Fundamentos Teóricos para el Cálculo y la Simulación del Sistema

Fundamentos Teóricos para el Cálculo y
la Simulación del Sistema de Bombeo
Solar de Agua
Diaz, Narciso (1); Aramburu, V.(1); Iriarte, A.(2); Saravia, L.(3)
1: Facultad de Cs. Exactas y Naturales Universidad Nacional de
Catamarca, Avda. Belgrano 300 [email protected]
Resumen
En este trabajo se analiza la teoría y se realizan aproximaciones
para adaptar esa teoría a los cálculos de las variables involucradas
en el proceso de bombeo solar de agua, a fin de establecer las bases
para la formulación de un modelo que pueda probarse
experimentalmente. Se realizan los cálculos preliminares del
tiempo requerido para lograr la presión mínima necesaria en la
caldera para alcanzar la altura de bombeo. Se comparan los valores
obtenidos con los resultados logrados en la experimentación.
Palabras clave: Energía solar; Bombeo de agua; Simulación.
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del Sistema de Bombeo Solar de Agua
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N. Diaz; V. Aramburu; A. Iriarte; L. Saravia
Theoretical Foundations for the Calculation
and the Simulation of the System of Solar
Water Pumping
Abstrac
In this work it is analized the theory and approaches are
made to adapt that theory to the calculations of the variables
involved in the process of solar water pumping, in order to
establish the bases for formulate a model that can be
experimentally tested The preliminary calculations of the
required time are made to obtain the minimum necessary
pressure in the boiler to reach the height of pumping. Values
are compared with the results obtained in experimentation.
Key words: Solar energy; Water pumping; Simulation.
Introducción
Si bien existen numerosos sistemas de bombeo por
energía solar (1) , eólica (4) , etc, los de energía solar se trata, en
general, de sistemas eléctricos que funcionan mediante células
fotovoltaicas (2) conectadas a un sistema de almacenamiento de
energía para su posterior utilización. El sistema (7)(8) del que
estamos hablando aquí, que se esquematiza en la Figura 1, es un
sistema de bombeo por energía solar pero netamente térmico, de
los que hay pocos antecedentes (3) y menos aún de una simulación
de los mismos.
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Como un primer paso en la simulación del sistema de
bombeo, se realiza un cálculo de la presión de vapor alcanzada en
la
caldera,
a
partir
de
la
energía
colectada
mediante
el
concentrador, tomando un valor de radiación promedio en el
tiempo durante el cual se realizaron los ensayos.
Para una primera aproximación se considera que la
mezcla el vapor-aire en el sistema en estudio se comporta como un
gas ideal. Para los cálculos se usa la ecuación de Clausius y
Clapeyron basada en la termodinámica clásica.
El cálculo propuesto se considera adecuado como un
primer paso en la simulación del sistema, ya que la comparación
con los resultados experimentales es bastante buena.
Se debe considerar además que con esto es posible
también realizar alguna estimación de las dimensiones límites de
los componentes del sistema, como por ejemplo el tamaño de la
caldera y/o de la bomba, a fin de mantener una performance
adecuada.
En el presente trabajo se describe la teoría utilizada y
las aproximaciones realizadas para los cálculos, que luego se
comparan con los resultados experimentales.
Metodología
Vamos a Suponer que una cantidad de calor Q = Li
convierte un mol de líquido en un mol de vapor sin cambio de
volumen, y además que el vapor se comporta como un gas ideal,
tendremos la relación
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L = Li + R ⋅ T = Q
(1)
Si consideramos que la función de distribución de
Boltzmann se aplica al mecanismo de la evaporación (5)
⎛−L ⎞
nv = nl exp⎜ i ⎟
⎝ RT ⎠
(2)
Donde n v y n l son el número de moles en la unidad de volumen en
el vapor y en el líquido, respectivamente a la temperatura
absoluta T, y L i es el valor medio por mol de sustancia de la
diferencia entre la energía potencial de las moléculas en su fase de
vapor y en su fase líquida.
De la ecuación (2), y suponiendo que n l es independiente
de T llegamos a
d (ln nv )
L
= i2
dT
RT
(3)
De donde obtenemos la ecuación de Clausius-Clapeyron(6)
d (ln Pv ) Li + RT
L
=
=
2
dT
RT
RT 2
(4)
Esta es la ecuación que da la pendiente de la curva, en el
diagrama P-T, de coexistencia de las fases líquida y de vapor en
equilibrio.
El calor latente L varía con la temperatura T, pero acá
vamos
a
suponerlo
constante
en
un
intervalo
dado
temperaturas. Con esta consideración podemos obtener
ln Pv = −
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L⎛1⎞
⎜ ⎟+C
R ⎝T ⎠
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(5)
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de
Valiéndonos de esta ecuación, tomaremos un par de
valores y planteando 2 ecuaciones (para diferentes temperaturas)
podemos eliminar la constante C. Así:
⎛P ⎞
L⎛ 1 1 ⎞
ln⎜⎜ v 2 ⎟⎟ = − ⎜⎜ − ⎟⎟
R ⎝ T2 T1 ⎠
⎝ Pv1 ⎠
(6)
Esto considerando el calor latente de vaporización
constante.
Para el cálculo de la presión en el ensayo con la caldera
solamente, tomaremos una radiación promedio constante de 850
W/m 2 y consideramos un área de colección del concentrador de
2,164 m 2 , y tomando 24 minutos, que es el tiempo de exposición
hasta que llegó a los 8,5 Kg/cm 2 , la energía total colectada fue:
Qc = 850
J
∗ 2,1642m 2 ∗ 1440s = 2.648.980,8 J
2
m s
(7)
Ahora considerando la eficiencia global del sistema
concentrador-caldera
de
35%
(la
medición
de
la
eficiencia
aproximada con la serpentina de aluminio fue de 34,6%), el calor
útil
Qu = 0,35 ∗ Qc = 927.143,28 J
(8)
Se trabajó con 1,5 litros de agua en la caldera, entonces
se calcula la temperatura final de la misma, tomando como Temp.
inicial 23°C
tf =
Qu
+ ti =
mC p
927.143,28 J
+ 23°C = 170,66°C = 443,66° K
J
1,5 Kg 4.186
Kg °C
(9)
Para aplicar la ecuación de Clausius-Clapeyron, tomamos
L 100°C = 540 Cal/g = 2259,36 J/g,
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y considerando que la masa molar del agua es 18 g
L 100°C = 2259,36 J/g * 18= 40.668,48 J/mol
y tomamos
P v1 = 1000g/cm 2 con T 1 =373°K
⎛P
ln⎜⎜ v 2
⎝ Pv1
J
40.668,48
⎞
⎞
⎛
L 1 1
1
1 ⎞
mol ⎛⎜
⎟⎟ = − ⎜⎜ − ⎟⎟ =
−
⎟ = 2,087 (10)
J
R
T
T
443
,
66
°
K
373
°
K
⎝
⎠
1 ⎠
⎝ 2
⎠
8,32
mol ° K
⇒ Pv 2 = Pv1 ∗ e 2, 087 = 1000
g
Kg
∗ 8,062 ≅ 8,06 2
2
cm
cm
(11)
Esto es el principio de cálculo, para mejorarlo tomaremos
el
calor
latente
de
vaporización
correspondiente
a
las
2
temperaturas del agua
Para resolver el paso que sigue, es decir resolver el
sistema cuando hay cambio de volumen, o sea cuando W ≠ 0, vamos
a realizar las siguientes consideraciones
Manguera
Concentrador
Tanque
Caldera
Bomba
Figura 1. Sistema de Trabajo
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El sistema gana energía desde el colector y con ello
aumenta
su
presión
y
temperatura
a
volumen
constante .
Consideraremos como volumen inicial el de la caldera, mezcla de
aire y vapor de agua. La misma se encuentra conectada a la
bomba. Hay una cámara de aire entre el pistón y la tapa de la
bomba, a lo que se suma el aire de la manguera que permite el
paso de vapor desde la caldera.
Posteriormente consideramos que el sistema realiza una
expansión isotérmica, es decir a T constante. Allí debemos
contabilizar el volumen de la columna de agua que asciende por la
manguera de bombeo. Se cumple que
PiVi = Pf V f
⇒
Pf =
PiVi
Vf
(12)
(13)
Pero la P f es la dada por la altura de la columna de agua
en la manguera de bombeo, es decir
PiVi
= ρ ⋅g ⋅h
Vf
(14)
PiVi
Vf ρ ⋅ g
(15)
⇒
h=
Siendo h la altura de la columna de agua en la manguera
de bombeo, ρ la densidad del agua (a temperatura ambiente) y g la
constante gravitatoria. P i es la presión total a la temperatura
alcanzada T. Esto permite calcular el tiempo que demora el agua
en alcanzar la altura h en la manguera de bombeo, es decir el
tiempo que demora en comenzar a bombear, desde que se
comienza a colectar radiación.
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Para ello se elaboraron planillas de cálculo para cada
altura de bombeo, que a modo de ilustración se muestran en la
Figura 2 y la Figura 3, que corresponden a una altura de bombeo
de 10m
Cálculo con la Ecuación Claussius Clapeyron
Datos
Dimensión Bomba
Alto
Qcolectado
Qutil
37,10 cm
Diámetro
Volumen
37,00 cm
39.890,29 cm3
3.878.280,00 Julios
1.318.615,20 Julios
Cálculo de la temperatura que alcanza el agua
Area Colección Radiación
2,16 m2
Radiación Promedio
Eficiencia de Colección
Tiempo de Colección
t f=(Q/m*Cp)+ t i
tf =
166,18 °C
875,00 W/m2
34,00 %
34,20 minutos
Masa de Agua enCaldera
2,20 Kg
Cp
K (Cte Gases)
Temp.Inicial Agua Caldera
Lagua100°C
2.257,00
Pv1
Lagua166°C
2.064,00
4.186,00
8,32
23
40626
1.000,00
37152
Cálculo de la Presión de Vapor en Caldera
J/Kg°C
J/mol°K
°C
J/mol
g/cm2
ln(Pv2/Pv1)=
2,92
Pv2=
18,61 Kg/cm2
Figura 2: Diagrama de la Planilla de Cálculo con la Ecuación de
Claussius Clapleyron
Expansión Isotérmica
VolinicialCaldera
800,00 cm3
VolAireManguera
132,6 cm3
2m de longitud
VolAireBomba
2150,42 cm3
Altura que Alcanza la columna de agua
2 cm altura
VolTotalInicial
2283,02 cm3
Pf= Pi*Vi/Vf
Pf
1,00 Kg/cm2
AlturaMangBombeo
IncremVolAireVapor
VolTotalAireVapor
ρAgua
g
h= Pi*Vi / Vf*ρ*g
10 m
12667,69 cm3
14950,71 cm3
h=
9,99 m
997 Kg/m3
9,8 m/s2
Figura 3: Diagrama de la Planilla de Cálculo de la Expansión
Isotérmica
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Se debió iterar, ya que se calcula primero la temperatura
final del agua en caldera y a partir de allí se saca de tabla el calor
latente de vaporización a esa temperatura, con el tiempo de
colección de la radiación fijado inicialmente. Se verifica luego si el
cálculo teórico de h es igual a la altura de bombeo (a partir de la
que se calcula el volumen final en la expansión). Si no coinciden
los valores se varía el tiempo de colección, lo que hace variar la
temperatura final en caldera y por lo tanto el calor latente de
vaporización. Se tomaron como valores de radiación directa los
promedios medidos en los ensayos.
Discusión
Al realizar una comparación de los valores obtenidos en
el cálculo con los valores de la experimentación, se observa una
excelente concordancia, considerando la gran sensibilidad de los
resultados teóricos con las variables intervinientes, como por
ejemplo con el nivel de radiación o el tiempo de colección.
Resultados
Una
contrastación
de
los
valores
obtenidos
en
la
experimentación y los obtenidos mediante los cálculos teóricos
propuestos, se observa en la Tabla 1.
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Experimentales
Cálculos Teóricos
Altura
(m)
Tiempo
(minutos)
Radiación
Promedio
(W/m2)
Temperatura
Agua en Caldera
(°C)
Tiempo
(minutos)
3
18
858
117,42
23
5
25
815
136,09
29
7
30
847
150,26
31,4
10
33
875
166,18
34,2
Tabla 1: Comparación de los Valores Experimentales con los Teóricos
Adicionalmente
se
realizo
un
cálculo
variando
el
diámetro de la bomba de 37 cm a 100 cm, para una altura de
bombeo de 10 m, manteniendo igual los otros valores, y se obtuvo
para el tiempo necesario en alcanzar la altura, 42,20 minutos.
Conclusiones
A partir de los resultados obtenidos, es viable la
utilización del cálculo teórico para predecir los valores de tiempo
necesarios para alcanzar las diferentes alturas de la columna de
agua para bombeo, a partir de un determinado nivel de radiación,
así como la posibilidad de utilizar un tamaño de bomba diferente,
pudiendo con ello establecer algún límite en cuanto a sus
dimensiones.
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En una segunda etapa se podrá extender el cálculo para
estimar el tiempo requerido para el bombeo de una determinada
cantidad de agua, en las respectivas alturas
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del Sistema de Bombeo Solar de Agua
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