Escuela de Graduados: Maestría en Procesamiento de Señales e

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA
DEL
PERÚ
Escuela de Graduados: Maestría en Procesamiento de
Señales e Imágenes Digitales
Sistemas Lineales
PROFESOR: Dr. Rubén Agapito
Ciclo:
Código:
1
Créditos:
Tipo:
2012-1
ING606
3
Obligatorio
Objetivos del Curso
Proveer una introducción a la teoría de sistemas lineales con énfasis en la teoría de control, dando un
panorama lo suficientemente amplio para que el alumno consiga una clara idea del comportamiento
dinámico de un sistema lineal, sus ventajas y limitaciones.
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2.1
Contenidos del Curso
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Notaciones. Funciones Continuas. Problemas de Valor Inicial. Sistemas de ecuaciones de primer orden.
Clasificación. Ejemplos. Soluciones a los problemas de valor inicial (PVI): existencia, continuación, unicidad
y dependencia continua de los parámetros. Linealización. Sistemas Lineales: existencia, unicidad, continuación y continuidad con respecto a los parámetros de las soluciones. Soluciones de Ecuaciones Lineales de
Estado.
2.2
Introducción al Espacio-Estado y Descripciones Entrada-Salida de Sistemas
Descripción Espacio-Estado de sistemas continuos y discretos en el tiempo. Descripción Entrada-Salida de
sistemas. Consideraciones generales sobre descripciones externas a un sistema. Sistemas Lineales discretos
en el tiempo (LDT). La distribución Delta de Dirac. Sistemas Lineales continuos en el tiempo (LCT).
2.3
Respuesta de Sistemas Continuos y Discretos en el tiempo
Resolución de ẋ = Ax y ẋ = Ax + g(t). La matriz transición de estado Φ(t, t 0 ). Ecuaciones no homogéneas.
La matrix exponencial eAt , modos y comportamiento asintótico de ẋ = Ax. ¿Cómo calcular eAt ? Ecuación
estado y descripción entrada-salida de sistemas LCT: respuesta de sistemas LCT, funciones de transferencia
y equivalencia de representaciones espacio-estado. Ecuación estado y descripción entrada-salida de sistemas LDT: respuesta de sistemas LDT, la función de transferencia y la transformada Z , equivalencia de
representaciones espacio-estado, y sistemas de data muestreada.
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2.4
Estabilidad
El concepto de equilibrio. Caracterizaciones cualitativas de un equilibrio. Estabilidad de Lyapunov de
Sistemas Lineales. La ecuación matricial de Lyapunov. Linealización. Estabilidad entrada-salida. Aplicación
de los conceptos estudiados a sistemas discretos en el tiempo.
2.5
Controlabilidad y Observabilidad: Resultados Fundamentales
Una breve introducción a Alcanzabilidad y Observabilidad: Alcanzabilidad y Controlabilidad. Observabilidad
y Constructibilidad. Sistemas Duales. Alcanzabilidad y Controlabilidad en sistemas LCT invariantes en el
tiempo y sistemas LDT. Observabilidad y Constructibilidad: Sistemas LCT invariantes en el tiempo y sistemas
LDT invariantes en el tiempo.
2.6
Controlabilidad y Observabilidad: Formas Especiales
Formas estándar para sistemas no controlables y no observables. Teorema de descomposición de Kalman. Test
del eigenvalor/eigenvector para controlabilidad y observabilidad. Formas controlador y formas observador.
2.7
Descripciones Internas y Externas: relaciones y propiedades
Relaciones entre descripciones espacio-estado y entrada-salida. Relaciones entre estabilidades de Lyapunov
y entrada-salida (BIBO). Estudio de los polos y ceros: formas de Smith y de Smith-McMillan, relaciones
entre polos, ceros y eigenvalores de A. Descripciones de matriz polinomial y matriz fraccional de sistemas.
Coprimitud y divisores comunes.
2.8
Teoría de Realización y Algoritmos
Realizaciones Espacio-Estado y descripciones externas: sistemas LCT y LDT. Existencia y minimalidad de
realizaciones. El orden de las realizaciones minimales. Algoritmos de realización: usando dualidad, en
forma controlador/observador, usando una matriz diagonal, y usando descomposición en valores-singulares.
Realizaciones de matrices polinómicas.
3
Bibliografía
• Antsaklis PJ, Michel AN (2006) Linear Systems. Birkhäuser.
• Antsaklis PJ, Michel AN (2007) A Linear Systems Primer. Birkhäuser (Texto principal del curso).
• Chaparro LF (2011) Signals and Systems using Matlab. Academic Press, Elsevier.
• Kailath T (1980) Linear Systems. Prentice-Hall.
• Lathi BP (1998) Signal Processing and Linear Systems. Berkeley-Cambridge Press.
4
Sistema de Evaluación
El cálculo del promedio final será de la siguiente manera: Tareas (40 %), Examen Parcial (20 %) y Examen
Final (40 %).
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