Concepto de División

Concepto de División
La primer noción que tenemos de división es la de "rebanadas de pastel" de la primaria. Esta noción
puede ser útil la primera vez en la vida que tratamos de fijar la idea de la división. Sin embargo esta definición
de repartir rebanadas de un pastel está muy limitada y dejará de ser correcta en cuanto aparezca la noción de
un número irracional.
Para recordar: Un número irracional es aquel que no se puede expresar de la forma fraccionaria p/q
siendo p y q números enteros y q distinto de cero¹. Ejemplos de números irracionales son π y  2 .
La idea de rebanadas de pastel aplica cuando hablamos por ejemplo de "9 rebanadas de pastel", "5
rebanadas de pastel", ¿pero qué pasa cuándo hablamos de "π rebanadas de pastel" o de ''  2 rebanadas de
pastel"? Nosotros podemos dividir un número por π o por  2 sin embargo no podemos hacer "π rebanadas de
pastel". ¡Entonces la idea de rebanadas de pastel como definición de división ha fracasado!
Para poder hacer una definición matemática formal y correcta de lo que significa dividir vamos a
recurrir a una operación bien definida que es la multiplicación. Diremos que vamos a dividir al número "m"
por el número "n" (con n distinto de cero)¹ siempre que multipliquemos "m" por el número "1/n". ¿Pero cómo
definimos el número "1/n" si apenas estamos definiendo lo qué es la división?
Vamos a definir al número "1/n" como el único número con la propiedad de que si multiplicamos "n"
por "1/n" el resultado es uno. Es decir "1/n" es el único número que cumple que n∙(1/n)=1 (con n distinto de
cero). Por ejemplo si n=3, entonces 1/3 es el único número que cuando multiplicamos por 3 nos da como
resultado 1. Si n=2, 1/2=0.5 es el único número que multiplicado por 2 nos da como resultado 1.
Un mal entendimiento del concepto división es el de “pasar a dividir un número del otro lado”. Este
concepto lo vemos muy a menudo representado con el siguiente diagrama: a ∙ n= x → a= x / n el cual después
de verlo y escuchar “...entonces n pasa a dividir del otro lado” nos deja la impresión de que los números son
como un objeto físico que poseen una propiedad de movimiento y que en este caso la n del lado izquierdo de
la igualdad se movió debajo de la x. Tener esta idea corre el riesgo de que intentemos dividir por cero ¹, pues
si dividir consiste en mover un número hacia abajo de otro un estudiante primerizo puede preguntarse, por qué
no mover así al cero e intentar con esto “dividir por cero”.
En realidad mucha de la confusión en el diagrama ocurre porque éste no está completo. Si tenemos
a ∙ n= x y queremos eliminar n del lado izquierdo de la igualdad, es decir dividir por n (pasar a dividir)
debemos multiplicar por el único número 1/n que hace que n valga 1. Por lo tanto el diagrama completo
quedaría de la siguiente manera:
a ∙ n= x → a ∙ n∙1/ n= x ∙ 1/n → a ∙ n∙ 1/ n= x ∙ 1/n → a ∙1= x ∙1/n →
a= x ∙ 1/n → a= x /n .
Héctor Juárez
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¹ Consultar en las notas de álgebra la demostración de que no podemos dividir por cero (Proposición II).