INGENIERÍADESISTEMASYAUTOMÁTICA
SISTEMASDECONTROL
PRÁCTICASDESISTEMASDECONTROL
ANÁLISISYDISEÑODESISTEMASDECONTROLEN
ELDOMINIODELAFRECUENCIA
OBJETIVOS
Profesor:AdriánPeidró([email protected])
•
Afianzarlosconocimientossobrelarespuestaenfrecuenciadeunsistema.
•
Estudiarlarelaciónentrelosmárgenesdefase/gananciayellugardelasraíces.
•
Diseñarcontroladoreseneldominiodelafrecuencia.
1.INTRODUCCIÓN.RESPUESTAENFRECUENCIA.MÁRGENESDEFASEYGANANCIA
Comohemosvistoenprácticasanteriores,cuandointroducimosaunsistemalineale
invarianteeneltiempounaentradasenoidalconunadeterminadaamplitud𝑋yuna
frecuencia𝜔
Entrada = 𝑋 · sin 𝜔 · 𝑡 entonceslasalidadelsistemaenrégimenpermanenteesotraseñalsenoidalalamisma
frecuencia,peroconamplitudyfasedistintasalasdeentrada:
Salida = 𝑔 · 𝑋 · sin 𝜔 · 𝑡 + 𝜑 Laamplituddelaseñaldesalidaes𝑔veceslaamplituddelaseñaldeentrada,mientras
que 𝜑 es el ángulo de desfase de la señal de salida con respecto a la de entrada. La
ganancia𝑔yeldesfase𝜑dependendelafrecuencia𝜔delaseñaldeentrada,ylaforma
derepresentaresadependenciaesmediantelosdiagramasdeBode.Enlosdiagramas
deBoderepresentamoslaganancia𝑔(endecibelios)yeldesfase𝜑(engrados)frentea
lafrecuencia:
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Figura1.DiagramasdeBode.Márgenesdefaseyganancia.
ApartirdelosdiagramasdeBodepodemosdefinirlosmárgenesdefaseyganancia.Se
defineelmargendegananciacomolacantidaddeganancia(endecibelios)quehayque
añadiraunsistemaparaquelagananciadelsistemaseade0dBalafrecuenciaalaque
sufaseesde-180º(frecuenciadecrucedefase).Deformasimilar,definimoselmargen
defasecomoeldesfasequedebemosañadiraunsistemaparaquesufaseseade-180º
alafrecuenciaalaquelagananciaesde0dB(frecuenciadecrucedeganancia).
Ensistemasdefasemínima(sistemassinpolosnicerosenelsemiplanocomplejode
parterealpositiva),losmárgenesdefaseyganancianosproporcionanlaestabilidaddel
sistema cuando lo controlamos mediante una realimentación negativa y unitaria. Un
sistema de fase mínima es estable si ambos márgenes son positivos. En ese caso, la
interpretacióndelosmárgenesdefaseygananciaeslasiguiente:elmargendeganancia
(ofase)nosdicecuántopodemosaumentarlagananciadelsistemaenbucleabierto(o
cuántopodemosretrasarunsistemaenbucleabierto,enelcasodelmargendefase)
antesdequeelsistemasevuelvainestableenbuclecerrado(considerandoqueelbucle
se cierra mediante una realimentación negativa y unitaria). En esta práctica vamos a
analizarestainterpretacióndelosmárgenesdefaseygananciaconalgunossistemasde
fasemínima,ytambiénvamosaestudiarsurelaciónconellugardelasraíces.
Además,estudiaremoseldiseñodesistemasdecontroleneldominiodelafrecuencia,
comprobandolaslimitacionesdelasredesdeadelantodefase.
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2.RELACIÓNENTREELLUGARDELASRAÍCESYLOSMÁRGENESDEFASEYGANANCIA
Consideralossiguientestressistemasdefasemínima:
2
𝐺5 𝑠 = 8
9
𝑠 + 2𝑠 + 2𝑠 + 1
1.151𝑠 + 0.1774
𝐺9 𝑠 = 8
𝑠 + 0.739𝑠 9 + 0.921𝑠
1
𝐺8 𝑠 =
𝑠+1
Elsistema𝐺9 𝑠 eselaviónestudiadoenlapráctica3,mientrasqueelsistema𝐺8 𝑠 es
un filtro paso-bajo con una frecuencia de corte de 1 rad/s. Para cada uno de estos
sistemas,respondealassiguientescuestiones:
a) Calcula el margen de ganancia y la frecuencia de cruce de fase, usando la
funciónmargindeMatlab.
b)Medianterltool,representarellugardelasraícesyobtenerelvalorlímitede
la ganancia a partir de la que el sistema en lazo cerrado se torna inestable.
¿Cuálessonlospolosdelsistemaenlazocerradoenellímitedelaestabilidad?
c)¿Quérelaciónexisteentrelaganancialímiteobtenidaenelapartadobyel
margendegananciaobtenidoenelapartadoa?¿Quérelaciónexisteentrela
frecuenciadecrucedefaseobtenidaenelapartadoaylospolosenellímitede
laestabilidad,obtenidosenelapartadob?
d)Acontinuación,simulaenSimulinkellazodecontrolmostradoenlaFigura2,
paracadaunodelostressistemasconsiderados.
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Figura2.BuclederealimentaciónunitariaynegativadelsistemaG(s),conunretardodeTsegundosa
lasalidadelsistema.
EnlapartesuperiordelaFigura2serepresentaelesquemadecontrolasimular,
mientrasqueenlaparteinferiordelamismafiguraserepresentaelmodode
implementardichoesquemadecontrolenSimulink.Laentradaallazodecontrol
esunescalónunitario.Elbloque𝑒 CDE aplicaunretardodeTsegundosalasalida
delsistemaG(s),yenSimulinkpuedeimplementarsedichoretardomedianteel
bloque “Transport Delay” de la librería “Continuous”. Para simular el anterior
lazodecontrol,sedeberánintroducirlossiguientesparámetrosdeconfiguración
(enSimulation->Configurationparameters):Starttime=0.0,Stoptime=100,
Solver options/Type = Fixed-step, Fixed-step size = 0.001, Solver = ode3.
Considerando estos parámetros de configuración, simula el esquema para
distintosvaloresdelretardoT(pruebaconT=0.05,0.10,0.15,0.20,0.25,0.30…),
yobservalasalida𝑦dellazodecontrolencadacaso.¿Cómovaríalarespuesta
delsistemaamedidaqueaumentamoselretardo?¿Sevuelveinestableellazo
decontrolapartirdeciertoretardolímite?Encasoafirmativo,encuentra(por
tanteo)elretardolímiteTlimapartirdelqueelsistemasevuelveinestable.
e)Mediantemargin,obténelmargendefase𝑀H (engrados)ylafrecuenciade
crucedeganancia𝜔I (enrad/s).Pasaelmargendefasedegradosasegundos,
realizandolasiguienteoperación:
𝜋 1
𝑀H segundos = 𝑀H grados
180 𝜔I
¿Quérelaciónexisteentreelmargendefase𝑀H (ensegundos)yelretardolímite
Tlimobtenidoportanteoenelapartadoanterior?
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f) ¿Cómo evolucionan los polos del sistema en bucle cerrado a medida que
variamoselretardoTdelapartadod?Pararesponderaesto,obténprimerola
ecuacióncaracterísticadelsistemaenlazocerradodelaFigura2.Seguidamente,
elprofesormostraráenelproyectorlassolucionesdelaecuacióncaracterística.
3.DISEÑOENELDOMINIODELAFRECUENCIA
Siguiendo el procedimiento estudiado en las sesiones de teoría, diseña una red de
adelantodefaseparaqueelsistema𝐺5 𝑠 (sinconsiderarningúntipoderetardoT)
verifiquelossiguientesrequisitos:
• Errordeposiciónenbuclecerrado≤5%
• Margendefaseenbucleabierto≥60º
Trasdiseñarlareddeadelantodefase,compruebasielsistemacompensadocondicha
redcumplelosrequisitosdediseño,empleandoloscomandosmargin(paracomprobar
elmargendefasedelconjuntosistema+regulador)ystep(paracomprobarelerroren
régimenpermanentedelsistemaenbuclecerrado).
Encasodequelareddiseñadanocumplalasespecificacionesdediseño:
a)¿Aquépuedeserdebido?
b)Diseñaunareddeadelantodefasemulti-etapa(porejemplo,de2etapas)que
sícumplalosrequisitosdediseño.
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