Geometr´ıa Anal´ıtica II

Geometrı́a Analı́tica II
Lectura 11
Ayudante: Guilmer González
Dı́a 2 de mayo, 2011
El dı́a de hoy veremos:
1. Comentarios sobre el examen.
2. Calcule una esfera dado cuatro puntos.
Un problema tı́pico de Geometrı́a que involucra otras ramas es el cálculo de
la esfera que pasa por 4 puntos. Llamemos a esos puntos A, B, C y D.
Este problema tiene las siguientes restricciones:
1. Ninguna terna de puntos puede ser colineal.
2. Los cuatro puntos no pueden estar en el mismo plano.
Por una parte se observa que ninguna colección de tres puntos deben ser
colineales, en caso contrario estaremos pidiendo que ese segmento de lı́nea se
encuentre sobre la esfera lo cual es imposible. Otra observación es que los
cuatro puntos no pueden estar en el mismo plano o bien existe una infinidad
de esferas o ninguna esfera cumple con pasar por el cuarto punto.
La idea es muy sencilla: A, B y C definen un cı́rculo. Si trazamos las mediatrices AB BC y CA, concurren en un punto P el cual es el centro del
cı́rculo, el cual se encuentra sobre la esfera.
Si ahora calculamos la recta perpendicuar (o normal) al plano ABC y
que pasa por P , los puntos que están en esta lı́nea se encuentran a igual
distancia de cualquiera de esos tres puntos. Esa recta para por el centro de
la esfera, esa recta es diámetro de la esfera. Por consiguiente tendremos una
familia de esferas que pasan por esos tres puntos. Donde el centro está sobre
esa esfera y el radio serı́a la distancia del centro hacia el tercer punto.
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Ejemplo: Encuentre la esfera que pasa por los puntos A(0, 3, 2), B(1, −1, 1),
C(2, 1, 0) y D(5, 1, 3).
~ = B − A = (1, −4, −1)
Paso 1: Si calculamos los vectores ~u = AB
~ = C − A = (2, −2, −2) y calculamos el vector normal al plano
y ~v = AC
(pregunta: importa la orientación?)


i j
k
~η = det 1 −4 −1 = (6, 0, 6)
2 −2 −2
Paso 2: Ahora encontremos el centro del cı́rculo. Este se puede calcular
al intersectar dos mediatrices. Obtenga el punto y con ese punto P y el
vector dirección η ya tenemos la posición del centro de la familia de esferas.
Paso 3: Ahora basta con encontrar el radio adecuado.
Otra forma: La ecuación de la esfera se puede escribir como
c1(x2 + y 2 + z 2 ) + c2 x + c3 y + c5z + c5 = 0
si deseamos que pase por cuatro puntos no coplanares debemos resolver el
sistema lineal
c1 (x21 + y12 + z12 ) + c2x1 + c3 y1 + c5 z1 + c5
c1 (x22 + y22 + z22 ) + c2x2 + c3 y2 + c5 z2 + c5
c1 (x23 + y32 + z32 ) + c2x3 + c3 y3 + c5 z3 + c5
c1 (x24 + y42 + z42 ) + c2x4 + c3 y4 + c5 z4 + c5
=
=
=
=
0
0
0
0
pero este es un sistema lineal de cuatro ecuaciones con 5 incógnitas. Si
(x, y, z) es cualquier punto de la esfera, entonces debe satis facer que
c1(x2 + y 2 + z 2 ) + c2 x + c3 y + c5z + c5 = 0
Es esta nuestra quinta condición, el sistema lineal se escribe como
2

x2 + y 2 + z 2
x21 + y12 + z12
 2
x2 + y22 + z22

x23 + y32 + z32
x24 + y42 + z42
x
x1
x2
x3
x4
y
y1
y2
y3
y4
z
z1
z2
z3
z4
   
1
c1
0
c2 0
1
   
   
1
 c3 = 0
1 c4 0
1
c5
0
y para que la esfera cuente con una infinidad de puntos (soluciones del sistema
de 5 ecuaciones 5 incógnitas) debemos pedir que el determinate de la matriz
asociada sea cero:
2
x + y 2 + z 2
2
x1 + y12 + z12
2
x + y 2 + z 2
2
2
22
x + y 2 + z 2
3
3
3
x2 + y 2 + z 2
4
4
4
x
x1
x2
x3
x4
y
y1
y2
y3
y4
z
z1
z2
z3
z4
1
1
1 = 0
1
1
Si hacemos las cuentas usando menores, tenemos que
(x2 + y 2 + z 2 )M11 − xM12 + yM13 − zM14 + M15 = 0
dado que la ecuación de la esfera con centro en (x0, y0 , z0) y radio r se escribe
como
(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2
es sencillo ver que
x0
y0
z0
r2
=0.5M12 /M11
=0.5M13 /M11
=0.5M14 /M11
=x20 + y02 + z02 − M15/M11
Note que M11 6= 0. Si no es asiı́, es porque los cuatro puntos con coplanares
o tres de ellos son colineales.
Ejercicio: Encuentre la esfera que pasa por los puntos A(0, 1, 2), B(1, 1, 1),
C(−1, 1, 1) y D(1, 0, 0).
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