
[
] = D , y sea k>0. Se verifica:
E[ X − M ]
∀m > 0, p[ X − M ≥ kD ] ≤
decir, tal que E X = M , E X − M
2
2
m
(kD) m
Demostración:
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[
∀m > 0, [ X − M ≥ kD] = X − M
m
≥ (kD) m
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]
y por la desigualdad de Markoff:
[
∀m > 0, X − M
m
≥ (kD)
m
]≤ [ (kD) ]
E X −M
m
m
por tanto:
[
E X −M
∀m > 0, p[ X − M ≥ kD ] ≤
(kD)
m
]
m
Corolario:
p[ X − M ≥ kD ] ≤
1
k2
Demostración: bastará hacer m = 2 en la desigualdad de Bienaymé-Tchebyscheff:
p[ X − M ≥ kD ] ≤
[
E X −M
2
(kD) 2
]=
D2
1
= 2
2
(kD)
k
Teorema 4 (De la desigualdad exponencial):
[
]
p g ( X ) ≥ E [g ( X )].e t ≤ e − t
Demostración:
Por la desigualdad de Markoff:
] EE[g[g( X( X)]).e]
[
p g ( X ) ≥ E [g ( X )].et ≤
t
= e −t
3. El teorema de Bernoulli y la ley débil de los grandes números:
Teorema de Bernoulli:
Se verifica que
∀ε > 0, p[ xn − p ≥ ε ] = 0
Demostración:
Aplicamos el corolario al teorema 3:
p[ X − M ≥ kD ] ≤
tiene:
p[ xn − p ≥ ε ] ≤
por lo que, al tomar límite para n → ∞ :
D2
ε
2
=
pq n
ε
lim p[ xn − p ≥ ε ] = lim
Corolario (Ley débil de los grandes números):
xn → p
2
=
1
. Si llamamos ε = kD , se
k2
pq
ε 2n
pq
=0
ε 2n
si n → ∞
Demostración:
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Aplicando la desigualdad de convergencia al cero, del teorema 1, se tiene que
∀ε > 0, p[ xn − p ≥ ε ] = 0 ⇒ xn − p → 0 ⇒ xn → p
si n → ∞
En definitiva, cuando el número de pruebas, n, de un experimento, tiende a infinito,
entonces la frecuencia relativa de un determinado suceso, x n = k n , tiende a la
probabilidad, p, de tal suceso.
4. Bibliografía
Cramer, H.; “Métodos matemáticos de la Estadística”. Ediciones Aguilar.
Frechet, M.; “Recherches theoriques modernes sur la theorie des probabilities”,
Gauthier-Villars, 10ª edic. 1950
Gmurman, V.E. ; “Teoría de las probabilidades y estadística matemática”, Editorial
Mir, Moscú,1983
Gndenko, B. ; “Teoría de probabilidades ». Editorial Mir
Schweizer, B;Sklar, A.; “Probabilistic metric spaces”, North Holland, N.York, 1983
Quesada P,V.; García Perez, A.; “Lecciones de Cálculo de probabilidades”, Diaz de
Santos, Madrid, 1988.
Martín Pliego, F.; Ruiz-Maya Pérez, L.; “Fundamentos de Probabilidad”, ThomsonParaninfo, 1998.
S. Chinea, C., “Aleatoriedad y álgebras de sucesos”,
(http://casanchi.com/mat/aleatoria01.pdf)
S. Chinea, C., “De las álgebras de sucesos a los espacios probabilísticos”,
(http://casanchi.com/mat/sucesospro01.pdf)
S. Chinea, C., “Variables aleatorias. Una incursión en los espacios probabilizables”,
(http://casanchi.com/mat/valeatoria01.pdf)
S. Chinea, C., “Distribución de variables aleatorias. La función de distribución”,
(http://casanchi.com/mat/fdistribucion01.pdf)
S. Chinea, C., “Medidas sobre distribuciones absolutamente continuas. La
distribución normal”, (http://casanchi.com/mat/disnormal01.pdf)
Carlos S. CHINEA
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