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DECAIMIENTO RADIOACTIVO
El decaimiento radioactivo es independiente del modo de decaimiento, y se aplica a todos
ellos: α ,β+, β-, CE (captura electrónica), γ, y fisión espontánea.
LEY DE DESINTEGRACION RADIOACTIVA
Postulados:
1. La probabilidad de decaimiento, λ, es la misma para todos
los átomos de la misma especie.
2. La probabilidad de decaimiento, λ, es independiente de la
edad del átomo.
Por ser una propiedad nuclear, λ es independiente de toda condición física de la muestra:
temperatura, presión, concentración, etc.
Dado un átomo, la probabilidad de que decaiga
durante el intervalo dt es λdt.
La probabilidad de que un átomo decaiga por unidad de tiempo es (λ
λ dt)/dt = λ [seg-1]
Existen más de 1600 radionucleidos, pero NO hay dos con igual λ.
Para una población de átomos radioactivos tenemos:
Prob. de decaimiento en el intervalo ∆t es = λ∆t
"
NO "
" "
"
∆t es
"
NO "
" "
"
2∆t es
………………………………………………
………………………………………………
"
NO "
" "
"
n∆t es
= 1-λ
λ∆t
= (1-λ
λ∆t)2
= (1-λ
λ∆t)n
Si n ∆t = t, entonces ∆t = t/n
la probabilidad de NO decaimiento en el intervalo t es:
Lím  λt  n
− λt
1 -  = e
n →∞ n 
para un átomo.
Para N átomos, la probabilidad de NO decaimiento es:
N(t) = N(0)
e
− λt
(1)
Si tenemos N(0) átomos de una única sustancia radioactiva, y N(0) es un número muy
grande, entonces N(t) será una variable continua.
La probabilidad de que decaiga un átomo es = λdt, entonces el incremento (negativo) de
átomos en un tiempo dt está dado por:
-dN= N λ dt
e integrando dN/dt, llegamos a la ecuación (1)
ACTIVIDAD:
Es el número de desintegraciones por segundo de una muestra.
A=λN
-λt
Reemplazando en la ecuación 1, A(t) = A(0) e
PERÍODO DE SEMIDESINTEGRACIÓN, T1/2:
T1/2 es el tiempo que tarda, en promedio, una sustancia radioactiva pura en reducir sus
átomos (o su actividad) a la mitad del valor inicial.
De la ecuación 1,
N(0 )
- λT
= N(0) e 1/2
2
3.0×10-7 s
⇓
212
≤
Po
∴
T1/2 ≤
T1/2 =
ln(2)
λ
1.4×1010 años
⇓
232
Th
VIDA MITAD,ττ (mean life):
Es el promedio de vida de todos los átomos. Se obtiene sumando la vida de todos y
dividiendo por los átomos iniciales.
τ = λ-1
Es el tiempo necesario para que los átomos se reduzcan a 1/e (0.367…) de la cantidad
inicial.
UNIDADES:
Bq: actividad de una muestra pura que tienen una velocidad media de decaimiento de 1
desintegración/seg.
Curie: 3.70×1010 Bq, abreviatura: Ci
µCi: 10-6 Ci. Fuentes que se utilizan para calibrar detectores de centelleo y estado sólido.
kCi: 103 Ci. Actividad de fuentes que se utilizan para radioterapia o radiografía industrial.
MCi: 106 Ci. Actividades en unidades de irradiación (para esterilización)
ACTIVIDAD ESPECÍFICA (A’):
Es la actividad por unidad de masa
A' =
A λN λNAvogadro
=
=
M M
A
CONSTANTES DE DECAIMIENTO PARCIALES:
Existen nucleidos que pueden decaer siguiendo diferentes modos, por ejemplo
β-, β+, γ, sf).
241
Am (α,
Si cada modo tiene probabilidades λ1, λ2, … λn, la probabilidad total está dada por
λ =λ1+ λ2+ …+ λn
Si pudiéramos estudiar la sustancia con un sistema de detección que “vea” un solo modo
de decaimiento, caracterizado por λi,
A i = λ i N = λ i N 0 e - λt
MEZCLA DE ACTIVIDADES INDEPENDIENTES
Si se tienen dos especies radioactivas 1 y 2 mezcladas, siempre el decaimiento será
independiente del de la otra.
A=A1+ A2= c1 λ1 N1 + c2 λ2 N2
Siendo c1 y c2 la eficiencias de detección de cada una de las radiaciones. En forma
general: A=A1+ A2+….+An
La representación en papel logarítmico de una mezcla de dos componentes sería:
1 .0
e
0 .8
0 .6
e
0 .4
-λ 2t
0 .2
0 .0
0
tie m p o
-λ 1t
DESINTEGRACION EN CADENA:
Tenemos una cadena de desintegración cuando una sustancia radioactiva 1 decae en
otra sustancia 2, que a su vez es radioactiva.
(1)
(2)
λ
1
→

λ
2


→
La cantidad de sustancia (2) decrece por el decaimiento, pero crece por el decaimiento
de la (1) con una tasa = λ1N1, o sea:
dN1
= −λ1N1
dt
dN 2
= λ1N1 − λ 2N2
dt
y
N1( t = 0) = N10
si
y
N2 ( t = 0) = N02
N1( t ) = N10 e −λ1t
N2 ( t ) =
(2)
(
)
λ1
N10 e − λ1t − e − λ 2t + N02 e − λ 2 t
λ 2 − λ1
(3)
De acuerdo a los distintos valores de λ podemos estudiar algunos casos de “equilibrio”.
No Equilibrio
Si T1<T2, o sea λ1> λ2 La solución para
N2 ( t ) =
(
N02 = 0 , era
)
λ1
N10 e − λ1t − e − λ 2t . Para t suficientemente grande, e −λ1t << e −λ2t ,
λ 2 − λ1
y en ese caso
N2 ∞ =
λ1
N10 e − λ 2t
λ1 − λ 2
∴
A 2∞ =
λ2
A 10
λ1 − λ 2
Para tiempos grandes la hija decae con su propio periodo.
Como A1 = λ1 N1 y A2 = λ2 N2 tenemos
A 2 (t) =
(
λ2
A 10 e − λ 2 t − e − λ 1t
λ1 − λ 2
y la actividad total
)
e − λ 2t
A t = A 1 + A 2 = A 10 e − λ1t +
(
λ2
A 10 e − λ 2t − e − λ1t
λ1 − λ 2
y la actividad At-A2∞ decae con el periodo de la madre.
1
At=A1+A2
0.1
A2∞
A1
0.01
A2=At-A1
tiempo
Actividad
2
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
tiempo
)
Equilibrio Transitorio (e.t.):
Es cuando T1>T2, o sea λ1< λ2. Si N02 = 0 , entonces
(
)
λ1
−λ t
−λ t
N10 e − λ1t − e − λ 2t . Para t suficientemente grande, e 2 << e 1 , y
λ 2 − λ1
N2 ( t ) =
en ese caso
N2 ∞ =
λ1
λ1
N10 e − λ1t =
N
λ 2 − λ1
λ 2 − λ1 1
N1
λ − λ1
= 2
N2 ∞
λ1
∴
Como A1 = λ1 N1 y A2 = λ2 N2 tenemos
A 2 (t) =
(
λ2
A 10 e − λ1t − e − λ 2t
λ 2 − λ1
)
y
A 2∞ =
1.2
1.0
λ2
A1
λ 2 − λ1
2
A1
AT=A1+A2
0.8
A2
1
A2∞
0.9
0.8
0.6
0.7
0.6
0.4
0.5
0.2
0.4
0.0
A1
A2
0.3
t
t
Vemos que para tiempos suficientemente grandes, la hija decae con el período de la
madre
Caso particular de E.T.: Equilibrio secular
Es el caso para el cual cuando T1>>T2, o sea λ1<< λ2.
Para t suficientemente grande,
A 2∞ =
e −λ2t <<< e −λ1t , y en ese caso
1
A 10 e − λ1t ≅ A 10 e − λ1t = A 1
λ
1− 1
λ2
∴
A 2∞ = A 1
Para tiempos suficientemente grandes y tobservación<<T1/2, A1=A2.
A1
5
4
1.0
At=A1+A2
3
2
0.8
0.6
A1=A2∞
A2
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
A2
0.4
0.3
0.2
A2∞-A2
0.2
0.0
0
tiempo
10
tiempo
Activación Artificial
También hay equilibrio secular cuando una sustancia radioactiva se forma a velocidad
constante, al bombardear con partículas cargadas o neutrones por ejemplo.
Si R es el número de núcleos radioactivos que se forman por unidad de tiempo, tenemos:
dN
dt
= R− λ N
y la solución es:
(
Si N0=0, la curva es:
R/λ
periodo de irradiación
)
R
1- e−λt + N0 e−λt
λ
N=
*
t
CADENAS RADIOACTIVAS
(1)
(2)
λ
1
→
2 → (3 )
λ
3 → (4 )
λ
λ
4
→

etc.
De lo anterior resulta que en el caso de una cadena radioactiva, cuyo miembro inicial sea
de una vida media muy larga, para N2:
λ1N1 = λ 2N2
Para N3:
dN 2
= λ1N1 − λ 2N2
dt
∴
∴
N2 = cte
dN3
= λ 2N2 − λ 3N3
dt
N3 = C e − λ 3 t +
La solución general es
λ 2N2
λ3
para t=t0
N03 = C e − λ 3 t 0 +
λ 2N2
λ3
∴

λ N 
C =  N03 − 2 2  e λ 3 t 0
λ3 


λ N 
λ N
N3 =  N03 − 2 2  e − λ 3 ( t − t 0 ) + 2 2
λ3 
λ3

N3 =
[
, reacomodando
]
λ 2N2
1- e − λ 3 ( t − t 0 ) + N03 e − λ 3 ( t − t 0 )
λ3
Si t es grande,
N3 ≅
λ 2N2
λ3
y
λ 3N3 = λ 2N2
N3
λ2N2/λ3
tiempo
En forma análoga se puede mostrar lo mismo para el resto de los miembros de la
cadena, por lo que resulta, para una cadena cuyo primer miembro tiene vida media muy
larga y está en equilibrio secular que
λ1 N1 = λ2 N2 = λ3 N3 = …….. λn Nn
FAMILIAS RADIOACTIVAS NATURALES:
Existen en la naturaleza 3 familias naturales comenzando cada una con 238U, 235U y 232Th
respectivamente.
142 143 144 145 146
237
93
Np
235
92
238
U
U
91
90
232
Th
124 125 126
209
83
Bi
82
206
238
92
.5×10 años
U4

→206
82 Pb
A=4n+2
235
92
.10×10 años
U7
  →207
82 Pb
A=4n+3
1.39×10 años
Th 
  →208
82 Pb
A=4n
Pb
207
Pb
208
Pb
9
8
10
232
90
…………………………….
237
93
2×10 años
U2.
 →209
83 Bi
……….
6
Todas las transiciones involucran ∆A=0 ó ∆A=4
A=4n+1
FECHADO RADIOACTIVO
El 238U tiene T1/2=4.5×109 años. En su cadena de decaimiento le sigue el
2.5×105 años, y los demás, hasta llegar al 206Pb (estable) son menores.
234
U con
Después de 1 billón de años, los únicos elementos presentes con concentración
apreciable serán el 238U y el 206Pb, entonces la ecuación que teníamos:
N2 ( t ) =
(
)
λ1
N10 e − λ 1t − e − λ 2 t
λ 2 − λ1
(
0
NPb = NU
1 − e − λUt
) pasa a ser (con λ =0)
2
Si en un material geológico que contiene 238U se encuentra
para creer que no están relacionados, entonces:
0
NPb + NU = NU
(
206
NPb = (NPb + NU ) 1 − e − λUt
∴
Pb, no hay razón fuerte
)
1  NPb + NU 
1  NPb 
t=
ln
ln 1 +
=
 λU 
λU  N
NU 
U



Pb/U en rocas terrestes viejas
→3.0×109 años (corteza)
Pb/U en meteoritos viejos
→4.5×109 años (formación de la Tierra)
Otros isótopos usados:
β + T1/2 =1.28×109 años
40
K       → 40 Ar
87
β − T1/2 = 4.8×1010 años
Rb       
→87 Sr
238
U→
222
α,β − ...T1/2MAX =3.8 d
Rn      → 210 Pb
gas
14
22.3 años
C: FECHADO ARQUEOLÓGICO:
El 14C en la atmósfera se forma por reacciones:
14
14
N+1n→14C+1p
β− T1/2 =5730 años
C      
→14 N
La relación 12C/14C en la atmósfera es ~1012
En un especimen vivo, la actividad específica de equilibrio del 14C es
A( t ) = A 0 e
−λ t
∴
t=
A0=15 Bq/g
1  A 

ln
λ  A 0 
Si A=10 Bq/g, t = 3352 años
Estadística del decaimiento radioactivo
El decaimiento radioactivo tiene carácter estadístico. Dada una población N0 de átomos
activados, la probabilidad P(d) de tener d desintegraciones en un tiempo ∆t está dada por
la distribución binomial:
P (d ) =
(
(
N0 !
1 − e − λ ∆t
( N 0 − d )! d!
) d ( e − λ ∆t ) N -d
0
(1)
)
donde 1− e − λ ∆t es la probabilidad de que el átomo decaiga en el intervalo ∆t y e−λ ∆t es
la probabilidad que sobreviva. El número de decaimientos promedio esperado durante ∆t
es:
(
N = N0 1 − e − λ ∆t
)
(2)
Si λ∆t<<1 (<0.01) y N0 >>1 (>100) la distribución binomial puede ser reemplazada
por la distribución de Poisson, donde P(d) está dada por:
P (d ) =
N −N
e
d!
(3)
Para bajo número de desintegraciones la distribución no es simétrica alrededor de
d = N , pero sí lo es para altos números de desintegraciones, si d>100 la distribución
puede ser reemplazada por una distribución normal:
1
P (d ) =
e
 (N -d)2 
-

 2N 
(4)
2πN
En ambos casos, distribución normal o de Poisson, la desviación estándar esperada
se pude estimar como:
σ= N ≈ d
(5)
Estas consideraciones son válidas tanto para la actividad de una muestra como para
la actividad del fondo. Por lo tanto la actividad neta (muestra-fondo) también tiene una
distribución normal.
-------------------------------En el caso de espectrometría gamma, no todos los decaimientos N son detectados,
sino Nreg = ε N , y la desviación estándar es:
σ=
(
(
N ε 1- ε 1- e - λ ∆t
))
(6)
(
)
Como en el caso anterior, si t <<T1/2, 1− e − λ ∆t ≈ λ ∆t
y
N ε ( 1- ε λt) ≈ N ε ≈ Nreg
σ=
(7)
En el caso de los isótopos de vida media corta esta condición NO se cumple sino que
∆t≥T1/2.
Afortunadamente, en las mediciones que involucran espectrometría gamma la
eficiencia ε<<1, por lo que:
(
(
N ε 1- ε 1- e - λ ∆t
σ=
)) =
(
(
N ε - ε 2 1- e - λ ∆t
)) ≈
N ε ≈ Σ*
(8)
Cuando se calcula el número de rayos gamma registrados, se mide el área del pico
de absorción total. Al calcular ∆Σ* se debe tener en cuenta la incerteza estadística del
área, Σ*, y del fondo, F*, y además la que se introduce al realizar esta operación por
medio de algoritmos matemáticos (en general el error del ajuste no es significativo si el
pico tiene buena estadística). Existen diferentes modelos para la selección de la incerteza
total, y en general los resultados son similares. ( ∆Σ * = Σ * + 3F * )
(9)
Propagación :
Dada una función escalar de varias variables x1, x2, x3..., cuyas derivadas parciales
son continuas, el desarrollo alrededor de un punto x10, x20, x30... , está dado por:
r
∞ r r
r
k f ( x)
f (x) =
( ∆ ⋅ ∇) k ! r r
(10)
k= 0
x= x
∑
o
donde:
r
x0 = x10, x20, x30... xn0
r
x = x10+∆x1, x20+∆x2, x30+∆x3, ...xn0+∆xn
r
∆ = ∆x1, ∆x2, ∆x3, ... ∆xn
r
∂
∂
∂
∂
∇ =
,
,
, ...,
∂x1 ∂x2 ∂x3
∂xn
r r k
para aclarar el significado del operador ∆ ⋅ ∇ damos el desarrollo para el caso sencillo
de dos variables x1 y x2 :
(
)
para k=1,
r r
( ∆ ⋅ ∇) = ( ∆x1, ∆x2 )
 ∂
∂ 
∂
∂
⋅ 
,
+ ∆x2
 = ∆x1
∂
x
∂
x
∂
x
∂
x
 1
2
1
2
(11)
para k=2,
 r r

2 
2 
2 

( ∆ ⋅ ∇ ) 2 =  ∆x ∂ + ∆x ∂  =  ∆x ∂  +  ∆x ∂  +  2 ∆x ∂ ∆x ∂ 
1
2
1
2
1
2

∂x1
∂x2 
∂x1  
∂x2  
∂x1
∂x2 



2

∂2
∂2
2 ∂
2
=
∆
x
+
2
∆
x
∆
x
+
∆
x
(
)
(
)

1
1
2
2
∂x12
∂x1∂x2
∂x22

(12)
r
La variación de f ( x), ∆f, respecto al valor f ( x0 ) es:
r
r
∆f = f ( x) − f ( x0 ) =
∂f
∂f
= ∆x1
+ ∆x2
∂x1 xr = xr
∂x2
0
r r
x= x0
∂f
+....+ ∆xn
∂xn
+
r r
x= x0
∞
∑(
k =2
r r
∆ ⋅∇
)
k
r
f ( x)
k ! xr = xr o
(13)
Si cada uno de los ∆xi son pequeños se puede considerar que los términos de
mayor orden indicados en la sumatoria no son significativos y tomar los correspondientes
a las primeras derivadas parciales. Para evitar que los términos se anulen por tener
diferente signo y para agregar un factor de seguridad, para calcular ∆f se pueden sumar
los valores absolutos o la media cuadrática de los términos. Este último criterio es un de
los más frecuentes, y se obtiene:

∂f
( ∆f ) =  ∆x1
∂x1

2
2 
∂f
 +  ∆x2


∂x2
r r

x= x0 
2

∂f
 +....+ ∆xn


∂xn
r r

x= x0 
2


r r
x= x0 
(14)
ECUACIONES DE BATEMAN
Para el caso de una cadena de decaimiento de n eslabones las ecuaciones son:
dN1
= −λ1N1
dt
dN2
= λ1N1 − λ 2N2
dt
dN3
= λ 2N2 − λ 3N3
dt
…………………………………..
dNn-1
= λn- 2Nn− 2 − λn-1Nn−1
dt
dNn
= λn-1Nn −1 − λnNn
dt
Si a t=0,
y
N1(0)=N10
N2(0)= N3(0)= N4(0)=.....= Nn-2(0)= Nn-1(0)= Nn(0)=0
las soluciones son:
Nn (t ) = c1e− λ1t + c 2e−λ 2 t + c 3e− λ 3 t + ......c ne −λ n t
con
λ1 ⋅ λ 2 ...λn −1
N (0 )
(λ 2 − λ1 ) ⋅ (λ 3 − λ1 )....(λn − λ1) 1
λ1 ⋅ λ 2 ...λn −1
c2 =
N (0 )
(λ1 − λ 2 ) ⋅ (λ 3 − λ 2 )....(λn − λ 2 ) 1
c1 =
....
cn =
λ1 ⋅ λ 2 ...λn −1
N (0 )
(λ1 − λn ) ⋅ (λ 2 − λn )....(λn −1 − λn ) 1
Si el número de átomos de algún otro de los isótopos fuera diferente de 0 a tiempo cero,
se lo resuelve como en el caso anterior y suman a la solución general