Problemas resueltos de ecuaciones de 2º grado

ECUACIONES DE 2º GRADO
PROBLEMAS
1. Si al resultado de la multiplicación de dos números consecutivos se le suma 30, se
obtiene 50. ¿Qué números son?
x·(x+1)+30=50; x2+x=50-30; x2+x-20=0; x 
 1  1  80  1  9
 x1=-5 & x2=4

2
2
es decir, los números son o bien -5 y -4, o bien 4 y 5
2. ¿Cuál es el número positivo que cumple la condición: “al doble de su cuadrado se
le resta el doble del número y se obtiene 12”?
2x2-2x=12; 2(x2-x)=12; x2-x=6; x2-x-6=0; x 
1  1  24 1  5
 x1=-2 & x2=3

2
2
la solución es 3, puesto que -2 NO es un número positivo.
3. Cuál es el número natural que sumado al cuadrado de su consecutivo es 109 (nº
natural → entero, positivo)
x+(x+1)2=109  x+x2+1+2x=109  x2+3x+1-109=0  x2+3x-108=0
x
 3  9  432  3  441  3  21
 x1=-12; x2=9


2
2
2
es decir: -12+112=-12+121=109
---------
9+102=9+100=109
4. Si al triple de un número se le suma la mitad de su cuadrado, se obtiene el doble
del mismo número. ¿Qué números cumplen esta condición?
3x 
x2
x2
x2
 2 x;
 3x  2 x  0;
 x  0; x 2  2 x  0; x( x  2)  0; x1  0; x2  2
2
2
2
Descartando el resultado de cero, la solución es -2
5. La superficie de un triángulo es de 60cm2. ¿Cuál es su altura, sabiendo que la
altura tiene 2cm más que la base?
sup erficie 
b
base  altura
b·(b  2)
2
2
 60 
 120  b  2b  b  2b  120  0
2
2
 2  4  480  2  484  2  22


 1  11  b1=10; b2=-12
2
2
2
Como no puede ser negativa la base es b=10cm  altura=b+2=12cm
6. Halla dos números consecutivos cuyo producto sea 306.
Dos números consecutivos son, por ejemplo, x, x+1
1
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PROBLEMAS
Con lo cual, tenemos dos parejas de números:
para x=-18
para x=17
los números son -18 y -17
los números son 17 y 18
7. Calcula dos números consecutivos sabiendo que sus cuadrados suman 145. 1
Dos números consecutivos son, por ejemplo, x, x+1; (¿podrían ser otros, como x y x-1,
por ejemplo? Sí, por supuesto; y también x+20 y x+21, ¿por qué no? Pero es más cómodo
x y x+1 ó x y x-1). Entonces:
Para que nos sea más sencillo operar, podemos simplificar, dividiendo toda la ecuación
entre 2:
Los dos resultados de la ecuación son -9 y 8; las dos parejas de números son:
para x1=-9
para x2=8
los números son -9 y -8
los números son 8 y 9
8. Obtén dos números pares consecutivos cuya suma de cuadrados es 340.
Dos números pares consecutivos pueden ser 2x y 2x+2; entonces:
Podemos simplificar la ecuación, dividiendo todo por 8 (El resultado final será el mismo
con o sin simplificación; pero tenemos la gran ventaja de operar con números más
pequeños; que por un lado, es más rápido; y además es menos probable cometer errores):
Los dos resultados de la ecuación son -7 y 6; las dos parejas de números son:
para x1=-7
para x2=6
-14; 2x+2=-12
los números son -14 y -12
los números son 12 y 14
1
¡MUCHO CUIDADO! No confundamos suma de cuadrados con cuadrado de la suma,
recuerda las identidades notables:
2

suma de cuadrados →

cuadrado de una suma →
=
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PROBLEMAS
9. Calcula dos números impares consecutivos sabiendo que el cuadrado de su suma
es 255.
Podemos escoger dos impares consecutivos cualesquiera; pero, por comodidad, y
acordándonos de nuevo de las identidades notables, escogemos 2x+1 y 2x-1; suma por
diferencia, diferencia de cuadrados (así, nos va a salir una ecuación incompleta):
;
para x1=8
los números son 15 y 17
para x2=-8
los números son -17 y -15
10. Calcula un número tal que el doble de su cuadrado menos la mitad de su
cuadrado es 1014.
El número es x:
quitamos el denominador, multiplicando TODO por 2:
Solución: hay dos números: +26 y -26
11. Si a un número se le suma la mitad de su cuadrado se obtiene 24. ¿Qué número
es?
;
Soluciones: hay dos números: 6 y -8
12. Calcula el lado de un cuadrado cuya área mide 121 cm2. 11cm
El área de un cuadrado es lado por lado; es decir:
Como un lado no puede medir -11 cm, la solución es que el lado del cuadrado mide 11 cm.
13. Un terreno rectangular ocupa 128 m2. Calcula sus dimensiones sabiendo que un
lado es el doble que el otro.
Es decir, un lado mide x, y el otro, 2x; y la superficie, base por altura, es 128:
Como no pueden tomar valores negativos, la altura mide 8 metros, y la base, 16 metros.
14. Calcula la base y la altura de un rectángulo sabiendo que su altura es 2 cm
menor que su base, y que su área es de 168 cm2.
base=x; altura=x-2;
(de la misma manera, podría ser altura=x; base=x+2)
tomando sólo el resultado positivo: x=14
La base mide 14 cm, y la altura, 12 cm.
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15. Calcula cuánto miden la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden 5 metros
Lo resolvemos por el teorema de Pitágoras:
en este caso, los dos catetos son iguales, al tratarse de un cuadrado; hipotenusa=x
16. Calcula el radio de un círculo que tiene de área
cm2. 6cm
Tomando sólo el valor positivo, el radio mide 6 metros de longitud
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