Antes de empezar, considere un ejemplo simple de presión y fuerza

6.9 Presión y fuerza del fluido 363
Antes de empezar, considere un ejemplo simple de presión y fuerza de una placa sumergida horizontalmente.
h2
h
h1
A
sobre una placa vertical
la presión varía de la
parte superior al fondo
F 5 Ah
a) Placa horizontal
b) Placa vertical
FIGURA 6.9.1 La presión y la fuerza del fluido son constantes sobre una placa sumergida horizontalmente,
pero la presión y la fuerza del fluido varían con la profundidad en una placa sumergida verticalmente
EJEMPLO 1
Presión y fuerza
Una placa rectangular plana de 5 pies * 6 pies se sumerge horizontalmente en agua a una profundidad de 10 pies. Determine la presión y la fuerza ejercidas sobre la placa por el agua arriba de ésta.
Solución Recuerde que el peso específico del agua es 62.4 lb/pie3. Así, por (2) la presión del
fluido es
P rh (62.4 lb/pie3) . (10 pies) 624 lb/pie2.
Puesto que el área superficial de la placa es A = 30 pies2, por (3) se concluye que la fuerza del
fluido sobre la placa es
F PA (rh)A (624 lb/pie 2) . (30 pies2) 18 720 lb.
10 pies
Para determinar la fuerza total F ejercida por un fluido sobre un lado de una superficie plana
sumergida verticalmente, se emplea una forma del principio de Pascal:
• La presión ejercida por un fluido a una profundidad h es la misma en todas direcciones.
Entonces, si en un gran contenedor con fondo plano y paredes verticales se vierte agua hasta una
profundidad de 10 pies, la presión de 624 lb/pie2 en el fondo se ejerce de la misma forma sobre
las paredes. Vea la FIGURA 6.9.2.
Construcción de una integral Considere que el eje x positivo está dirigido hacia abajo con el
origen en la superficie del fluido. Suponga que una placa plana vertical, limitada por las rectas
horizontales x = a y x = b, se sumerge en el fluido como se muestra en la FIGURA 6.9.3a). Sea w(x)
una función que denota el ancho de la placa en cualquier número x en [a, b] y sea P cualquier
partición del intervalo. Si x*k es un punto muestra en el k-ésimo subintervalo [xk21, xk ], entonces
por (3) con las identificaciones h 5 x*k y A 5 w (x*k ) ¢xk, la fuerza Fk ejercida por el fluido sobre
el elemento rectangular correspondiente es aproximada por
Fk 5 r . x*k . w (x*k ) ¢xk,
FIGURA 6.9.2 Una presión de
640 lb/pie2 se aplica en todas
direcciones
Superficie
y
a
x
w(x)
b
x
donde, como antes, r denota el peso específico del fluido. Así, una aproximación a la fuerza del
fluido sobre un lado de la placa está dada por la suma de Riemann
n
a)
Superficie
n
a Fk 5 a rx*k w (x*k ) ¢xk.
k51
k51
x*k a
Esto sugiere que la fuerza total del fluido sobre la placa es
n
F
lím a rx*k w(x*k ) ¢xk.
7P7 S0
b
1
k
b)
Sea r el peso específico de un fluido y sea w(x) una función continua sobre [a, b] que describe el ancho de una placa plana sumergida verticalmente a una profundidad x. La fuerza F ejercida por el fluido sobre un lado de la placa sumergida es
b
rx w (x) dx.
F
a
w(x*k )
x
Definición 6.9.1 Fuerza ejercida por un fluido
(4)
y
Dxk 5 xk 2 xk 2 1
FIGURA 6.9.3 Placa vertical
sumergida con ancho variable
w(x) sobre [a, b]
CAPÍTULO 6 Aplicaciones de la integral
364
EJEMPLO 2
Fuerza de un fluido
Una placa en forma de triángulo isósceles de 3 pies de altura y 4 pies de ancho se sumerge verticalmente en agua, con la base hacia abajo, hasta que la base queda a 5 pies por debajo de la
superficie. Encuentre la fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa.
superficie
y
(2, 0)
x*k
Dxk
Solución Por conveniencia, el eje x positivo se coloca a lo largo del eje de simetría de la placa
triangular con el origen en la superficie del agua. Como se indica en la FIGURA 6.9.4, el intervalo
[2, 5] se parte en n subintervalos [xk21, xk ] , y en cada subintervalo se escoge un punto x*k . Puesto
que la ecuación de la línea recta que contiene a los puntos (2, 0) y (5, 2) es y 5 23 x 2 43, por simetría se concluye que el ancho del elemento rectangular, mostrado en rojo en la figura 6.9.4, es
4
2
2y*k 5 2 Q x*k 2 R.
3
3
3
x*k
(5, 22)
(5, 0)
2
Luego, r = 62.4 lb/pie3, de modo que la fuerza del fluido sobre esa porción de la placa que
corresponde al k-ésimo subintervalo es aproximada por
(5, 2)
x
4
2
Fk 5 (62.4) . x*k . 2 Q x*k 2 R ¢xk.
3
3
FIGURA 6.9.4 Placa triangular
en el ejemplo 2
Al formar la suma g k 5 1 Fk y tomar el límite cuando 7 P 7 S 0 obtenemos
n
5
F
2
2
(62.4)2x Q x
3
(62.4)
4
3
4
R dx
3
5
(x 2
2x) dx
2
5
1
83.2 Q x3 x 2 R d
3
2
(83.2) . 18 1 497.6 lb.
En problemas como el ejemplo 2, los ejes x y y se colocan donde convenga. Si el eje y se
coloca perpendicular al eje x en la parte superior de la placa en el punto (2, 0), entonces los cuatro puntos (2, 0), (5, -2), (5, 0) y (5, 2) en la figura 6.9.4 se vuelven (0, 0), (3, -2), (3, 0) y
(3, 2), respectivamente. La ecuación de la línea recta que contiene a los puntos (0, 0) y (3, 2) es
y 5 23 x. Usted debe comprobar que la fuerza F ejercida por el agua contra la placa está dada por
la integral definida
F 5 (62.4)
4
3
3
# x(x 1 2) dx.
0
EJEMPLO 3 Fuerza del agua contra una presa
Una presa tiene una cara rectangular vertical. Encuentre la fuerza ejercida por el agua contra la
cara vertical de la presa si la profundidad del agua es h pies y su ancho mide l pies. Vea la FIGURA 6.9.5a).
h
Solución Para variar, el eje x positivo apunta hacia arriba desde el fondo de la cara rectangular de la presa, como se muestra en la figura 6.9.5b). Luego, el intervalo [0, h] se divide en n
subintervalos. Al eliminar uno de los subíndices, la fuerza Fk del fluido contra esa porción rectangular de la placa que corresponde al k-ésimo subintervalo, mostrado en rojo claro en la figura 6.9.5b), es aproximada por
agua
presa
a) Vista lateral de la presa y el agua
x
Fk 5 (62.4) . (h 2 x) . (l ¢x).
presa
h–x
h
Dx
x
agua
l
b) Agua contra la cara de la presa
FIGURA 6.9.5 Presa en el
ejemplo 3
Aquí la profundidad es h – x y el área del elemento rectangular es l ¢x. Al sumar estas aproximaciones y tomar el límite cuando 7 P7 S 0 se llega a
h
y
F5
# 62.4 l (h 2 x) dx 5 21 (62.4)lh .
2
0
En el ejemplo 3, si, por ejemplo, la profundidad del agua es 100 pies y su ancho mide
300 pies, entonces la fuerza del fluido sobre la cara de la presa es 93 600 000 lb.
6.9 Presión y fuerza del fluido 365
Ejercicios 6.9
Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la página RES-21.
Fundamentos
1. Considere los tanques con fondos circulares que se muestran en la FIGURA 6.9.6. Cada tanque está lleno de agua cuyo
peso específico es 62.4 lb/pie3. Encuentre la presión y la
fuerza ejercidas por el agua sobre el fondo de cada tanque.
20 pies
20 pies
20 pies
con el vértice a 1 pie por abajo de la superficie del agua.
Encuentre la fuerza ejercida por el agua sobre un lado de
la placa.
5. Encuentre la fuerza sobre un lado de la placa en el problema 4 si la placa está suspendida con la base hacia arriba a 1 pie por abajo de la superficie del agua.
6. Una placa triangular se sumerge verticalmente en agua
como se muestra en la FIGURA 6.9.9. Encuentre la fuerza
ejercida por el agua sobre un lado de la placa.
superficie
y
2 pies
5
2 pies
pies
b)
a)
FIGURA 6.9.6 Tanques en el problema 1
10 pies
(2, 23)
(2, 1)
c)
2. El buque tanque mostrado en la FIGURA 6.9.7 tiene fondo
plano y está lleno de petróleo cuyo peso específico es
55 lb/pie3. El buque mide 350 pies de largo.
a) ¿Cuál es la presión que ejerce el petróleo sobre el
fondo del buque?
b) ¿Cuál es la presión que ejerce el agua sobre el fondo
del buque?
c) ¿Cuál es la fuerza que ejerce el petróleo sobre el
fondo del buque?
d) ¿Cuál es la fuerza que ejerce el agua sobre el fondo
del buque?
96 pies
Agua
Petróleo
85 pies
125 pies
(4, 0)
x
FIGURA 6.9.9 Placa triangular en el problema 6
7. Suponga que el eje x positivo es hacia abajo y que una placa
acotada por la parábola x 5 y 2 y la recta x = 4 se sumerge
verticalmente en aceite cuyo peso específico es 50 lb/pie3.
Si el vértice de la parábola está en la superficie, encuentre
la fuerza ejercida por el aceite sobre un lado de la placa.
8. Suponga que el eje x positivo es hacia abajo, y que una
placa acotada por la parábola x 5 y 2 y la recta y = -x + 2
se sumerge verticalmente en agua. Si el vértice de la
parábola está en la superficie, encuentre la fuerza ejercida por el aceite sobre un lado de la placa.
9. Un canalón lleno de agua tiene extremos verticales en
forma de trapezoide como se muestra en la FIGURA 6.9.10.
Encuentre la fuerza ejercida por el agua sobre un lado del
canalón.
10 pies
FIGURA 6.9.7 Buque tanque en el problema 2
3. Las dimensiones de una piscina rectangular en forma de
paralelepípedo rectangular son 30 pies * 15 pies * 9 pies.
a) Si la piscina está llena de agua hasta una profundidad
de 8 pies, encuentre la presión y la fuerza ejercidas
sobre el fondo plano de la piscina. Vea la FIGURA 6.9.8.
b) Encuentre la fuerza ejercida por el agua sobre una de
las paredes verticales de la piscina, así como sobre un
lado vertical.
30 pies
4 pies
2 pies
6 pies
2 pies
FIGURA 6.9.10 Canalón de agua en el problema 9
10. Un canalón lleno de agua tiene extremos en la forma que
se muestra en la FIGURA 6.9.11. Encuentre la fuerza ejercida
por el agua sobre un lado del canalón.
2
pies
Superficie
9
pies 8 pies
15 pies
Cara lateral
Extremo
FIGURA 6.9.8 Piscina en el problema 3
4. Una placa en forma de triángulo equilátero de 13 pie por
lado se sumerge verticalmente, con la base hacia abajo,
2 pies
2 pies
FIGURA 6.9.11 Canalón de agua en el problema 10