Clase mié 3 Nov 2010

Física 3
Unidad 11
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INDUCCIÓN MUTUA
Según la ley de Biot-Savart el módulo del campo de inducción magnética B producido por una corriente
eléctrica es directamente proporcional a la intensidad I de dicha corriente. Por ejemplo:
Para un conductor recto muy largo (L ) en un punto a una distancia r del mismo es B 
En el punto central interior de un solenoide1: B 
o I
2 r
 o NI
(N: número de espiras)
L
En el interior de una bobina toroidal de sección rectangular, en un punto a una distancia r del eje del
 NI
toroide: B  o
(N: número de espiras)
2 r


En todos los casos B  I . Por lo tanto  B   B  dS  I
Supongamos que tenemos dos circuitos independientes, no
conectados eléctricamente. En el circuito 1 hay una bobina
de N1 espiras y tiene una resistencia variable que permite
modificar el valor de la corriente i1. El circuito 2 tiene una
bobina de N2 vueltas y un galvanómetro que permite detectar
el paso de corriente i2 en ambos sentidos.
La corriente i1 produce un campo magnético B1. Algunas de
las líneas de este campo atraviesan a la bobina 2. Por lo tanto
hay un flujo “enlazado” por la bobina 2 del campo magnético
debido a la bobina 1.
21: flujo a través de una espira de la bobina 2 debido al campo B1 producido por la corriente i1 en la
bobina 1.
Este flujo 21 es proporcional a la intensidad de la corriente i1: 21 = K i1 (K: constante de
proporcionalidad)
Si la corriente i1 es variable, B1 es variable y 21 es variable. El flujo total en la bobina 2 es N2 21 y se
inducirá una f.e.m dada por la ley de Faraday:
2  
d N 2  21 
d 21
di
 N 2
 N 2 K 1
dt
dt
dt
De esta manera podemos vincular en una ecuación la variación temporal de la corriente en el circuito 1
con la f.e.m inducida en el circuito 2, sin hacer referencia a campos o flujos. El coeficiente de
proporcionalidad entre la derivada de la corriente y la f.e.m se denomina INDUCTANCIA MUTUA de
las bobinas “acopladas” 1 y 2. Es decir:
di1
dt
La inductancia mutua depende del número de espiras de la bobina 2 y de la disposición “espacial” de
ambas bobinas (De la geometría del sistema)
 2   M 21
Si el solenoide tiene núcleo de material ferromagnético el campo B depende de la permeabilidad relativa r y puede ser
dependiente de I. En estos casos la proporcionalidad entre B e I no es directa.
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Igualando las dos maneras de expresar la f.e.m, obtenemos:
d 21
di
 N2
  M 21 1
dt
dt
N 2 d 21  M 21 di1
Si la corriente en la bobina aumenta desde cero hasta un valor i1, entonces el flujo en una sola espira de la
bobina 2 se incrementa desde cero hasta un valor 21:
 21
N2
 d
0
i1
21
 M 21  di1
0
N 2   21  M 21  i1
M 21 
N 2   21
i1
Esta última fórmula expresa que el coeficiente de inductancia mutua es igual a la relación entre el flujo
TOTAL enlazado por el circuito 2 y la corriente que circula en el circuito 1.
De la misma manera el coeficiente de inductancia mutua se puede expresar como el flujo TOTAL
“enlazado” por el circuito 1 dividido por la intensidad de la corriente en el circuito 2:
M 12 
N1   12
i2
Se puede demostrar que M 12  M 21  M
AUTOINDUCTANCIA
En un circuito único también se presenta el fenómeno de inducción electromagnética si la corriente es
variable. Supongamos una bobina por la cual circula una
corriente i variable. En cierto lapso de tiempo la corriente se
incrementa en i. Esta variación temporal de la corriente
provoca una variación en el campo de inducción magnética B.
Entonces se induce entre los puntos a y b una f.e.m que se
opone a la causa que la generó (Ley de Lenz). Es decir esta
f.e.m inducida “tratará de impedir” ese aumento de la
corriente. Es decir la f.e.m inducida, en este caso, verificará la
relación:
  Va  Vb  0
Este razonamiento se puede repetir para una corriente que
disminuye en el tiempo. En este caso la f.e.m “tratará de
impedir” la disminución de i. Ahora:
  Va  Vb  0 o   Vb  Va  0
Omitiremos las deducciones matemáticas porque son muy
similares a las realizadas en la determinación de la inductancia
mutua. El coeficiente de auto inductancia L se define de
manera tal que se verifique la siguiente relación:
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  L
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di
dt
Se puede demostrar que
N
i
En esta expresión N es el número de espiras de la bobina y  es el flujo “enlazado” por una sola espira.
L
CIRCUITO RL CON F.E.M
Consideremos un circuito con una fuente de f.e.m constante, como una batería, y una bobina. Esta bobina
está caracterizada por cierta auto inductancia L. La resistencia del circuito está representada por R:
resistencia interna de la batería, de los cables de conexión, del cableado de la bobina y si lo hay, de un
resistor en serie con la bobina.
Como es habitual, es preferible idealizar el circuito. Considerar a la batería ideal (sin resistencia interna),
a la bobina ideal (tiene inductancia pero no resistencia) y R es la resistencia de un resistor colocado en
serie.
En el estado inicial la llave está abierta y no circula corriente por el circuito. Por lo tanto no existe campo
magnético. En el instante to = 0 se cierra la llave. La corriente que era nula comienza a aumentar.
di
 0 . En la bobina aparece una f.e.m inducida
Entonces
dt
que se opone a la variación de la corriente. Como este
incremento de la corriente tiene el mismo sentido que la
corriente, la f.e.m tendrá un sentido tal que
 IND  Vb  Vc  0 .
Aplicando la 2ª ley de Kirchhoff obtenemos:
di
0
dt
di
  iR  L
dt
Antes de proceder “mecánicamente” a resolver esta ecuación diferencial, vamos a hacer un análisis físico
conceptual. Para eso despejamos la derivada:
  iR  L
di   iR  R

  i
dt
L
L L
di 
 . Por lo tanto la rapidez con que crece i es directamente proporcional a la
dt L
f.e.m de la batería e inversamente proporcional a la inductancia L de la bobina. Es decir cuanto mayor sea
la inductancia, más lento será el aumento de i. Es decir L se comporta como una “resistencia” al cambio
de i (Como en mecánica la inercia se comporta como una “resistencia” al cambio de la velocidad)
En to = 0, i = 0, entonces
di
. Es decir la corriente crece pero
dt
cada vez lo hace más lentamente. Llegará un instante en que i no crezca más. En este caso i = I = CTE.
A medida que i aumenta, disminuye   iR . Por lo tanto disminuye la
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En ese instante
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di
 R
 0 y por lo tanto  I  0 . Entonces la corriente final constante cuando se llega al
dt
L L
estado estacionario es I 

. La corriente en el estado estacionario está dada por la ley de Ohm. Si I no
R
varía, tampoco lo hace el campo de inducción magnética B y el B será constante. Ya no hay f.e.m
inducida en la bobina. La bobina se comporta como un cortocircuito, como un tramo de resistencia nula.
La resolución de la ecuación diferencial, nos debe conducir a encontrar una función i = i(t) tal que cumpla
con las propiedades que hemos descripto:
di   iR  R

  i
dt
L
L L
i
t
di
i 0  R  0 dt
 i
L L
i
t
di
R


dt
0 i  
L 0
R
i
R
ln(i   )   t
R 0
L
i  
R Rt
ln
L
   
R 



Despejando i en función del tiempo obtenemos: i 
i
 
1 e
R 

t


 Rt
1  e L  que se puede escribir en la forma:
R


 donde   L es el tiempo característico.

R

ENERGÍA ALMACENADA EN EL CAMPO MAGNÉTICO DE UN BOBINA
Volvamos al planteo de la 2da ley de Kirchhoff. Si multiplicamos toda la ecuación por la intensidad de
corriente i, obtenemos tres términos cuyas unidades son energía/tiempo, es decir, “potencias”:
di
  iR  L  0
dt
di
i  i 2 R  iL
dt
El primer miembro contiene el término que representa la potencia suministrada por la batería. Es decir el
trabajo por unidad de tiempo para mover las cargas por el circuito.
El 1er término del 2do miembro es la energía disipada por unidad de tiempo en forma de calor en el
resistor.
El 2do término es la energía almacenada por unidad de tiempo en el campo magnético de la bobina. A
partir de esta expresión se puede hallar por integración la energía almacenada en la bobina (en su campo
B) cuando la intensidad de la corriente se incrementa desde 0 hasta el valor final de estado estacionario I.
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dU B
di
 iL
dt
dt
dU B  Lidi
UB 
1 2
LI
2
CIRCUITO LC SIN F.E.M
Conectamos un capacitor cargado con una bobina de inductancia L.
En el caso ideal supondremos que la resistencia del circuito es
despreciable. En to = 0 no hay corriente en el circuito, pero hay una
d.d.p entre las placas del capacitor. Al cerrar la llave, esta misma
d.d.p aparece entre los extremos de la bobina. El capacitor se
descarga porque sus placas quedan conectadas entre sí. Por lo tanto
circula corriente en el sentido indicado y dicha corriente…¿debe ir
disminuyendo a medida que pasa el tiempo, ya que la d.d.p decrece
ya que el capacitor va perdiendo su carga? Si es así, la f.e.m
inducida tratará de impedir esta disminución…Entonces, ¿tendrá el
mismo sentido que la corriente y ésta comenzará a aumentar? Pero si inicialmente no hay corriente y se
cierra el circuito, hay una i distinta de cero. Entonces i aumentó…Entonces la f.e.m inducida inicialmente
debe oponerse…
Vamos analizar el comportamiento de este circuito en términos de energía…Las energías almacenadas en
el campo eléctrico del capacitor y en el campo magnético de la bobina son respectivamente:
1 q2
1
UC 
U L  Li 2
2 C
2
En el instante inicial to = 0, q = qo e i = 0. Se cierra la llave, q disminuye y por lo tanto la energía U C
disminuye. Pero i pasa de valer cero a tener un valor i, por lo tanto aumenta. La UL comienza a aumentar.
Como estamos suponiendo un circuito ideal en el que R= 0, el circuito no disipa energía. Podemos
suponer que la suma de la energía en el capacitor y la energía en la bobina permanece constante.
U C  U L  CTE
d
U C  U L   0
dt
d  1 q2 1 2 

 Li   0
dt  2 C 2

q
C
q
C
dq
di
 Li  0
dt
dt
dq
dq di
L
0
dt
dt dt
di
1
L  q
dt
C
2
d q
1

q
2
LC
dt
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Hemos llegado a una ecuación diferencial en la cual la incógnita es la carga en el capacitor en función del
tiempo. La solución debe ser una función tal que si la derivamos dos veces debe dar la misma función
1
multiplicada por 
.
LC
Dicho de otra manera la función q(t) derivada dos veces debe dar una constante multiplicada por  q(t).
Dos funciones muy conocidas satisfacen esta condición: el seno y el coseno.
Probemos con q(t )  qo cos t 
De esta manera se cumple que para t = 0, q(0)  qo
La constante  en el argumento de la función debe satisfacer dos condiciones. Debe tener unidades seg1
y además tener un valor tal que  T  2 , donde T es el período de la función.
q(t )  q o cos t 
dq
 q o  sen( t )
dt
d 2q
 q o  2 cos( t )   2 q o cos( t )   2 q(t )
2
dt
Con esto hemos probado que la expresión propuesta satisface la ecuación diferencial y además que la
constante  depende de los valores que caracterizan el circuito L y C, ya que si comparamos, obtenemos:
1
2 
LC
1

LC
T  2 LC
Entonces un circuito LC con resistencia nula (ideal) constituye un circuito oscilante. La carga en el
capacitor aumentará, disminuirá y cambiarán de signos las placas periódicamente. La corriente tendrá un
sentido y luego cambiará al sentido opuesto. La energía en el capacitor disminuirá hasta hacerse cero
mientras que la energía en el campo B aumentará desde cero hasta un valor igual a la energía inicial en el
campo eléctrico E.
Este sistema se comporta en forma análoga a un sistema masa resorte ideal (sin rozamiento). El resorte es
análogo al capacitor y la inductancia es la inercia (la masa). La compresión o el estiramiento del resorte,
es decir el desplazamiento x juega el papel de la carga. La corriente es la derivada de la carga respecto al
tiempo. Entonces en el modelo mecánico sería la velocidad.