Rectas, planos e hiperplanos Recta P punto de la recta L, d vector

Semestre 02-2008, Algebra Lineal
37
Rectas, planos e hiperplanos
Recta
P punto de la recta L,
d vector no nulo de Rn (vector director de la recta)
P X paralelo a d (P X = td).
X punto de la recta L
P X = OX − OP = x − p
x − p = td
ecuación vectorial de la recta
=
x

x1

 x2
 ..
 .
xn

+ t
p

a1


 a2

 =  ..
 .

an

d

d1


 d2

 + t  ..
 .

dn





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ecuaciones paramétricas de la recta L
x1 = a1 + td1
x2 = a2 + td2
...
xn = an + tdn .
ecuaciones simétricas de la recta
x1 − a1 x2 − a2
xn − an
=
= ··· =
, di 6= 0, i = 1, 2, · · · n
d1
d2
dn
Si di = 0 para algún i,
a cambio de
xi − ai
se incluye la ecuación xi = ai
di
Rectas paralelas
L1 ,
L2 ,
vector director d1
vector director d2
L1 y L2 son paralelas (L1 k L2)
si y solo si
d1 y d2 son paralelos (d1 = λd2)
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Rectas iguales
L1 ,
L2 ,
vector director d1
vector director d2
L1 y L2 son iguales
si y solo si
d1 y d2 son paralelos (d1 = λd2)
existe P ∈ L1 ∩ L2
Rectas ortogonales
L1 ,
L2 ,
vector director d1
vector director d2
L1 y L2 son ortogonales (L1 ⊥ L2)
si y solo si
d1 y d2 son ortogonales (d1 · d2 = 0)
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Ejemplos:
x1 = −2 + 3t
L1 : x2 = −5t
x3 = 1
d1 =
L2 es la recta que pasa por los puntos




0
6
P =  −2  y Q =  −12 
1
1
L3 :
x−2 y+1
=
,
5
−3
z=7
Son las rectas L1 y L2 paralelas?
Son las rectas L1 y L2 iguales?
d2 =
d3 =
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41
Son las rectas L1 y L3 ortogonales?
Encuentre una ecuación de una recta L4 que pase por el origen y
sea ortogonal a L1
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Plano
P punto del plano
c y d vectores no nulos , no paralelos (vectores directores)
P X combinación lineal de c y d
(P X = tc + sd para t, s ∈ R)
X punto del plano P
Así,
P X = OX − OP = x − p
x − p = tc + sd .
ecuación vectorial del plano
=
x





x1
x2
...
xn

+ t
p


+ s
c


d


d1
c1
a1


 



 d2 
 c2 
 a2 

 =  ..  + t  ..  + s  .. 
 . 
 . 
 . 

dn
cn
an
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ecuaciones paramétricas del plano
x1 = a1 + tc1 + sd1
x2 = a2 + tc2 + sd2
...
xn = an + tc2 + sdn .
P1 ,
vectores directores c1, d1
P2 ,
vectores directores c2, d2
L,
vector director d
Planos paralelos
P1 y P2 son paralelos (P1 k P2)
si y solo si
c1 y d1 son combinación lineal de c2 y d2
(c1 = λ1c2 + λ2d2
y
d 1 = µ 1 c 2 + µ 2 d2 )
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Planos iguales
P1 y P2 son iguales
si y solo si
P1 y P2 son paralelos y existe P ∈ P1 ∩ P2
Recta y plano paralelos
L y P1 son paralelos (L k P1)
si y solo si
d es combinación lineal de c1 y d1
(d = λ1c1 + λ2d1, )
Recta contenida en un plano
L está contenida en P1 (L ⊂ P1)
si y solo si
L y P1 son paralelos y existe P ∈ L ∩ P1
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Recta y plano ortogonales
L y P1 son ortogonales (L ⊥ P1)
si y solo si
d es ortogonal a d1 y a d2
(d · c1 = 0
y
d · d1 = 0)
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Ejemplos:
x1 = −2 − 3t
L : x2 = t
x3 = 1 + 11t
d=
P1 es el plano que pasa por los puntos






1
2
−2
P =  1  , Q =  4  y R =  15 
1
−4
16
c1 =
d1 =

 





x1
2
−1
0
P2 :  x 2  =  0  + t  2  + s  5 
x3
−3
3
−2
c2 =
Son los planos P1 y P2 paralelos?
d2 =
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Está la recta L contenida en el plano P2?
Es la recta L ortogonal al plano P1?
Encuentre la ecuación de un plano P3 que contenga a la recta L y
al origen
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Hiperplano
P un punto
n un vector no nulo (vector normal ),
P X ortogonal a n (P X · n = 0)
X punto del hiperplano H
P X = OX − OP = x − p
ecuación vectorial del hiperplano
−
(x





x1
x2
...
xn

·
p)


= 0
n


a1
l1


  
 a 2   l2 

 −  ..  ·  ..  = 0
 .   . 

an
ln
ecuación general del hiperplano
l1(x1 − a1) + l2(x2 − a2) + · · · + ln(xn − an) = 0
ó equivalentemente,
l1x1 +l2x2 +· · ·+ln xn = d con d = l1a1 +l2a2 +· · ·+ln an = n·p.
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H1,
vector normal n1
H2,
vector normal n2
Hiperplanos paralelos
H1 y H2 son paralelos (H1 k H2)
si y solo si
n1 y n2 son paralelos (n1 = λn2)
Hiperplanos ortogonales
H1 y H2 son ortogonales (H1 ⊥ H2)
si y solo si
n1 y n2 son ortogonales (n1 · n2 = 0)
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Ejemplos:

x1

 x
H1 :  2
  x3
x4


 

−1
2

 
 
  0   2 
=0
 · 
−
  −3   3 
−2
1
n1 =
H2 : 2x − 4y − 6z + 4w = 5
n2 =
H3 : 2x + 2y + w = 0
n3 =
Son los hiperplanos H1 y H2 paralelos?
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Son los hiperplanos H1 y H3 ortogonales?
Encuentre la ecuación de un hiperplano H4 que contenga al origen
y sea ortogonal al hiperplano H2
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Producto vectorial en R3

 
v1
u1
u =  u2  y v =  v2  de R3,
v3
u3


u2 v 3 − u3 v 2
u × v =  −(u1v3 − u3v1)  .
u1 v 2 − u2 v 1

Ejemplo:

 
 
 

−1
2
0 · 0 − 3 · (−5)
15
 0  ×  −5  =  −((−1) · 0 − 3 · 2)  =  6 
3
0
(−1) · (−5) − 0 · 2
5

 
 
 

2
−1
(−5) · 3 − 0 · 0
−15
 −5  ×  0  =  −(2 · 3 − 0 · (−1))  =  −6 
0
3
2 · 0 − (−5) · (−1)
−5
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Propiedades del producto vectorial
u, v y w vectores de R3, λ escalar, entonces:
1. u × v = −v × u. Ley anticonmutativa
2. u × (v + w) = u × v + u × w. Ley distributiva para la suma
por derecha
3. (u + v) × w = u × w + v × w. Ley distributiva para la suma
por izquierda
4. λ(u × v) = (λu) × v = u × (λv).
5. u × 0 = 0 × u = 0.
6. u × u = 0.
7. u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w.
8. (u × v) · u = (u × v) · v = 0.
9. u · (v × w) = w · (u × v).
Ejemplo: Dados






2
15
5
u =  −5  , v =  −7  , w =  8 
0
2/3
−21
Calcule
[(2u × v) − (3v × u)] · (u + v)
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Magnitud del Producto Vectorial
u y v vectores de R3, θ ángulo entre u y v, entonces
1. ku × vk2 = kuk2kvk2 − (u · v)2. [Identidad de Lagrange]
2. ku × vk = kukkvk sen θ.
Demostración
2. ku × vk2 =
=
=
=
kuk2kvk2 − (u · v)2.
kuk2kvk2 − kuk2kvk2 cos2 θ
kuk2kvk2(1 − cos2 θ)
kuk2kvk2 sen2 θ
Por tanto, ku × vk = kukkvk sen θ.
u y v vectores no nulos de R3 son paralelos
u × v = 0.
u y v vectores no paralelos de R3
El área del paralelogramo de lados u y v es ku × vk.
(ku × vk = kukkvk sen θ.)
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u, v y w vectores no paralelos de R3
el volumen del paralelepípedo de lados u, v y w es |u · (v × w)|
Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares
u · (v × w) = 0.
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Ecuación Normal del Plano en R3
P en R3 que contiene a P con vectores directores c y d
H en R3 que contiene a P y es ortogonal a n = c × d
P=H
Rectas y Planos en R3
Recta L,
vector director d ∈ R3
Plano P,
vector normal n ∈ R3.
LkP
L⊥P
si y solo si
si y solo si
d ⊥ n (d · n = 0)
d k n (d = λn)
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Ejemplos:
 



2
x1
2
L :  x2  =  −1  + t  −7  , t ∈ R
x3
3
−2



5
P plano que contiene a M =  −2  con vectores directores
3




0
2
c1 =  −2  y d1 =  0 
1
−3
Es L paralela a P?
Es L ortogonal a P?
Encuentre la ecuación de un plano ortogonal a P que pase por el
origen.