Unidad 7 Incremento de la Entropía: Segundo Principio

Unidad 7
Incremento de la Entropía: Segundo Principio
El segundo principio de la termodinámica es descrito en esta unidad. Se introduce el concepto de
entropía, propuesto por Clausius, a través de la descripción de la máquina térmica de Carnot. Asimismo
para los gases ideales se presenta las herramientas de cálculo de la entropía para gases que verifican la
condición de ideal. El balance general de entropía de sistemas abiertos es presentado como parte final
en esta unidad. Se enfatiza su independencia respecto de los balances de materia y energía, lo cual le
confiere, en combinación con los dos principios anteriores, una gran utilidad el análisis y resolución de
problemas que involucran procesos.
7.1 Maquina Térmica de Carnot (1811): Conversión de Calor en Trabajo Mecánico
A fines del siglo XVIII se inventó la Máquina de Vapor (máquina térmica), en la cual
carbón, madera o algún otro tipo de combustible se quemaban para generar calor que
transformaba el agua en vapor a elevada presión y temperatura, el cual era empleado en
la producción de -trabajo mecánico útil- (ver Figura 7.1). La máquina de vapor fue la
base de la revolución industrial del siglo XIX. Un problema frecuente relacionado con
estas máquinas era la determinación de la máxima cantidad de trabajo que podían
entregar, para una cantidad determinada de combustible. Sadi Carnot (Nolay,
S. Carnot
Burgundy, Francia: 1793-1832) joven ingeniero militar francés se obsesionó con
encontrar la máxima eficiencia de una máquina de vapor, i.e., máxima relación calor entregado vs.
trabajo obtenido. Fue entonces cuando Carnot mediante ingeniosos análisis matemáticos de una
máquina de vapor que denominó ideal estableció las bases de la segunda ley de la termodinámica.
Una Máquina Térmica, utiliza parte del calor proveniente de un depósito térmico- para ser empleado en la producción de -trabajo
mecánico útil- (ver Figura 7.2). Algunas definiciones útiles,
relacionadas con máquinas térmicas beben ser establecidas, previo al
análisis termodinámico de su funcionamiento. Se denomina Depósito
Térmico Caliente a la porción de materia o cuerpo capaz de emitir
cantidades infinitas de energía, empleando el mecanismo de calor, sin Figura 7.1 Máquina a Vapor.
disminuir (modificar) su temperatura: TC. Análogamente, un Depósito
Térmico Frío puede absorber cantidades infinitas de energía utilizando el mecanismo de calor, sin
incrementar (modificar) su temperatura: TF. Cuando un sistema realiza un Proceso Cíclico, transita por
un número establecido de estados, en etapas consecutivas, que lo conducen periódicamente a regresar a
su estado inicial.
La Máquina Térmica de Carnot o Máquina Térmica Ideal emplea 1 mol gas ideal como fluido de
operación que transita a través de un proceso cíclico estacionario de cuatro etapas reversibles. A
tendiendo a la configuración de la máquina de Carnot suele llamársele también máquina perfecta. De
acuerdo al esquema de la máquina térmica empleada por Carnot, calor proveniente del depósito térmico
caliente: Q C , es enviado a la máquina, donde una fracción de este calor es transformado en trabajo útil:
W
Carnot , y el resto (no utilizado) derivado hacia el deposito térmico frío: Q F .
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( + ) Calor desde
Q
C
Depósito Caliente
Depósito caliente: TC
Q
C
W
Carnot
Máquina
Q
F
(+)
W
S,C
(−)
W
S,T
Consumo
de trabajo
Generación
de trabajo
( − ) Calor hacia
Q
F
Depósito Frío
Depósito frío: TF
Figura 7.2 Máquina Térmica.
La Figura 7.3 presenta la información concerniente al gas ideal que participa como fluido de proceso en
términos de sus propiedades PVT. La Figura 7.4 describe la operación de funcionamiento al interior de
la máquina, considerando para ello un conjunto cilindro-pistón, donde se lleva a cabo el proceso de
generación de trabajo a partir de calor.
P
( Q = 0 )
1
P1
P2
>0⎤
⎡Q
12
⎢
⎥
⎢⎣ W12 < 0 ⎥⎦
2
=0⎤
⎡Q
41
⎢
⎥
⎢⎣ W41 > 0 ⎥⎦
P3
( Q = 0 )
T1 = T2 = TC
W
Carnot
=0⎤
⎡Q
23
⎢
⎥
⎢⎣ W23 < 0 ⎥⎦
4
P4
GI
V
1
GI
V
4
<0⎤
⎡Q
34
⎢
⎥
⎢⎣ W34 > 0 ⎥⎦
3
GI
V
2
GI
V
3
T3 = T4 = TF
GI
V
Figura 7.3 Descripción de la operación de una máquina térmica ideal, en términos de las propiedades PVT
del gas ideal que participa como fluido de proceso.
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Depósito caliente
Depósito caliente
Q
C
Q
C
, el que emplea para
1 → 2: Expansión isotérmica: el gas ideal (GI) se expande, recibiendo calor del depósito caliente: Q
C
mantener su temperatura constante, T1 = T2 = TC .
2 → 3: Expansión adiabática: el GI incrementa su volumen sin recibir calor, enfriándose desde la temperatura TC (depósito
caliente) a la temperatura T3 = TF (depósito frío).
Q
F
Depósito frío
Q
F
Depósito frío
3 → 4: Compresión isotérmica: el GI disminuye su volumen, se comprime, debido a una transferencia de calor hacia el
a temperatura constante T = T = T .
depósito frío: Q
F
3
4
F
4 → 1: Compresión adiabática: el GI recibe trabajo sin perder calor, calentándose desde la temperatura T4 = TF (depósito
frío) a la temperatura T1 = TC (depósito caliente).
Figura 7.4 Descripción de la operación de funcionamiento al interior de la máquina de Carnot.
El resultado de la aplicación del primer principio a cada una de las etapas de la máquina de Carnot es
presentado en la Tabla 7.1, empleada para el cálculo del trabajo neto o total de la máquina de Carnot,
i.e., W
Carnot .
N=4
W
Carnot = ∑ Wi
i =1
GI ( T − T ) − RT ln ⎡ V
GI
GI ⎤ + C
GI GI
⎡ GI V
W
Carnot = − RTC ln ⎣ V2
1 ⎦
V
C
F
F
⎣ 4 V3 ⎤⎦ + CV ( TF − TC )
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Tabla 7.1 Análisis energético del cada una de las etapas de la máquina de Carnot.
+W
GI = Q
Primer principio: ∆U
Etapa
Acción
GI
∆U
Q
W
1→2
Expansión
isotérmica
GI = 0
∆U
12
=Q
= −W
Q
12
C
12
= −RT ln ⎡ V
GI GI
W
12
C
⎣ 2 V1 ⎤⎦
2→3
Expansión
adiabática
GI ( T − T )
GI = C
∆U
23
V
C
F
=0
Q
23
= ∆U
GI
W
23
23
3→4
Compresión
isotérmica
GI = 0
∆U
34
=Q
= −W
Q
34
F
34
= −RT ln ⎡ V
GI GI
W
34
F
⎣ 4 V3 ⎤⎦
4→1
Compresión
adiabática
GI ( T − T )
GI = C
∆U
41
V
F
C
=0
Q
41
= ∆U
GI
W
41
41
( T1 = T2 = TC )
( T3 = T4 = TF )
Una serie de relaciones se establecen para el sistema, considerando que el proceso es reversible, el
fluido es un gas ideal, y las etapas 23 y 41 son adiabáticas, de manera de simplificar la expresión para
el trabajo total de la máquina de Carnot.
TC TF = [ P2 P3 ]
GI = P V
GI
P1V
1
2 2
GI = P V
GI
P3 V
3
4 4
P1 P4 = P2 P3
⎡ P1 ⎤
W
Carnot = − R ( TC − TF ) ln ⎢
⎥
⎣ P2 ⎦
γ GI −1
γ
GI
= [ P1 P4 ]
γ GI −1
γ GI
( < 0)
Es claro, analizando el signo negativo del trabajo neto o total de la maquina de Carnot, que el sistema
realiza trabajo sobre los alrededores al completar un ciclo. Se define la Eficiencia del Ciclo de Carnot:
ηCarnot , como la relación entre el valor absoluto del trabajo neto entregado por el sistema y el calor
consumido por el fluido desde el depósito caliente.
ηCarnot =
W
Carnot
Q
ηCarnot =
TC − TF
TC
ηCarnot = 1 −
C
ηCarnot =
R ( TC − TF ) ln [ P1 P2 ]
GI V
GI ⎤
RTC ln ⎡⎣ V
2
1 ⎦
TF
TC
Una máquina de Carnot con una eficiencia igual a 1, i.e., 100 %, requiere que la temperatura del
depósito frío sea 0 K, lo cual es imposible de lograr. En su defecto, la temperatura del depósito caliente
debe ser infinita, lo cual es físicamente imposible. Debe recordarse que la máquina de Carnot es ideal,
en vista de las condiciones de operación (reversible) y el fluido de proceso (gas ideal), por lo que
ninguna máquina real tendrá un comportamiento igual o superior a la de Carnot. Este análisis permite
establecer el Teorema de Carnot, y su aplicación como el Corolario de Carnot, respectivamente.
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Teorema de Carnot: Ninguna máquina térmica puede tener una eficiencia superior a la máquina
térmica de Carnot, cuando ambas operan entre idénticos niveles de temperaturas de sus respectivos
depósitos térmicos.
Corolario de Carnot: Es imposible, mediante un proceso cíclico, convertir completamente el calor
absorbido por el sistema desde un depósito caliente en trabajo.
Las conclusiones elaboradas sobre la base del análisis del funcionamiento de las máquinas térmicas, se
corresponden con lo establecido por el segundo principio de la termodinámica.
Considérese el balance de energía para el ciclo completo en términos de calor y trabajo, de acuerdo a
los resultados de las figuras 7.1, 7.2 y 7.3.
∆U
Carnot = WCarnot + Q C − Q F = 0
(
W
Carnot = − Q C − Q F
ηCarnot =
)
W
Carnot = Q C − Q F
−Q
Q
C
F
Q
C
Q
ηCarnot = 1 − F
QC
En vista de lo demostrado, que la eficiencia de la máquina de Carnot no puede ser 1, esta última
Q
≠ 0.
relación verifica lo establecido en el corolario de Carnot. i.e., Q
F
C
7.2 Segundo Principio de la Termodinámica: R.J.E. Clausius y la Creación de Entropía (1854)
El físico teórico de origen polaco Rudolf Julius Emmanuel Clausius (Koszalin, Polonia
1822-1888), empleó los resultados del S. Carnot para establecer el concepto de
Entropía (S) que cuantifica el grado de dispersión y desorden de la materia y energía
que tiene un sistema, parámetro característico de uno de los principios más importantes
de la naturaleza denominado Segundo Principio de la Termodinámica.
R.J.E. Clausius
Considérese un Sistema Aislado i.e., un sistema que no intercambia materia o energía
con los alrededores. Un enfoque general del Segundo Principio es: Todo sistema aislado que
experimenta un proceso espontáneo transitará rápida o lentamente hasta un estado final de equilibrio
en la cual se logre el máximo grado de dispersión y desorden de la materia y energía, en otras
palabras, se alcance el máximo absoluto en el valor de entropía. Esto último asegura que entre todos
los posibles estados finales existirá una trayectoria preferencial que seguirá un sistema aislado hacia
aquel estado final que le asegure el máximo incremento en el valor de entropía, i.e., una tendencia a
lograr la homogenización del sistema, estado más probable en que éste puede existir. (ver Figura 7.5).
El análisis del valor de esta útil herramienta llamada entropía, permite determinar la dirección en que
los eventos ocurrirán espontáneamente en un sistema aislado, y cual será su estado final luego de
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experimentar el proceso. La Figura 7.6; representa la concordancia entre la dirección del tiempo, el
grado de dispersión y desorden de la materia y la energía, y el incremento de la entropía.
Estado Final
Sistema Aislado
Figura 7.5 Incremento de la entropía en procesos espontáneos.
Estado Inicial
Estado Final
Estado F
Tiempo
Estado F
Estado I
Entropía (S) ≡ Grado de dispersión y
desorden de la materia y la energía
Estado I
Tiempo
Estado F
Frontera del
sistema aislado
Estado I
Estado F
Entropía (S) ≡ Grado de dispersión y
desorden de la materia y la energía
Figura 7.6 Estados posibles de un sistema aislado que experimenta dos posibles eventos; concordancia entre la
dirección del tiempo, dispersión y desorden de la materia y la energía, y el incremento de la entropía.
El Segundo Principio introduce restricciones a las transformaciones energéticas a través del concepto
de -calidad de la energía-, i.e., fracción de la energía total del sistema disponible para hacer trabajo
útil. El valor establecido para la eficiencia de la máquina de Carnot es consecuencia de la restricción
impuesta por el segundo principio, sólo una fracción de la energía térmica de proveniente del deposito
térmico caliente posee la calidad apropiada para trasformarse en trabajo útil, por lo cual la fracción
restante debe ser descartada al deposito frío.
La calidad de la energía de un sistema se establece de acuerdo al valor de su entropía, altos valores de
entropía indican pobre calidad de la energía. La calidad de la energía mecánica (cinética y potencial) es
superior a la calidad de la energía térmica (energía interna y/o entalpía) lo cual se refleja en su mayor
capacidad o eficiencia al ser transformadas en trabajo útil.
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El Universo conocido es considerado como un sistema aislado, por lo cual la segunda ley de la
termodinámica se establece en términos del incremento de entropía del sistema universo.
∆SUniverso = SUniverso,2 ( t 2 ) − SUniverso,1 ( t1 ) ≥ 0
∆SUniverso = SUniverso,2 ( t 2 ) − SUniverso,1 ( t1 ) = SGenerada en el Universo ≥ 0
SGenerada en el Universo : entropía generada en el intervalo de tiempo t1 → t 2 , como consecuencia de los
procesos que ha experimentado el universo. Indica el incremento de la dispersión y desorden en la
distribución de la materia y la energía total, i.e., el avance en el grado de homogenización logrado en
el universo.
∆SUniverso = ∆SSistema + ∆SAlrededores = SGenerada en el Universo ≥ 0
En los procesos que ocurren espontáneamente: SGenerada en el Universo > 0 , i.e., se incrementa la dispersión y
el desorden en la distribución de la materia y la energía total. Se debe recordar que los procesos reales
son siempre espontáneos, lo cual significa que en el universo todos los cambios, o procesos que se
puedan llevar a cabo, naturalmente o inducidos por el hombre, serán irreversibles.
Hipotéticamente, para procesos que son reversibles: SGenerada en el Universo = 0 , i.e., la dispersión y el
desorden de la materia y la energía total no se incrementa, sólo se redistribuye entre el sistema y los
alrededores. Recuérdese que si bien este tipo de proceso no puede ocurrir realmente, son de gran
utilidad cuando se trata de un análisis de funciones de estado.
Se hace necesario establecer una definición de la propiedad, que de acuerdo al trabajo realizado por
Clausius denominó entropía, en términos de propiedades del sistema. En efecto, del análisis del
funcionamiento de la máquina de Carnot (reversible: Rev), se desprende la definición de entropía. El
Re v : enviado al
Re v : proveniente del depósito caliente), y 34 ( Q
calor transferido en las etapas 12 ( Q
F
C
depósito frío), pueden ser relacionadas considerando las condiciones de presión y temperatura del ciclo.
Re v = Q
Re v = −RT ln [ P P ]
Q
12
C
C
2
1
Re v = Q
Re v = −RT ln [ P P ]
Q
34
F
F
1
2
Re v
Q
C
= R ln [ P1 P2 ]
TC
Re v
Q
F
= −R ln [ P1 P2 ]
TF
Re v
Re v
Q
Q
C
=− F
TC
TF
Re v Q
Re v
Q
C
+ F =0
TC
TF
( Q
Re v
23
Re v = 0
= 0; Q
41
)
Re v Q
Re v Q
Re v Q
Re v
Q
C
23
F
+ ∗ +
+ 41∗ = 0
TC
T23
TF
T41
Re v T , para las cuatro etapas del proceso cíclico de
Clausius verifico que la suma de fracciones Q
i
i
Carnot, es exactamente cero.
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Incremento de la Entropía: Segundo Principio
Re v
Q
i
=0
∑
i =1 Ti
N =4
Una igualdad similar se presenta cuando se cuantifica el valor de una función de estado, en un proceso
Re v T se comportaba
cíclico. Este resultado llevo a concluir a Clausius que, efectivamente, la relación Q
como si se tratara de una función de estado.
Considérese una máquina de Carnot que opera en un el proceso cíclico reversible, donde las
trayectorias adiabáticas e isotérmicas están arbitrariamente cercanas, que pueden considerarse
infinitesimales, lo mismo que el trabajo y calor asociado al proceso. Efectivamente se verifica que la
Re v T es cero para las cuatro etapas del proceso cíclico.
suma de las fracciones dQ
i
i
Re v dQ
Re v dQ
Re v dQ
Re v
dQ
C
+ ∗23 + F + ∗41 = 0
TC
T23
TF
T41
Re v
dQ
i
=0
∫
Ti
Ciclo
Re v T con un nombre
Sobre la base de estos resultados, Clausius decidió identificar a la relación Q
i
i
particular de entropía, una nueva propiedad del sistema, i.e., función de estado, que puede ser asociada
a la dispersión y el desorden en la distribución de la materia y la energía total del sistema.
Re v
dQ
dS =
T
∆S =
Re v
dQ
∫ T
Re v
Para el ciclo de Carnot se verifica una igualdad en cero para la suma de los cambios entrópicos de cada
uno de las etapas.
∆S 12 + ∆S 23 + ∆S 34 + ∆S 41 = ∆S Sistema = 0
Para verificar el segundo principio: ∆S Alrededores = 0 , en vista que el proceso cíclico es reversible, por lo
cual no existe incremento en la dispersión y/o desorden de la distribución de la materia y la energía
total.
Si se analiza un proceso real, irreversible, entre los estados reales inicial y final, la determinación del
cambio de entropía se realiza a partir de la definición, pero seleccionando apropiadamente una
trayectoria reversible hipotética arbitraria, entre los estados reales del sistema, inicial y final. Esto
último es posible de llevar a cabo en vista del carácter de función de estado de la entropía, y su
independencia con la trayectoria seleccionada, pero restringida, por definición, al cálculo a través de
trayectorias reversibles (ver Figura 7.7). De igual manera como ocurre con la energía interna, en
general, no es posible en términos prácticos medir valores absolutos de la entropía, en vista que esta
propiedad esta asociada a la estructura interna de la materia, y como se ha comentado, exigiría disponer
de modelos muy complejos.
∆S Real: Irreversible =
Re v
dQ
∫
T
Re v: Arbitaria
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Incremento de la Entropía: Segundo Principio
Trayectoria real: irreversible
Estado Final: S Final
Estado Inicial: S Inicial
Trayectoria hipotética y arbitraria: reversible
Figura 7.7 Cálculo de entropía para un proceso irreversible, empleando una trayectoria reversible, hipotética y arbitraria.
Considérese una situación particular, en la cual un sistema realiza un proceso a través de una
Re v = 0 , no se
trayectoria reversible, sin intercambiar calor con los alrededores, i.e., adiabático: dQ
verifican cambios en el valor de la entropía del sistema, i.e., el proceso es isoentrópico, de acuerdo a su
definición.
Re v = 0
dQ
=0
T
Re v
∆S = ∫
(Reversible + Adiabático = Isoentrópico)
7.3 Cálculo de Entropía para Gases Ideales
La Figura 7.8 esquematiza un mol de gas ideal empleado por la máquina de Carnot. Empleando la
definición, se determinan los cambios de entropía del fluido, en términos de sus propiedades
volumétricas.
Gas ideal
Figura 7.8 Gas ideal empleado en la máquina térmica de Carnot.
Re v − PdV
GI = dQ
GI
Balance de energía para un proceso a través de una trayectoria reversible: dU
Re v = dU
GI + PdV
GI
dQ
Re v
dQ
dS GI =
T
GI + PdV
GI
dU
dS GI =
T
GI dT
GI = C
dU
V
GI
P T=R V
GI
GI dT + R dV
dS GI = C
V
GI
T
V
GI )
f (T, V
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62
Incremento de la Entropía: Segundo Principio
A diferencia de lo que ocurre con las propiedades asociadas a la energía interna, para un gas ideal la
entropía depende de la temperatura y el volumen o presión.
GI = RdT − V
GI dP
PdV
GI
PdV
GI
GI dT
dS = CV
+
T
T
GI
GI dT + RdT − V dP
dS GI = C
V
T
T
GI
GI dT + R dT − V dP
dS GI = C
V
T
T
T
(
)
GI + R dT − R dP
dS GI = C
V
T
P
GI dT − R dP
dS GI = C
P
T
P
f (T, P)
Obsérvese que aun cuando se ha considerado una trayectoria reversible para el cálculo del cambio en la
entropía, la ecuación final resultante sólo incluye funciones de estado, por lo cual puede ser utilizada
sin importar el tipo de trayectoria que siga el sistema, mientras se trata de un gas ideal.
7.4 Balance de Entropía para Sistemas en Flujo
Considérese un sistema abierto en el cual un fluido circula por una tubería (ver Figura 7.9). Los
términos asociados al balance de entropía de un sistema abierto son presentados en la Tabla 7.2.
Q
ˆ)
( qS
ˆ)
( qS
S Gen
1
2
2
1
Frontera del sistema
Tubería
Figura 7.9 Términos del balance de entropía asociados al flujo de un fluido en una tubería.
En el proceso de flujo real existe un término asociado a la dispersión y desorden, generado dentro del
sistema por la existencia de irreversibilidades: S Gen , originadas por la fricción del fluido contra las
paredes de la tubería, o en el seno de sí mismo. Este tipo de pérdidas de “calidad” de la energía en el
fluido corresponde a la transformación de energía de movimiento en energía interna a través del
mecanismo de disipación de energía por fricción, que incluye el calor como mecanismo intermedio de
transferencia. La fricción tiene como origen la existencia de fuerzas internas en el fluido, que se oponen
a que este sea deformado y fluya, siendo la viscosidad el parámetro macroscópico que cuantifica este
comportamiento en la materia.
dS N = 2 ˆ
Q
+ + S Gen
= ∑ qS
j
dt j=1
T
( )
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(Sistema)
63
Incremento de la Entropía: Segundo Principio
El término de generación de entropía: no es descrito por la ecuación de balance, y normalmente éste se
emplea para calcularlo, en vista de la complejidad asociada en los procesos de generación de dispersión
y desorden por efectos de la fricción.
Tabla 7.2 Términos asociados al balance de entropía en para un fluido que circula por una tubería.
Término
Descripción
dS
dt
Modificación en el tiempo de la dispersión y desorden de la materia y la energía del sistema en su
totalidad. Termino de acumulación.
ˆ)
( qS
ˆ)
( qS
Incremento de la dispersión y desorden asociado a la corriente de fluido que ingresa al sistema.
1
Disminución de la dispersión y desorden asociado a la corriente de fluido que abandona el sistema.
2
Q
Modificación del grado de dispersión y desorden asociado a la transferencia de calor a través de las
paredes del sistema.
S Gen ( ≥ 0 )
Dispersión y desorden generado dentro del sistema por la existencia de irreversibilidades (calor producto
de la fricción del fluido con las paredes del tubo y consigo mismo) en la unidad de tiempo.
Obsérvese que en este análisis sólo se han considerado los cambios entrópicos que ocurren en el
sistema. Una ecuación de balance de entropía idéntica puede ser empleada para los alrededores, de
manera de verificar el cumplimiento del segundo principio.
dSSistema dSAlrededores +
= SGen
dt
dt
S Gen
Total
= S Gen
S Gen
Sistema
S Gen
Alrededores
Sistema
+ S Gen
Total
≥0
Alrededores
≥0
≥0
7.4.1 Balance de Entropía Aplicado a Sistemas de Procesos
Considérese un sistema aislado térmicamente, en el cual existe un gas ideal está almacenado, que
experimenta un proceso reversible en el intervalo de tiempo t 2 − t1 .
N
(
ˆ GI
Sistema cerrado: ∑ qS
j=1
) =0
j
Proceso reversible: S GI
Gen = 0
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=0
Proceso adiabático: Q
64
Incremento de la Entropía: Segundo Principio
dSGI
=0
dt
(Proceso isoentrópico)
GI dT − R dP = 0
dS GI = C
P
T
P
(Sistema cerrado: dn dt = 0 )
T2
dT
R P2 dP
∫ = C GI ∫ P
T1 T
P P1
dT
R dP
= GI
T CP P
T2 ⎡ P2 ⎤
=⎢ ⎥
T1 ⎣ P1 ⎦
⎡⎣Ti = T ( t i ) ; Pi = P ( t i ) ⎤⎦
γ GI −1
γ GI
(
GI = C
GI − C
GI
⎡R C
P
P
V
⎣
)
GI = 1 − 1 γ GI ⎤
C
P
⎦
Un recipiente aislado térmicamente que contiene un gas ideal está almacenado, está siendo evacuado
reversiblemente empleando una corriente de salida, en el intervalo de tiempo t 2 − t1 (ver Figura 7.10).
1
Gas ideal
Válvula
Frontera del sistema
Figura 7.10 Evacuación reversible de un recipiente aislado.
dSGI
= −q 1Sˆ 1GI
Balance de entropía para el sistema abierto no estacionario, de una salida (1):
dt
Proceso reversible: S GI
Gen = 0
=0
Proceso adiabático: Q
Balance de materia para el sistema abierto de una salida (1):
dm
= −q 1
dt
dSGI
dm
= Ŝ1GI
dt
dt
dSGI = d ⎡⎣ mSˆ GI ⎤⎦ = Sˆ GI dm + mdSˆ GI
Sˆ GI dm + mdSˆ GI
dm
= Ŝ1GI
dt
dt
ˆ GI
ˆSGI dm + m dS = Sˆ GI dm
1
dt
dt
dt
Se considera que el mezclado dentro del sistema es perfecto, i.e., el valor de cualquier propiedad en el
seno del sistema es idéntico al valor que posee el gas que abandona el sistema por la corriente 1.
Sˆ GI ( Seno del fluido ) = Sˆ 1GI ( Corriente de salida )
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Incremento de la Entropía: Segundo Principio
dSˆ GI dS GI
=
=0
dt
dt
(Proceso isoentrópico)
Un desarrollo análogo al realizado en los párrafos anteriores permite establecer la relación para las
temperaturas y presiones al comienzo y final del proceso de evacuación.
GI dT − R dP = 0
dS GI = C
P
T
P
T2 ⎡ P2 ⎤
=⎢ ⎥
T1 ⎣ P1 ⎦
γ GI −1
γ GI
⎡⎣Ti = T ( t i ) ; Pi = P ( t i ) ⎤⎦
En estado estacionario un gas ideal fluye reversiblemente a través de un sistema aislado térmicamente,
empleando una corriente de entrada (1) y una de salida (2) (ver Figura 7.11).
1
2
Gas ideal
Frontera del sistema
Figura 7.11 Flujo estacionario reversible de un gas ideal en un sistema abierto.
Balance de entropía para el sistema abierto, estacionario y aislado térmicamente, de una entrada (1) y
una salida (2).
0 = q 1Sˆ 1GI − q 2Sˆ GI
2
Proceso reversible: S GI
Gen = 0
=0
Proceso adiabático: Q
Balance de materia para el sistema abierto: 0 = q 1 − q 2
q 1 = q 2 = q
⎤
0 = q ⎡⎣Sˆ 1GI − Sˆ GI
2 ⎦
ˆ GI
∆Sˆ GI = Sˆ GI
2 − S1 = 0
(Proceso isoentrópico)
Nuevamente empleando la expresión para el cálculo de entropía de un gas ideal, se establece la relación
para las temperaturas y presiones de las corrientes de entrada y salida.
GI dT − R dP = 0
dS GI = C
P
T
P
T2 ⎡ P2 ⎤
=⎢ ⎥
T1 ⎣ P1 ⎦
γ GI −1
γ GI
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⎡⎣T1 = T ( 1 ) ; P1 = P ( 1 ) ⎤⎦
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