CAMBIO DE LA VELOCIDAD DE MUESTREO USANDO PROCESAMIENTO DE TIEMPO... Incremento de la Velocidad de Muestreo por un Factor Entero

CAMBIO DE LA VELOCIDAD DE MUESTREO USANDO PROCESAMIENTO DE TIEMPO DISCRETO
Incremento de la Velocidad de Muestreo por un Factor Entero
El incrementar la velocidad de muestreo de una señal involucra operaciones análogas a la conversión
D/C. Para ver esto, considere una señal x[n] cuya velocidad de muestreo se quiere incrementar por un
factor L. Si se considera la señal original subyacente de tiempo continuo xc(t), el objetivo es obtener la
muestras
xi[n] = xc(nT’)
(16.1)
donde T’ = T/L, a partir de la secuencia de muestras
x[n] = xc(nT)
(16.2)
A la operación de incrementar la velocidad de muestreo se le conoce como upsampling.
De las Ecuaciones (16.1) y (16.2) se tiene que
xi[n] = x[n/L] = xc(nT/L), n = 0, ±L, ±2L, …
(16.3)
La Figura 16.1 muestra muestra un sistema para obtener xi[n] a partir de x[n] mediante el uso único de
procesamiento en tiempo discreto. El sistema en la izquierda es llamado expansor de velocidad de
muestreo (sampling rate expander) o simplemente expansor. Su salida es
 x[n / L],
xe [n]  
0,
n  0  L  2 L  3L,....,
en otros casos
(16.4)
o, equivalentemente,
(16.5)
Figura 16.1. Sistema general para incrementar la velocidad de muestreo en un factor L.
La operación del sistema de la Figura 16.1 se entiende más fácilmente en el dominio de la frecuencia. La
transformada de Fourier de xe[n] se puede expresar como
(16.6)
Entonces, la transformada de Fourier de la salida del expansor es una versión escalada en frecuencia de
la transformada de Fourier de la entrada. Esto es, ω es reemplazada por ωL de tal manera que ω está
normalizada por
ω = ΩT’ .
(16.7)
Este efecto se ilustra en la Figura 16.2. La Figura 16.2(a) muestra una transformada de Fourier de tiempo
continuo con banda de frecuencia limitada, y la Figura 16.2(b) muestra la DTFT de la secuencia x[n] =
xx(nT), donde π/T = ΩN. La Figura 16.2(c) muestra
de acuerdo a la Ecuación (16.6), con L = 2, y la
Figura 16.2(e) muestra la transformada de Fourier de la señal deseada xi[n]. Se puede ver que
se puede obtener de
cambiando el escalamiento de amplitud de 1/T a 1/T’ y removiendo todas
las imágenes escaladas en frecuencia de Xc(jΩ) excepto múltiples enteros de 2π. Para el caso descrito en
la Figura 16.2, se requiere un filtro pasa bajas con una ganancia de 2 y frecuencia de corte π/2, como se
muestra en la Figura 16.2(d). En general, la ganancia requerida sería L, ya que L(1/T) = [1/(T/L)] = 1/T’, y
la frecuencia de corte sería π/L.
Este ejemplo muestra que el sistema de la Figura 16.1 provee una salida que satisface la Ecuación (16.1)
si la secuencia de entrada x[n] = xc(nT) se obtuvo mediante el muestreo sin aliasing. El sistema, por lo
tanto, se conoce como interpolador, ya que llena los espacios en las muestras faltantes, y la operación
de incremento de velocidad de muestreo se considera un sinónimo de la interpolación.
Tal como en el caso del convertidor D/C, es posible obtener una fórmula de interpolación para xi[n] en
términos de x[n]. Primero nótese que la respuesta al impulso del filtro pasa bajas en la Figura 16.1 es
(16.8)
Usando la Ecuación (16.5), se obtiene
(16.9)
La respuesta al impulso hi[n] tiene las propiedades
hi[o] = 1,
hi[n] = 0, n = 0, ±L, ±2L, …
Entonces, para el filtro ideal de interpolación pasa bajas, se tiene
(16.10)
xi[n] = x[n/L] = xc(nT/L) = xc(nT’), n = 0, ±L, ±2L, …
(16.11)
como se desea. El hecho de que xi[n] = xc(nT’) para todo valor de n se deriva del argumento en el
dominio de la frecuencia.
En la práctica, los filtros pasa bajas ideales no pueden ser implementados exactamente, pero se pueden
obtener buenas aproximaciones.
Figura 16.2. Ilustración de interpolación en el dominio de la frecuencia.
Cambio de la Velocidad de Muestreo por un Factor No Entero
Combinando decimación e interpolación es posible cambiar la velocidad de muestreo por un factor no
entero. Específicamente, considere la Figura 16.3(a), la cual muestra un interpolador que reduce el
periodo de muestre de T a T/L, seguido por un decimador que incremente el periodo de muestreo en un
factor M, produciendo una secuencia de salida
que tiene un periodo de muestreo T’ = TM/L.
Seleccionando tanto L como M apropiadamente, se puede obtener una aproximación arbitrariamente
cercana a cualquier cociente de periodos de muestreo. Por ejemplo, si L = 100 y M = 101, entonces T’ =
1.01T.
Si M > L, hay un incremento neto en el periodo de muestreo (un decremento en la velocidad de
muestreo), y si M < L, se tiene el caso opuesto. Ya que los filtros de interpolación y decimación de la
Figura 16.3(a) están en cascada, pueden ser combinados como se muestra en la Figura 16.3(b) en un
filtro pasa bajas con ganancia L y frecuencia de corte igual al mínimo de los valores π/L y π/M. Si M > L,
entonces π/M es la frecuencia de corte dominante, y si hay una reducción neta de la velocidad de
muestreo. Si x[n] resulta del muestreo a la velocidad de muestreo de Nyquist, la secuencia
será
una versión filtrada pasa bajas de la señal original subyacente con banda de frecuencia limitada si se
desea si ha de evitarse el aliasing. Por el contrario, si M < L, entonces π/L es la frecuencia de corte
dominante, y no habrá necesidad de limitar más el ancho de banda de la señal por debajo de la
frecuencia de Nyquist.
Figura 16.3. (a) Sistema para cambiar la velocidad de muestreo por un factor no entero.
(b) Sistema simplificado en el que los filtros de decimación e interpolación son combinados.