Tema 1

Profesores
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de E. Secundaria MATEMATICAS
Tema 1.1
Tema 1
Lógica proposicional. Proposiciones. Cuanti cadores. Métodos de demostración.
Aplicación en otros campos del conocimiento. Evolución histórica.
GUIÓN-ÍNDICE
1. Lógica proposicional
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Proposiciones
Negación de proposiciones
Tablas de verdad
Tautología y contradicción
Álgebra de Boole de las proposiciones
2. Cuanti cadores
2.1. Funciones proposicionales
2.2. Cuanti cadores
2.3. Funciones proposicionales de varias variables
3. Razonamiento matemático
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
Teoría matemática
Verdad y validez
Razonamiento lógico
Métodos matemáticos de demostración
4. Aplicación en otros campos del conocimiento
5. Evolución histórica
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1.2
Profesores de E. Secundaria MATEMATICAS
BIBLIOGRAFÍA
M ARTÍNEZ F REIRE , P. Lógica matemática. Editorial Biblioteca Matemática. Madrid, 1975.
Este libro es un estudio de la teoría de las proposiciones.
VARGA , T. Elementos de Lógica Matemática. Editorial Teide. Barcelona, 1975.
Es un estudio de la teoría de las proposiciones, en las que se ve una relación con la teoría de los circuitos.
L AKATOS , I. Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático. Alianza Universidad.
Madrid, 1986.
Texto escrito en forma de diálogo entre un profesor y sus alumnos en el que se pueden encontrar muchos
ejemplos matemáticos sobre la demostración. Es en esencia una negación del método deductivo para la
elaboración de conocimientos matemáticos. Recoge la mayoría de los conceptos que se tratan en este tema.
K LINE , M. Matemáticas. La pérdida de la certidumbre. Siglo Veintiuno. Madrid, 1985.
En la primera parte, el texto recoge un estudio sobre la evolución de los principales resultados matemáticos. Después y siguiendo el transcurso de la historia analiza la aparición de las paradojas y la crisis que
esto supuso para las matemáticas. Describe los fundamentos y las críticas de cada una de las distintas escuelas matemáticas de principios de siglo, y a continuación explica los resultados de los últimos años en
cuanto a lo relacionado con la fundamentación de las matemáticas. La narración es muy clara y agradable,
y su lectura da una idea bastante precisa sobre los aspectos que involucra el presente tema. En él se puede
consultar cualquier aclaración sobre algún punto expuesto en el desarrollo del tema. Lectura recomendada.
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Tema 1.3
1. Lógica proposicional
1.1. Proposiciones
De nición Se entiende por proposición todo enunciado que atribuye una cualidad o una propiedad a un
objeto o un conjunto de objetos.
Evidentemente, una proposición es verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.
Para representar proposiciones emplearemos las letras p; q; r; :::
Se llama negación de una proposición p; se escribe kp y se lee “no p" a la proposición contraria de p:
Proposición atómica
Es toda proposición expresada de la forma más simple.
Proposición molecular
Si se juntan dos o varias proposiciones atómicas se obtiene una proposición molecular.
Conjunción de proposiciones
Una proposición molecular se llama conjunción de p y q; si estas dos se encuentran ligadas mediante un
término de enlace del tipo y:
La conjunción p y q se representa así: p ^ q:
La conjunción p ^ q será verdadera cuando lo sean p y q: En los demás casos, p ^ q será una proposición
falsa.
Disyunción de proposiciones
Una proposición molecular se llama disyunción de p y q si estas dos proposiciones se encuentran ligadas
mediante un término de enlace del tipo o:
El término de enlace \o" puede tener tanto sentido inclusivo (la certeza de p no excluye la certeza de q y
recíprocamente) como exclusivo (la certeza de p excluye la certeza de q y recíprocamente).
La disyunción de p y q se representa: p _ q:
Para poder hablar de disyunción no es preciso que aparezca el término “o”, basta con uno equivalente a
él: “ora”, “ya”, “bien”, ...
La disyunción p _ q será verdadera cuando lo sea, al menos, una de las dos proposiciones p y q; sólo será
falsa, si lo son las dos simultáneamente.
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1.4
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Implicación de proposiciones
Cuando se unen dos proposiciones p y q mediante el término de enlace “si ... entonces ...”, la proposición
molecular resultante se dice que es una implicación (p implica q) o una proposición condicional.
Si p implica q se escribe p ) q: La proposición p recibe el nombre de hipótesis o condición, y q el de
tesis o conclusión.
Para poder hablar de implicación, no es preciso que aparezca el término ”si ... entonces ...”, puede servir
cualquier otro giro de sentido equivalente.
Una implicación es falsa solamente cuando de una hipótesis verdadera se sigue una conclusión falsa. En
los demás casos, la implicación es verdadera.
Implicación recíproca, contraria y contrarrecíproca
Dada la implicación p ) q; la implicación q ) p se llama implicación recíproca de la anterior y la
implicación kp ) kq es la contraria.
Si p ) q es cierta, q ) p puede ser verdadera o falsa. Pero si p ) q es falsa, q ) p será verdadera,
como puede verse fácilmente con las tablas.
Dada la implicación p ) q; la implicación kq ) kp se llama implicación contrarrecíproca de la anterior
y ambas implicaciones son verdaderas o ambas falsas.
Equivalencia de proposiciones
Dadas las proposiciones p y q; si ambas se implican mutuamente, esto es: p ) q y q ) p; se dice que p
y q son equivalentes, y se escribe p , q: El término de enlace que se emplea es “sí y sólo sí”.
La equivalencia p , q será verdadera si las dos proposiciones p y q son simultáneamente verdaderas o
simultáneamente falsas; en los demás casos, la equivalencia es falsa.
1.2. Negación de proposiciones
De nición Se llama negación de una proposición p; se escribe kp y se lee “no p”, a la proposición contraria
de p:
Si p es cierta, kp es falsa. Si p es falsa, kp es verdadera.
Negación de una conjunción
La negación de una conjunción está dada por la fórmula
k(p ^ q) , (kp) _ (kq):
D EM : Para demostrar que esta equivalencia es verdadera hemos de ver que las dos proposiciones, k(p ^ q)
y (kp) _ (kq) son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas.
a) Supongamos k(p ^ q) es falsa.
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Tema 1.5
Entonces (p ^ q) es verdadera. Pero esto sucede sí y sólo si p y p son verdaderas. De aquí, (kp) y
(kq) son falsas; su disyunción también lo será: (kp) _ (kq) es falsa. Luego k(p ^ q) y (kp) _ (kq) son
simultáneamente falsas.
b) Supongamos que k(p ^ q) es verdadera.
Entonces (p ^ q) es falsa. Esto sucede si al menos una de las dos proposiciones es falsa. Supongamos
que p es falsa; entonces (kp) es verdadera. Y esto basta para que (kp)_(kq) sea verdadera. Luego k(p^q)
y (kp) _ (kq) son simultáneamente verdaderas.
c) Luego llegamos a la equivalencia
k(p ^ q)
,
(kp) _ (kq):
Negación de una disyunción
La negación de una disyunción está dada por la regla
k(p _ q) , (kp) ^ (kq):
D EM : Para demostrar que esta equivalencia es verdadera hemos de ver que las dos proposiciones, k(p _ q)
y (kp) ^ (kq) son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas.
a) Supongamos k(p _ q) es falsa.
Entonces (p _ q) es verdadera. Pero esto sucede sí al menos una de las dos proposiciones es verdaderas.
Supogamos que lo sea p: Entonces k es falsa y esto basta para que (kp) ^ (kq) sea falsa. Luego k(p _ q) y
(kp) ^ (kq) son simultáneamente falsas.
b) Supongamos que k(p _ q) sea verdadera.
Entonces p _ q es falsa. Esto sucede si p y q son las dos falsas. Es decir si (kp) y (kq) son las dos
verdaderas. Su conjunción también lo será: (kp) ^ (kq) es verdadera. Luego k(p _ q) y (kp) ^ (kq) son
simultáneamente verdaderas.
c) Luego llegamos a la equivalencia
k(p _ q)
,
(kp) ^ (kq):
Negación de una implicación
La negación de una implicación está dada por
k(p ) q) , p ^ (kq):
D EM : Para demostrar que esta equivalencia es verdadera, hemos de ver que las dos proposiciones, k(p ) q)
y p ^ (kq) son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas.
a) Supongamos que k(p ) q) sea falsa. Entonces p ) q es verdadera. Puede serlo por hallarse en alguno
de estos tres casos:
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1.6
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Primer caso: p y q verdaderas. Entonces, p es verdadera, y kq; falsa. De aquí, p ^ (kq) es falsa.
Segundo caso: p es falsa y q es verdadera. Entonces, p es falsa y (kq) es falsa. También lo será su
conjunción: p ^ (kq) es falsa.
Tercer caso: p y q son falsas. Entonces p es falsa y (kq) es verdadera. De aquí que p ^ (kq) es falsa.
Luego en los tres casos hemos llegado a que p ^ (kq) es falsa. De donde k(p ) q) y p ^ (kq) son
simultáneamente falsas.
b) Supongamos que k(p ) q) es verdadera. Entonces p ) q es falsa. Esto sólo puede suceder si p es
verdadera y q es falsa. De donde, p y (kq) son verdaderas, y también lo es su conjunción: p ^ (kq) es
verdadera.
Luego k(p ) q) y p ^ (kq) son simultáneamente verdaderas.
c) Luego llegamos a la equivalencia
k(p ) q)
,
p ^ (kq):
Negación de una equivalencia
La negación de la equivalencia está dada por las fórmulas
k(p , q) , [(kp) , q];
k(p , q) , [p , (kq)]:
D EM : Vamos a demostrar la primera fórmula. Para comprobar que la equivalencia de enlace dominante
es verdadera, hemos de ver que las dos proposiciones, k(p , q) y [(kp) , q]; son simultáneamente
verdaderas o simultáneamente falsas.
a) Supongamos que k(p , q) es falsa. Entonces p , q es verdadera. Esto sucede si p y q son simultáneamente verdaderas o falsas. De aquí que kp y q serán o verdadera y falsa, o falsa y verdadera,
respectivamente. De donde (kp) , q es falsa.
Luego k(p , q) y (kp) , q son simultáneamente falsas.
b) Supongamos que k(p , q) es verdadera. Entonces p , q es falsa. Esto sucede si p y q son o verdadera
y falsa, o falsa y verdadera, respectivamente. De aquí kp y q serán simultáneamente verdaderas o falsas.
De donde (kp) , q es verdadera.
Luego k(p , q) y (kp) , q son simultáneamente verdaderas.
c) Luego llegamos a la equivalencia:
k(p , q) ,
La segunda fórmula se demuestra de manera análoga.
(kp) , q:
Doble negación
Por doble negación entendemos la negación de la negación de una proposición p y equivale a la a rma-
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Tema 1.7
ción de dicha proposición. Es decir
k(kp) , p:
D EM : Para demostrar que esta equivalencia es verdadera, hemos de ver aquí también que las dos proposiciones k(kp) y p son simultáneamente verdaderas, o simultáneamente falsas.
Supongamos que k(kp) es falsa. Entonces (kp) es verdadera. Y de aquí, p es falsa.
Luego k(kp) y p son simultáneamente falsas.
Supongamos que k(kp) es verdadera. Entonces (kp) es falsa. Y de aquí, p es verdadera.
Luego k(kp) y p son simultáneamente verdaderas.
Luego llegamos a la equivalencia k(kp) , p, que también puede escribirse sin el paréntesis
kkp , p:
1.3. Tablas de verdad
Las letras p; q; r; ::: designan las proposiciones; con V y F designaremos verdadera y falsa, respectivamente.
a) Conjunción
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p^q
V
F
F
F
La conjunción p ^ q es verdadera cuando los son p y q; en los demás casos es falsa.
b) Disyunción
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p_q
V
V
V
F
La disyunción es falsa cuando los son p y q; en los demás casos es verdadera.
c) Implicación
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p)q
V
F
V
V
La implicación es falsa sólo cuando de una hipótesis verdadera se sigue una conclusión falsa; en los demás
casos es verdadera.
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1.8
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d) Equivalencia
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p,q
V
F
F
V
La equivalencia es verdadera si las dos proposiciones son simultáneamente verdaderas o simultáneamente
falsas; en los demás casos es falsa.
e) Negación
p
V
F
kp
F
V
Si p es verdadera, kp es falsa. Y si p es falsa, kp es verdadera.
Tablas de negación
Las proposiciones cuya equivalencia queremos veri car, han de presentar sus columnas respectivamente
iguales, ya que la equivalencia de dos proposiciones sólo es verdadera si las dos proposiciones son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas.
a) Negación de una conjunción:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
b) Negación de una disyunción:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
k(p ^ q)
p^q
V
F
F
F
k(p ^ q)
c) Negación de una implicación:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p_q
V
V
V
F
(kp) _ (kq):
,
(kp) _ (kq):
k(p ^ q) kp
F
F
V
F
V
V
V
V
k(p _ q) kp
F
F
F
F
F
V
V
V
k(p ) q)
p)q
V
F
V
V
,
,
kq
F
V
F
V
kq
F
V
F
V
p ^ (kq):
k(p ) q) p
F
V
V
V
F
F
F
F
kq
F
V
F
V
(kp) _ (kq)
F
V
V
V
(kp) ^ (kq)
F
F
F
V
p ^ (kq)
F
V
F
F
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Tema 1.9
d) Negación de una equivalencia:
p
V
V
F
F
e) Doble negación:
kkp
k(p , q)
p,q
V
F
F
V
q
V
F
V
F
,
,
[(kp) , q]:
k(p , q) kp
F
F
V
F
V
V
F
V
q
V
F
V
F
(kp) , q
F
V
V
F
p:
p
V
F
kp
F
V
kkp
V
F
Otras tablas de equivalencia
Mediante las tablas que a continuación se indican vamos a veri car algunas propiedades de las proposiciones. Igual que antes, las proposiciones equivalentes han de presentar sus columnas respectivamente
iguales.
a) Equivalencia de una implicación:
p
V
V
F
F
(p ) q)
,
(kq) ) (kp):
p
V
V
F
F
b) Conmutatividad de la conjunción:
(p ) q)
(kp) _ q:
q
V
F
V
F
p)q
V
F
V
V
kp
F
F
V
V
q
V
F
V
F
(kp) _ q
V
F
V
V
q
V
F
V
F
p)q
V
F
V
V
kp
F
F
V
V
q
V
F
V
F
(kp) _ q
V
F
V
V
(p ^ q)
,
(q ^ p):
(p _ q)
,
(q _ p):
p
V
V
F
F
c) Conmutatividad de la disyunción:
,
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
q
V
F
V
F
p^q
V
F
F
F
p_q
V
V
V
F
q^p
V
F
F
F
q_p
V
V
V
F
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1.10
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d) Asociatividad de la conjunción:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
e) Asociatividad de la disyunción:
[p ^ (q ^ r)]
,
[(p ^ q) ^ r]:
[p _ (q _ r)]
,
[(p _ q) _ r];
p^q
V
V
F
F
F
F
F
F
(p ^ q) ^ r
V
F
F
F
F
F
F
F
q^r
V
F
F
F
V
F
F
F
p ^ (q ^ r)
V
F
F
F
F
F
F
F
análoga a la anterior.
f) Distributividad de la conjunción respecto de la disyunción:
[p ^ (q _ r)]
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p_q
V
V
V
V
V
V
F
F
,
[(p ^ q) _ (p ^ r)]:
p ^ (q _ r) p ^ q
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
p^r
V
F
V
F
F
F
F
F
(p ^ q) _ (q ^ r)
V
V
V
F
F
F
F
F
g) Distributividad de la disyunción respecto de la conjunción:
[p _ (q ^ r)]
La demostración es análoga a la anterior.
h) Idempotencia de la conjunción:
i) Idempotencia de la disyunción:
(p ^ p)
(p _ p)
,
,
p
V
F
,
p
V
F
[(p _ q) ^ (p _ r)]:
p:
p^p
V
F
p
V
F
p:
p
V
F
p_p
V
F
1.4. Tautología y contradicción
De nición de tautología
Una tautología es una proposición molecular que es siempre verdadera, independientemente del valor de
verdad o falsedad de sus partes constituyentes. En una tabla de verdad, la columna correspondiente a una
tautología se caracteriza por tener únicamente términos V: De la misma de nición se sigue que todas las
tautologías son equivalentes.
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Tema 1.11
Al referirnos a una tautología, cualquiera que sea, utilizaremos la notación f:
De nición de contradicción o absurdo
Una contradicción (o absurdo) es una proposición molecular que es siempre falsa, independientemente
del valor de verdad o falsedad de sus partes constituyentes. En una tabla de verdad, la columna correspondiente a una contradicción, se caracteriza por tener únicamente términos F: De la misma de nición se
sigue que todas las contradicciones son equivalentes. Al referirnos a una contradicción, cualquiera que sea,
utilizaremos la notación F:
Propiedades
1a . La negación de una tautología es una contradicción:
f kf
V
F
2a . La negación de una contradicción es una tautología:
F kF
F
V
kf , F:
F
F
kF , f:
f
V
3a . La disyunción de una proposición, y su contraria, es una tautología: [p _ (kp)] , f:
p
V
F
kp
F
V
p _ (kp) f
V
V
V
V
4a . La conjunción de una proposición y su contraria, es una contradicción: [p ^ (kp)] , F:
p kp p ^ (kp) F
V F
F
F
F V
F
F
5a . La conjunción de una proposición y una tautología es equivalente a la misma proposición:
(p ^ f) , p:
p f p^f
V V
V
F V
F
a
6 . La disyunción de una proposición y una tautología es una tautología: (p _ f) , f:
p
V
F
f
V
V
p_f
V
V
7a . La conjunción de una proposición y una contradicción es una contradicción: (p ^ F) , F:
p F p^F
V F
F
F F
F
a
8 . La disyunción de una proposición y una contradicción es equivalente a la misma proposición:
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1.12
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(p _ F) , p:
F
F
F
p
V
F
p^F
V
F
1.5. Álgebra de Boole de las proposiciones
Al conjunto de las proposiciones lógicas, provisto de los términos de enlace equivalencia e implicación,
negación, disyunción y conjunción de proposiciones, y en el que consideramos la tautología y la contradicción como elementos particulares, tiene estructura de álgebra binaria de Boole (el cali cativo de binaria o
valorada proviene del hecho de que cada proposición lógica puede tomar el valor de verdadera o falsa).
Idempotentes:
p_q ,p
Conmutativas:
p_q ,q_p
Asociativas:
p^q ,p
p^q ,q^p
p _ (q _ r) , (p _ q) _ r
Absorción, simpli cativas o cancelativas:
Distributivivas:
p ^ (q ^ r) , (p ^ q) ^ r
p ^ (p _ q) , p
p _ (q ^ r) , (p _ q) ^ (p _ r)
Elemento ín mo F :
Elemento universal f :
Leyes de De Morgan:
p^F ,F
p_f,f
p _ (p ^ q) , p
p ^ (q _ r) , (p ^ q) _ (p ^ r)
p_F ,p
p^f,p
k(p _ q) , (kp) ^ (kq)
k(p ^ q) , (kp) _ (kq)
2. Cuanti cadores
2.1. Funciones proposicionales
Dado un conjunto M; sea una expresión en la que interviene un símbolo x; tal que cuando se sustituye x
por un elemento cualquiera de M; la expresión se convierte en una proposición. Entonces se dice que dicha
expresión es una función proposicional de nida en M:
Designando la función proposicional por p(x); es x la variable, y para expresar que x se ha de sustituir
por elementos de M; se dice que x toma valores en M:
E JEMPLO : Si M es el conjunto de los números naturales, p(x) es “x2 + 1 es un número par” es una función
proposicional. Para x par, la proposición es falsa, para x impar la proposición es verdadera.
Para cada a 2 M; la proposición p(a) puede ser verdadera o falsa. Sin embargo, aunque para cada
elemento de M se puede decidir si la proposición correspondiente es verdadera o falsa, no se puede deducir
que aquellos elementos de M para los que la proposición p(x) correspondiente sea verdadera, determinen
un conjunto en sentido matemático. Por esta razón, hemos de admitir como axioma, que la totalidad de
dichos elementos forman un conjunto:
Si M es un conjunto y p(x) una función proposicional, existe un único conjunto, cuyos elementos son
todos los elementos x 2 M para los cuales p(x) es cierta. (Axioma de especi cación).
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de E. Secundaria MATEMATICAS
Tema 1.13
De nición El conjunto de elementos de M en los que p(x) es cierta, es el conjunto de certeza de p(x) en
M:
También se dice, que es el conjunto de verdad de p(x) o el conjunto de valores de x que satisfacen a
p(x): Este conjunto se designa por
fx 2 M : p(x)g
ó
fx : p(x)g:
De acuerdo con estas notaciones, son lógicamente equivalentes:
a 2 fx 2 M : p(x)g
y
p(a);
para todo a 2 M:
Hay dos funciones proposicionales que corresponden a situaciones extremas: la función proposicional
x = x; que es verdadera para todo elemento del conjunto M y la proposición x 6= x que es falsa para todo
elemento de M; cualquiera que sea el conjunto M: El conjunto de certeza de la segunda proposición es el
conjunto vacío, que podemos de nir del siguiente modo.
De nición El conjunto vacío, que se representa por ;; es
fx 2 M : x 6= xg
y ningún elemento de M pertenece al conjunto vacío.
De esta de nición resulta que, independientemente del conjunto M de la de nición, el conjunto vacío
; es subconjunto de un conjunto C cualquiera. Si ;
C fuese falso, existiría algún elemento de ; no
contenido en C; lo que es absurdo, pues ; no contiene elementos.
Por otra parte, es evidente que el conjunto fx 2 M : x = xg coincide con el conjunto M:
La disyunción y la conjunción de nidas para dos proposiciones, se generalizan fácilmente para un
número nito de proposiciones en virtud de las propiedades asociativas y así se tiene que
p1 ^ p2 ^
^ pn
será una proposición que sólo será verdadera si todas las proposiciones componentes son verdaderas. De
forma análoga,
p1 _ p2 _
_ pn
será una proposición que sólo es verdadera si por lo menos una de las proposiciones lo es.
2.2. Cuanti cadores
Una función proposicional p(x); se puede interpretar como un mecanismo generador de proposiciones,
al dar a x valores de un conjunto M: Por tanto, al considerar la totalidad de estas proposiciones, podemos
buscar una generalización de la disyunción y de la conjunción, en estos conjuntos de proposiciones, que en
general no será nitos. El problema que se plantea es análogo al de extender la de nición y propiedades de
las sumas nitas a las series ilimitadas.
Una proposición análoga a la disyunción del caso nito, es aquella que sólo es verdadera cuando lo sean
todas las proposiciones obtenidas de p(x); al sustituir x por todos los elementos del conjunto M: Para esta
proposición se acostumbra a utilizar la notación
8x : p(x)
que se lee “para todo x; p(x)"; sobreentendiendo que x 2 M:
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1.14
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Una proposición análoga a la conjunción del caso nito, es aquella que sólo es verdadera cuando lo sea al
menos una de las proposiciones obtenidas de p(x); al sustituir x por todos los elementos de M: Utilizaremos
la notación
9x : p(x)
que se lee “existe un x; tal que p(x)":
De nición “Para cada x"; o simbólicamente 8x; es un término que antepuesto a una función proposicional
p(x); origina la proposición “para todo x; p(x)"; o simbólicamente 8x : p(x); que sólo es verdadera cuando
lo sean todas las proposiciones p(x) con x 2 M:
El símbolo 8 se denomina cuanti cador universal.
De nición “Existe un x; tal que”; o simbólicamente 9x; es un término que antepuesto a una función proposicional p(x); origina la proposición “existe un x tal que p(x)"; o simbólicamente 9x : p(x); que sólo es
verdadera cuando lo sea una al menos de las proposiciones p(x) con x 2 M:
El símbolo 9 se denomina cuanti cador existencial.
Con las proposiciones de nidas por medio de los cuanti cadores universal y existencial se puede operar, construyendo nuevas proposiciones con los términos de enlace: ^; _; k; ) y ,; obteniéndose los
siguientes resultados:
a) (8x : p(x)) ^ (8x : q(x)) , 8x : (p(x) ^ q(x))
b) (8x : p(x)) _ (8x : q(x)) ) 8x : (p(x) _ q(x))
En esta segunda fórmula no puede sustituirse la implicación por la equivalencia, como muestra el siguiente ejemplo: Sea M el conjunto de los números reales y las funciones proposicionales p(x) y q(x)
respectivamente x
0yx
0: Es evidente que p(x) _ q(x) es cierta para todo x 2 M; por lo que
el segundo miembro de la fórmula es una proposición verdadera, pero las dos proposiciones 8x : p(x) y
8x : q(x); que componen el primer miembros son falsas.
Para el cuanti cador existencial se obtienen fórmulas análogas:
c) (9x : p(x)) _ (9x : q(x)) , 9x : (p(x) _ q(x))
d) (9x : p(x)) ^ (9x : q(x)) ( 9x : (p(x) ^ q(x))
Las leyes de De Morgan también pueden generalizarse en las siguientes fórmulas de negación de funciones proposicionales cuanti cadas:
e) k(8x : p(x)) , 9x : (kp(x))
f) k(9x : p(x)) , 8x : (kp(x))
Como se observa, de una fórmula se puede pasar a la otra sin más que cambiar la proposición p(x) por
su contraria y cambiando igualmente a contraria la proposición obtenida.
La leyes de De Morgan pueden enuncianse también en la forma:
Si es falso que para todo x sea cierta p(x), entonces existe al menos un x para el cual es falsa p(x), y
recíprocamente.
Al igual que en el caso nito, estas fórmulas permiten de nir el cuanti cador universal por medio del
existencial y la negación, y el cuanti cador existencial por medio del universal y la negación. Sin más que
aplicar las fórmulas e) y f), obtenemos
8x : p(x) , k(9x : (kp(x)));
9x : p(x) , k(8x : (kp(x))):
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Tema 1.15
La demostración de todas estas fórmulas en que intervienen cuanti cadores es sencilla, ya que se trata
simplemente de comprobar la equivalencia lógica de las proposiciones que intervienen en ambos miembros.
Demostremos a) como ejemplo.
Si 8x : p(x) es falsa, en virtud de la de nición, existe un x = a 2 M; para el cual p(a) es falsa. Entonces
también es falsa p(a) ^ q(a); luego 8x; p(a) ^ q(a) es falsa. El mismo razonamiento es válido si 8x : q(x)
es falsa. Por otra parte, si 8x : p(x) y 8x : q(x) son verdaderas, para todo x : p(x) ^ q(x) es verdadera,
luego lo mismo ocurre con 8x : p(x) ^ q(x):
2.3. Funciones proposicionales de varias variables
Si tenemos de nida una función proposicional en un conjunto que es producto cartesiano de dos conjutos,
M = A B; la función proposicional se denomina función proposicional de dos variables y se designa
como p(x; y); donde x se puede sustituir por elementos de A e y por elementos de B: En general:
De nición Una función proposicional p(x) de nida en un conjunto M que sea producto de n conjuntos,
M = A1 A 2
An ; se denomina función proposicional de n variables.
Como la variable x toma valores en el conjunto M; cuyos elementos son n-plas, se puede escribir x =
(x1 ; x2 ; :::; xn ); donde xi toma valores en Ai : Por tanto la función proposicional de n variables se puede
escribir en la forma p(x1 ; x2 ; :::; xn ):
Si en una función proposicional de dos variables p(x; y) se sustituye una de ellas por un valor, se obtienen
funciones proposicionales de una sola variable, a las cuales les son aplicables los resultados obtenidos para
las mismas.
Dada una función proposicional de dos variables p(x; y); se ja un elemento x = a 2 A; y se obtiene la función proposicional p(a; y) cuya variable y toma valores en B: Por medio de los cuanti cadores
existencial y universal se obtienen las proposiciones
9y : p(a; y)
y
8y : p(a; y):
Al variar a en el conjunto A las proposiciones anteriores se convierten en funciones proposicionales de una
sola variable x; es decir
9y : p(x; y)
y
8y : p(x; y);
y por medio de los cuanti cadores existencial y universal se obtienen las cuatro proposiciones siguientes
9x(9y : p(x; y));
8x(9y : p(x; y));
9x(8y : p(x; y));
8x(8y : p(x; y));
que suelen escribirse sin el paréntesis que separa los cuanti cadores. Si invertimos el orden de las variables
se obtienen otras cuatro proposiciones.
La primera de las cuatro proposiciones anteriores se puede expresar con un solo cuanti cador existencial
respecto de la variable (x; y) 2 A B; ya que son equivalentes
9x; 9y : p(x; y) , 9(x; y) : p(x; y)
y de forma análoga la cuarta de las proposiciones:
8x; 8y : p(x; y) , 8(x; y) : p(x; y):
Esto mismo no puede hacerse con las otras dos proposiciones, ya que al cambiar el orden de los cuanti cadores puede cambiar el valor lógico de una proposición, si bien se veri ca la siguiente regla:
9x; 8y : p(x; y) ) 8y; 9x : p(x; y):
En efecto, si la proposición del primer miembro es verdadera, también lo es la del segundo. Si 9x; 8y :
p(x; y) es verdadera, existe un a 2 A tal que para todo y es p(a; y) verdadera. En consecuencia, para cada
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y existe un x; que siempre es el mismo x = a; tal que p(x; y) es verdadera, es decir que 8y; 9x : p(x; y) es
verdadera.
La proposición 8y; 9x : p(x; y) será verdadera, cuando para cada y exista un x; que en general cambiará
al variar y; tal que p(x; y) sea verdadera. Si 9x; 8y : p(x; y) es verdadera para cada y existe un x; que no
cambia al variar y; tal que p(x; y) es verdadera. Esta condición es mucho más fuerte que la primera.
En conclusión, hemos visto que a partir de una función proposicional de dos variables se obtienen funciones proposicionales de una sola aplicando un cuanti cador, bien sea existencial o universal, y que aplicando dos cuanti cadores se obtienen proposiciones simples. Este método general se puede aplicar a las
funciones proposicionales de varias variables, enunciando que al aplicar un cuanti cador a una función
proposicional de n variables se obtiene una función proposicional de n 1 variables.
En la aplicación de varios cuanti cadores a una función proposicional hay que tener en cuenta las reglas
que hemos visto:
1) Cuanti cadores existenciales seguidos pueden permutarse sin que la función proposicional tenga
variación lógica. Lo mismo si se permutan cuanti cadores universales.
2) Si se permuta un cuanti cador existencial con otro universal situado después, la función proposicional
que se obtiene es consecuencia lógica de la anterior.
3. Razonamiento matemático
3.1. Teoría matemática
Cada teoría suele llevar un esquema parecido:
1o . Unas de niciones iniciales en las que se da categoría de existencia a los elementos u objetos matemáticos
que se utilizarán en la teoría; estos objetos reciben el nombre de términos primitivos. Por ejemplo, son
términos primitivos en la teoría geométrica las nociones de punto, recta, plano.
2o . Unos principios básicos o axiomas que rigen estos elementos. Notemos que los axiomas se admiten
sin demostración; a priori se consideran como verdaderos. Son, en cierto modo, las reglas que expresan
el modo verdadero de relacionarse los términos primitivos. También reciben el nombre de postulados. De
todos son conocidos, por ejemplo, los postulados de Euclides, que rigen la geometría clásica.
Los postulados han de ser compatibles, es decir, no contradictorios; independientes entre sí, es decir, que
no se deriven unos de otros, y su cientes en número.
3o . Una serie de resultados posteriores, obtenidos a través de los teoremas; esto es, deducidos de los
axiomas y de las de niciones. Este proceso recibe el nombre de demostración o deducción. A partir de
estos teoremas pueden deducirse otros, obteniéndose, por n, las consecuencias o corolarios que completan
la teoría matemática.
3.2. Verdad y validez
En lo que llevamos dicho en los apartados anteriores de este tema hemos estudiado las proposiciones
lógicas, su verdad o falsedad. Pero alguien habrá podido quedar sorprendido de algunas a rmaciones; por
ejemplo, de haber leído que
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Tema 1.17
(3 + 6 = 2) ) (2 + 7 = 11)
es una implicación verdadera. Ciertamente lo es. Pero pasos como este no aparecen en la demostración
de ningún teorema. Es decir, hemos de distinguir lo que es verdadero y lo que es válido en razonamiento
matemático.
En lo que sigue vamos a examinar las condiciones de validez de los pasos que se dan cuando se trata de
desarrollar una teoría matemática.
3.3. Razonamiento lógico
El razonamiento lógico, de manera análoga a la teoría matemática, consta de términos primitivos (las
proposiciones lógicas y los términos de enlace entre las mismas), axiomas o principios lógicos y reglas de
inferencia lógica (que explicitaremos a continuación).
Su estudio está sobradamente justi cado, ya que el razonamiento lógico es previo y subyace al razonamiento matemático.
Veamos los axiomas y las reglas de inferencia usados en la lógica:
a) Axiomas o principios lógicos
Principio de identidad
Todo objeto de una teoría, cualquiera que sea su naturaleza, es igual a sí mismo.
Principio de exclusión
Toda proposición relativa a un objeto es verdadera o es falsa; se excluye una tercera posibilidad.
Principio de contradicción
Toda proposición relativa a un objeto no puede ser simultáneamente verdadera y falsa.
b) Reglas de inferencia lógica
Uno de los objetos principales de la lógica es deducir conclusiones a partir de un conjunto de proposiciones conocidas, llamadas premisas. Este procedimiento de deducción recibe el nombre de inferencia
lógica.
Una inferencia lógica es válida cuando el paso de las premisas a la conclusión satisface alguna de las
reglas de inferencia que a continuación veremos. Si las premisas son verdaderas, la conclusión que se sigue
mediante una inferencia válida, es verdadera. Es decir, que no se puede deducir una conclusión falsa de
unas premisas verdaderas mediante un razonamiento válido.
Las reglas de inferencia lógica son:
1a Regla de Modus ponens
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Supongamos que nos dan estas dos proposiciones como premisas:
1a . Si hoy es jueves, mañana es viernes.
2a . Hoy es jueves.
Si sabemos que son ciertas estas dos premisas, la solución es clara: mañana es viernes.
Podemos esquematizar el proceso de la siguiente forma:
Sea p: hoy es jueves.
Sea q: mañana es viernes.
Tenemos:
p )q
p
p
Notaremos que ha de saberse que la primera premisa p ) q; es verdadera. Esto es, que en el universo
o sistema al que hacen referencia estas dos proposiciones p y q; la implicación esté asegurada por reglas
propias de aquel universo o sistema.
Análogamente, ha de conocerse la certeza de la proposición p en su sistema de referencia.
Sólo entonces puede asegurarse que la conclusión q es verdadera.
2a Regla: Regla del silogismo
Esquemáticamente, esta regla viene dada así:
p )q
q )r
p )r
Como en la 1a Regla, también aquí ha de conocerse la verdad de las dos implicaciones que actúan como
premisas. La conclusión es simplemente condicional. Aquí radica la diferencia con la 1a Regla; en esta
segunda, nada se dice sobre la verdad de p: En el momento que aseguramos que p es verdadera, por la 1a
Regla podremos deducir que r lo es también.
3a Regla: Ley de las equivalencias lógicas
Esta regla nos asegura que para demostrar una proposición basta demostrar otra proposición equivalente
a la dada.
Admite diversas formas:
a) Regla de la doble negación
Como ya hemos visto, p , kkp: Por lo tanto, para demostrar p; basta demostrar kkp; y recíprocamente.
Esquemáticamente:
p
kkp
kkp
p
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Tema 1.19
b) Leyes conmutativas
Esquemáticamente:
(p ^ q)
,
d) Ley del contrarrecíproco:
(p _ q)
p^q
q^p
c) Leyes de De Morgan:
k(p ^ q)
Esquemáticamente:
(q ^ p);
,
k(p _ q)
k(p ^ q)
(kp) _ (kq)
(p ) q)
(p , q)
,
[(kp) ^ (kq)]
k(p _ q)
(kp) ^ (kq)
,
p)q
kq ) kqp
e) Ley de las proposiciones bicondicionales:
Esquemáticamente:
(q _ p)
p_q
q_p
[(kp) _ (kq)];
Esquemáticamente:
,
(kq ) kp)
kq ) kp
p)q
,
[(p ) q) ^ (q ) p)]
p )q
p,q
q )q
(p ) q) ^ (q ) p)
p ,r
4a Regla: Reglas de la conjunción y de la disyunción
De las de niciones de conjunción y disyunción de proposiciones se deducen inmediatamente las siguientes reglas:
a) Regla de la disyunción:
p_q
kp
q
p_q
kq
p
p^q
p
p^q
q
p
q
p^q
d) Regla de la simpli cación disyuntiva:
p
q
p^q
b) Regla de simpli cación conjuntiva:
c) Regla de la adjunción:
p_q
p
e) Regla de la adición:
5a Regla: Regla de las premisas
p
p_q
q
p_q
Esta regla viene a decirnos que una premisa puede introducirse en cualquier momento de la demostración.
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1.20
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3.4. Métodos matemáticos de demostración
Como hemos visto, para establecer una teoría matemática se parte de términos primitivos y de axiomas;
todo resultado posterior tiene categoría de teorema y necesita demostración. Una demostración es un caso
particular de inferencia lógica.
En la práctica, el enunciado de un teorema consta de unas hipótesis, o proposiciones conocidas, y de una
tesis o resultado que hay que deducir de las primeras. Cada paso de la demostración ha de ser avalado por
alguna de las reglas de inferencia lógica. En un conjunto, las reglas que nos permiten pasar de las hipótesis
a las tesis constituyen los métodos de demostración.
Los más empleados en el desarrollo de una teoría matemática son los siguientes:
Demostración por implicación directa
Este método es el equivalente matemático de la regla lógica del modus ponens. Sea la hipótesis de
una proposición p que suponemos verdadera, y sea la tesis una proposición q: Si a partir del conjunto de
de niciones, axiomas y resultados previos puede asegurarse la certeza de la implicación p ) q; podemos
a rmar que la tesis q es verdadera.
Esquemáticamente, podemos representar así este método:
p)q
p
q
Demostración por cadena de implicaciones
Este método es el equivalente matemático a la ley del silogismo.
Sea la hipótesis de una proposición q; que suponemos verdadera, y sea la tesis una proposición r: A
partir de la hipótesis hemos de construir las premisas que intervienen en la ley del silogismo. Recordemos
que estas premisas tienen forma de implicación: p ) q; q ) r:
Es fundamental conseguir la certeza de la proposición intermedia q; para ello hemos de aplicar el primer
método. Conseguida esta certeza y volviendo a aplicar este primer método, obtendremos la certeza de la
tesis r:
Esquemáticamente, puede representarse así:
p
p
p)q
p)q
q
O de forma resumida
q)r
q)r
r
r
Este método admite una generalización, es decir, la posibilidad de más proposiciones intermedias.
Demostración por reducción al absurdo
Este método se apoya en la ley del contrarrecíproco.
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Tema 1.21
Supongamos que queremos demostrar una tesis q a partir de una hipótesis p; es decir p ) q: En virtud
de la ley del contrarrecíproco, nos bastará demostrar que
(kq) ) (kp):
Dicho de otra forma, la demostración por reducción al absurdo funciona así:
Sea p una hipótesis verdadera. Supongamos por un momento que la tesis q es falsa; es decir, que (kq)
es verdadera. Entonces, a partir de (kq) se llega a comprobar que p (o un resultado verdadero de la teoría)
es falsa. De una tal contradicción o absurdo (p es a la vez verdadera y falsa) se deduce la falsedad de (kq);
es decir, la certeza de q:
Demostración mediante un contraejemplo
En algunos casos se trata de comprobar que determinada implicación, por ejemplo que p ) q es falsa.
Para ello hay que dar un contraejemplo, es decir, un ejemplo en el cual p y (kq) sean simultáneamente
verdaderos.
Demostración por doble implicación
Se utiliza este método cuando se trata de demostrar la equivalencia entre dos proposiciones p y q; es
decir p , q:
Para ello es preciso demostrar cada una de las implicaciones: p ) q y q ) p:
Este método es el equivalente matemático de la ley de las proposiciones bicondicionales.
Demostración por doble contenido
Viene a ser un caso particular del método anterior. Se utiliza esta demostración cuando se trata de
demostrar la igualdad de dos conjuntos, ya que en la teoría de conjuntos la igualdad se corresponde con la
equivalencia lógica y el contenido con la implicación lógica:
(A = B)
,
(A
ByB
A):
4. Aplicación en otros campos del conocimiento
En los negocios En 1936 el matemático Edmund C. Berkeley, que entonces trabajaba en la compañía de
seguros Prudential Life Insurance Company, aplicó la lógica simbólica al problema de la ordenación de
pagos de las pólizas de seguros: Muchos asegurados pedían cambiar la fecha del pago de su póliza y había
que tener en cuenta muchos factores de modo que las reglas de la compañía parecían cubrir todos los
casos. Berkeley sospechó que las reglas no cubrían todos los casos y que algunas veces las reglas entraban
en con icto y decidió traducir las cláusulas, combinaciones y acciones posibles a la lógica simbólica y
mediante un análisis algebraico pudo demostrar la existencia de reglas contradictorias que, analizando los
archivos, comprobó que existían en la realidad.
En la redacción de documentos La lógica matemática se ha utilizado en el análisis de las cláusulas de
guerra y en las condiciones de empleo en contratos colectivos. En los contratos entre grandes corporaciones,
la lógica matemática ha resultado muy útil para analizarlos, ya que pueden ser muy complicados y contener
lagunas e incongruencias entre una maraña de síes, noes, íes, oes y peros. Un análisis bajo el punto de vista
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1.22
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de la lógica matemática puede aclarar esas cuestiones complicadas para los abogados.
En el rigor en los censos La lógica se usa en el control de la exactitid de los censos y estadísticas. Si
un encuestador informa que ha entrevistado 30 personas de las cuales 10 eran hombres y 12 eran mujeres,
es evidente que las cuentas no salen, pero como las muestras son mucho mayores y se estudian muchas
variables con muchas posibilidades, no es fácil detectar los errores. El uso de la lógica puede dar la respuesta
adecuada.
En la Biología En la universidad de Illinois, los profesores Walter Pitts y Warren McCulloch fueron los
primeros en utilizar la lógica simbólica para analizar las relaciones entre los 10 billones de células nerviosas
del cerebro humano.
En la Ingeniería La lógica simbólica se utiliza para el análisis de los circuitos que se corresponden con
el cálculo algebraico de álgebra de Boole. Con el uso generalizado del teléfono, de la televisión y de los
ordenadores, se hizo necesario el estudio de las propiedades matemáticas de los circuitos con interruptores
mecánicos, eléctricos o electromecánicos. En el diseño de las primeras grandes máquinas de calcular,
como Eniac que contenía aproximadamente 20 000 válvulas y 500 000 conexiones, uno de los problemas
más importantes era reducir el número de válvulas. En la construcción del Mark III, ordenador totalmente
electrónico, los ingenieros pensaron que necesitarían un circuito de 9 válvulas como mínimo, pero el uso
de la lógica simbólica les demostró que 6 válvulas eran su cientes.
En la Filosofía Los lógicos modernos han encontrado fallos en el sistema lógico de Aristóteles. De entre los
19 silogismos establecidos por Aristóteles y sus continuadores medievales, cuatro de ellos son rechazados
hoy en día y el resto pueden reducirse a 5 teoremas.
Actualmente, con el uso generalizado de los ordenadores, de los teléfonos móviles, de los localizadores
vía satélite y de nuevos aparatos con los que nos sorprende cada año la industria electrónica, nadie duda ya
de la utilidad de la lógica matemática que, de un modo u otro, está dentro de todos estos aparatos, en su
diseño, en su fabricación y en su uso. Sin la lógica simbólica nada de lo que tenemos hoy sería igual. De
todos modos la lógica simbólica no construirá nunca una máquina capaz de hacer al hombre todo el trabajo
de su pensamiento, pero sí puede ayudar al pensamiento cientí co a liberarle de la tiranía de las palabras.
5. Evolución histórica
La lógica formal comenzó con los silogismos de Aristóteles, de los cuales el más conocido es “Todos
los héroes son hombres, todos los hombres son mortales, luego todos los héroes son mortales”. El lósofo
griego propuso 14 silogismos de este tipo y creyó que consitituían la mayor parte de las operaciones del
razonamiento. Los teólogos medievales añadieron cinco silogismos más y durante cientos de años esos 19
silogismos han sido el fundamento de la enseñanza de la lógica.
A mediados del siglo XIX el álgebra invade un campo ajeno a las matemáticas: la lógica. En esa
época los desarrollos de la lógica y de la matemática mostraban una diferencia profunda. Mientras que en
lógica las leyes del silogismo aristotélico se mantenían sin mayores adiciones o perfeccionamientos, el razonamiento matemático, independizándose cada vez más de aquellas leyes, seguía progresando y produciendo
nuevos brotes.
Hacia el siglo XVII comenzó a advertirse cierta analogía entre la reducción algebraica y las reglas silogísticas, en vista de que tanto en un caso como en el otro las letras “vacías” del álgebra podían llenarse con
entes cualesquiera, podían también funcionar con proposiciones.
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Tema 1.23
Leibniz abordó una primera expresión de estas ideas, ya que desde su juventud, en pos de “un alfabeto
de los pensamientos humanos” y de un “idioma universal”, se propuso construir una “caracterización universal”, es decir un lenguaje simbólico capaz de expresar sin ambigüedad todos los pensamientos humanos,
de forma que “al surgir una controversia entre dos lósofos, éstos la zanjarían a la manera de los calculistas.
Bastaría, en efecto, sentarse ante los ábacos, pluma en mano, y como buenos amigos decirse: calculemos”.
Estas ideas fueron precursoras de muchos conceptos actuales, pero apenas tuvieron in uencia, de ahí el
estancamiento que hubo en este sentido en el siglo XVIII y comienzos del XIX, ya que prevalecieron las
ideas de Kant, para quien no era necesaria “ninguna nueva invención en la lógica”.
En la primera mitad del siglo XIX las cosas cambiaron gracias a matemáticos ingleses, por una parte
el grupo de los fundadores de la Analytical Society: Babbage, Peacock y Herschel, que destacaron el
carácter lógico de los fundamentos de la matemática, y por otra Augustus de Morgan, matemático original
según el cual los dos ojos de las ciencias exactas son la lógica y la matemática, que introdujo en 1838 la
expresión “inducción matemática” con el sentido exacto que tiene hoy y publicó una ingeniosa Colección
de paradojas, obra póstuma aparecida en 1872.
Posiblemente esos autores in uyeron en George Boole, quien se ocupó del tema desde 1847 y publicó
en 1854 su obra The Laws of Thought (Las leyes del pensamiento), que lo convirtió en el justo fundador
de la lógica simbólica. Según Boole el objeto del libro era “investigar las leyes fundamentales de las
operaciones de la mente, en virtud de las cuales se razona; expresarlas en el leguaje de un cálculo y sobre
tal fundamento establecer la ciencia de la lógica y construir su método; hacer de ese método la base de un
método general para la aplicación de la teoría matemática de las probabilidades y, nalmente, recoger de los
diversos elementos de verdad que surgen en el curso de esta investigación algunas informaciones probables
referentes a la naturaleza y constitución de la mente humana . . .”
Como se advierte en el párrafo anterior, hay cierta heterogeneidad en la nalidad y el contenido del libro
de Boole, pero su contribución al desarrollo de la lógica matemática fue permanente y de tal importancia
que hizo decir a Bertrand Russell que “la matemática pura fue descubierta por Boole”. Aunque en esta
frase pueda verse el matiz partidario del logicista Russell, es indudable que el libro de Boole abrió nuevos
horizontes a la investigación lógica.
Después de Boole la lógica avanzó en dos direcciones diferentes: por un lado hacia una estructura
más rigurosa de la lógica misma, dirección que culmina en la monumental obra de Ernst D. Schröder
sobre “álgebra de la lógica”, en cuatro volúmenes aparecidos entre 1890 y 1905 y, por el otro, hacia una
vinculación cada vez más estrecha entre la matemática y la lógica, para confundirse ambas y culminar en
las actuales “álgebras de Boole”.
La construcción de formalismos lógicos, en vista de su aplicación a los fundamentos de la matemática,
se inicia en forma independiente por Charles S. Peirce en Estados Unidos y por Friedrich G. Frege en
Alemania.
Peirce fue un lósofo, que se cuenta entre los fundadores del pragmatismo norteamericano y un matemático que se ocupó de lógica matemática, perfeccionando la lógica de Boole e introduciendo nuevos conceptos, como los de “valores y tablas de verdad”. Por su parte Frege, en los trabajos que publicó desde 1879
hasta comienzos del siglo XX, expuso en forma precisa y minuciosa conceptos cuya importancia, tanto en
lógica como en matemática, se pondrían de mani esto más tarde, pero que en su tiempo, por el complicado simbolismo empleado, no ejercieron gran in uencia y sólo se difundieron en el siglo XX por obra de
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1.24
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Russell principalmente.
De forma paralela apareció la contribución de los “logísticos” italianos encabezados por Giuseppe Peano,
que cristalizó en los “formularios matemáticos”, aparecidos a nes de siglo XIX, en los que se propueso
exponer, en un lenguaje puramente simbólico, no sólo la lógica matemática sino también los resultados más
importantes de diversas ramas matemáticas.
Los trabajos de Peano y de sus colaboradores fueron criticados en su comienzo por el exceso de pretensiones de la doctrina y por el empleo exclusivo de símbolos inusuales, pero el resultado nal fue favorable,
ya que un gran número de los símbolos de Peano, como los de pertenencia, unión, intersección, se conservan
actualmente.
Ese trabajo contribuyó además a fortalecer las ideas que ponían cada vez más claras las conexiones entre
la lógica y las matemáticas. Esa corriente llevó a que Russell publicara, en colaboración con Alfred North
Whitehead, matemático de mentalidad losó ca, entre 1910 y 1913, los Principia mathematica, obra de
síntesis en la que se combinan armoniosamente los resultados de Frege y de Peano o, como dice Bourbaki,
“la precisión de Frege con la comodidad de Peano”. Esta obra representa, a comienzos del siglo XX,
el trabajo más acabado de la lógica matemática, o dicho de otro modo, de acuerdo a su losofía, de la
matemática como lógica.
Los progresos de la lógica matemática en el siglo XX están relacionadoscon el problema de los fundamentos de la matemática. Pensemos en la aparición de las lógicas plurivalentes, que se inicia con las lógicas
trivalentes, introducidas por Luitzen E. J. Brouwer en conexión con sus ideas intuicionistas, y culmina con
el concepto de valor continuo de la verdad, valor intermedio entre el 1 que expresa la verdad y el 0 que expresa falsedad que recibe el nombre de probabilidad, concepto introducido en 1932 por Hans Reichenbach
como base para una teoría matemática de las probabilidades.
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Tema 1.25
RESUMEN
1. Lógica proposicional
1.1. Proposiciones
De nición de proposición. Proposición atómica. Proposición molecular.
Conjunción de proposiciones: p ^ q
Disyunción de proposiciones: p _ q
Implicación: p ) q
Implicación recíproca q ) p; contraria kp ) kq y contrarrecíproca kq ) kp
Equivalencia p , q
1.2. Negación de proposiciones
De nción
Negación de una conjunción k(p ^ q) , [(kp) _ (kq)]
Negación de una disyunción k(p _ q) , [(kp) ^ (kq)]
Negación de una implicación k(p ) q) , [p ^ (kq)]
Negación de una equivalencia k(p , q) , [(kp) , q]; k(p , q) , [p , (kq)]
Doble negación k(kp) , p
1.3. Tablas de verdad
Tablas de la conjunción, disyunción, implicación. equivalencia y negación.
Tablas de negación.
Otras tablas de equivalencia
1.4. Tautología y contradicción
De nición de tautología.
De nición de contradicción o absurdo.
Propiedades.
1.5. Álgebra de Boole de las proposiciones
Idempotentes:
p _ q , p;
Conmutativas:
p _ q , q _ p;
Asociativas:
p^q ,p
p^q ,q^p
p _ (q _ r) , (p _ q) _ r;
Absorción, simpli cativas o cancelativas:
Distributivivas:
p ^ (q ^ r) , (p ^ q) ^ r
p ^ (p _ q) , p;
p _ (q ^ r) , (p _ q) ^ (p _ r);
p _ (p ^ q) , p
p ^ (q _ r) , (p ^ q) _ (p ^ r)
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1.26
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Elemento ín mo F :
Elemento universal f :
Leyes de De Morgan:
p ^ F , F;
p _ f , f;
p_F ,p
p^f,p
k(p _ q) , (kp) ^ (kq);
k(p ^ q) , (kp) _ (kq)
2. Cuanti cadores
2.1. Funciones proposicionales
Es una expresión que se convierte en proposición al sustituir x por un elemento cualquiera de M:
Si M es un conjunto y p(x) una función proposicional, existe un único conjunto, cuyos elementos son
todos los elementos x 2 M para los cuales p(x) es cierta. (Axioma de especi cación).
El conjunto vacío es ; = fx 2 M : x 6= xg:
2.2. Cuanti cadores
Cuanti cador universal 8x : p(x)
Cuanti cador existencial 9x : p(x)
2.3. Funciones proposicionales de varias variables
Una función proposicional p(x) de nida en un conjunto M que sea producto de n conjuntos,
M = A 1 A2
An ; se denomina función proposicional de n variables.
3. Razonamiento matemático
3.1. Teoría matemática
Cada teoría suele llevar un esquema parecido:
1. Unas de niciones iniciales.
2. Unos principios básicos o axiomas.
3. Una serie de resultados posteriores: teoremas.
3.2. Verdad y validez
Hemos estudiado las proposiciones lógicas, su verdad o falsedad.
Hemos de distinguir lo que es verdadero de lo que es válido en el razonamiento matemático.
3.3. Razonamiento lógico
El razonamiento lógico consta de términos primitivos, axiomas y reglas de inferencia.
Los axiomas o principios lógicos usados son:
Principio de identidad,
principio de exclusión y
principio de contradicción.
Las reglas de inferencia son:
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Tema 1.27
1a :
2a :
3a :
4a :
5a :
Regla de Modus ponens
Regla del silogismo
Ley de equivalencias lógicas, que admite diversas formas.
Reglas de la conjunción y de la disyunción
Regla de las premisas
3.4. Métodos matemáticos de demostración
- Demostración por implicación directa
- Demostración por cadena de implicaciones
- Demostración por reducción al absurdo
- Demostración mediante un contraejemplo
- Demostración por doble implicación
- Demostración por doble contenido
4. Aplicación en otros campos del conocimiento
- En los negocios: Berkeley en seguros.
- En la redacción de documentos: cláusulas de guerra y contratos colectivos.
- En el rigor de los censos: para detectar errores.
- En la Biología: relaciones entre neuronas del cerebro.
- En la Ingeniería: análisis de circuitos y primeros grandes ordenadores.
- En Filosofía: cuatro silogismos falsos.
- Actualmente: la lógica está dentro de todos los aparatos, su diseño y su uso.
5. Evolución histórica
- Aristóles propuso 14 silogismos y los teólogos medievales anadieron cinco más.
- A mediados del s. XVII se advirtió analogía entre:
la reducción algebraica y las reglas del silogismo.
- Leibniz buscó un alfabeto de los pensamientos y un idioma universal con un lenguaje simbólico.
- Estas ideas fueron precursoras de muchos conceptos actuales.
- En la primera mitad del s. XIX la lógica fundamentó las matemáticas,
lo hicieron los fundadores de la Analitical Society y Augustus de Morgan.
- Estos autores in uyeron en George Boole que publicó The Laws of Thought.
- Después de Boole la lógica avanzó en dos direcciones diferentes:
por un lado hacia una estructura más rigurosa y
por otro a la vinculación de matemáticas y lógica.
- La construcción de formalismos lógicos se inicia por Peirce y Frege.
- De forma paralela contribuyen los logísticos italianos encabezados por Peano.
- Russell y Whitehead publicaron los Principia mathematica,
obra de síntesis que combina los resultados de Frege y Peano.
- En el s. XX aparecen las lógicas plurivalentes y el concepto de valor continuo de la verdad.
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