Notas adicionales sobre el álgebra en el modelo de Overshooting

Universidad de Montevideo
Economı́a Internacional
Master en Finanzas
Danilo R. Trupkin
Álgebra para Modelo de Overshooting
•
Pasos para obtener la ecuación (9) de las notas de clase, es decir:
s̄ = p̄ + Ψ(i∗ , y) = m + Ψ̃(i∗ , y).
Recordemos la ecuación (7) en las mismas notas:
d = η(s − p) + γy − σi.
Recordemos también la ecuación (5):
p̄ = m − φy + λi∗ .
Si d = y, y además consideramos el largo plazo, es decir p = p̄ y s = s̄, entonces tenemos
la siguiente nueva expresión para la ecuación (7):
y = η(s̄ − p̄) + γy − σi∗ ,
(1)
lo que implica, operando solo algebraicamente, que
s̄ = p̄ + y
(1 − γ) σ ∗
+ i .
η
η
(2)
Sustituyendo la expresión de p̄, dada por la ecuación (5) de las notas, en la ecuación
(2) de arriba, tenemos precisamente que
s̄ = m − φy + λi∗ + y
(1 − γ) σ ∗
+ i = m + Ψ̃(i∗ , y),
η
η
(3)
exactamente la misma expresión (9) de las notas de clase.
•
Pasos para obtener la ecuación (10) de las notas, es decir:
.
p = −v(p − p̄).
Recordemos la expresión para la inflación:
.
p = π(d − y);
1
π>0
(4)
Si remplazamos la ecuación (7) de las notas (la de equilibrio en el mercado de bienes),
en la ecuación de arriba, tenemos
.
p = π(d − y)
= π[η(s − p) + γy − σi − y]
= π[η(s − p) + (γ − 1)y − σi]
(5)
Dado que, para todo t, se cumple la condición de paridad de intereses, y sabemos que
e
δ = θ(s̄ − s) por ecuación (2) de las notas de clase, entonces
i = i∗ + δ e = i∗ + θ(s̄ − s).
(6)
Luego, la expresión (5) de arriba queda de la siguiente manera:
.
p = π[η(s − p) + (γ − 1)y − σi∗ − σθ(s̄ − s)].
(7)
Recordemos la ecuación (6) de las notas de clase (ya falta menos!):
s = s̄ −
1
(p − p̄).
λθ
(8)
Si utilizamos esta última expresión para remplazar la variable s en la ecuacı́ón (7) de
aquı́ arriba, obtendremos la siguiente expresión:
1
1
∗
p = π η s̄ −
(p − p̄) − p + (γ − 1)y − σi − σθ (p − p̄) .
λθ
λθ
.
Ahora, utilizando la expresión (2) de arriba, de modo de remplazar ahora la variable s̄,
obtendremos la expresión siguiente de la inflación (ya falta bien poco!):
(1 − γ) σ ∗
1
1
∗
+ i −
(p − p̄) − p + (γ − 1)y − σi − σθ (p − p̄) .
p = π η p̄ + y
η
η
λθ
λθ
.
(9)
Noten que, en la ecuación de arriba, se pueden cancelar las variables y e i∗ . Luego,
ordenando algebraicamente esta última ecuación tenemos finalmente que
η + σθ
p = −π η +
(p − p̄) = −v(p − p̄),
λθ
.
donde v ≡ π η +
η+σθ
λθ
. Esta expresión es exactamente la misma que la ecuación (10) en
sus notas de clase.
.
También se puede probar que s = −v(s − s̄). Pero eso lo dejo para ustedes...
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