formulacion del problema de programacion lineal

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA
100404- PROGRAMACION LINEAL
Act. No. 4. Lección Evaluativa N° 1
FORMULACION DEL PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL
Aunque se ponga en duda, la parte más difícil de PL es reconocer cuándo ésta
puede aplicarse y formular el problema matemáticamente. Una vez hecha esa
parte, resolver el problema casi siempre es fácil.
Para formular un problema en forma matemática, deben expresarse afirmaciones
lógicas en términos matemáticos. Esto se realiza cuando se resuelven “problemas
hablados” al estudiar un curso de álgebra. Algo muy parecido sucede aquí al
formular las restricciones. Por ejemplo, considérese la siguiente afirmación: A usa
3 horas por unidad y B usa 2 horas por unidad. Si deben usarse todas las 100
horas disponibles, la restricción será:
3A + 2B = 100
Sin embargo, en la mayoría de las situaciones de negocios, no es obligatorio que
se usen todos los recursos (en este caso, horas de mano de obra). Más bien la
limitación es que se use, cuando mucho, lo que se tiene disponible. Para este
caso, la afirmación anterior puede escribirse como una desigualdad:
3A + 2B <= 100
Para que sea aceptable para PL, cada restricción debe ser una suma de variables
con exponente 1. Los cuadrados, las raíces cuadradas, etc. no son aceptables, ni
tampoco los productos de variables. Además, la forma estándar para una
restricción pone a todas las variables del lado izquierdo y sólo una constante
positiva o cero del lado derecho. Esto puede requerir algún reacomodo de los
términos. Si, por ejemplo, la restricción es que A debe ser por los menos el doble
de B, esto puede escribirse como:
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A <= 2B ó A - 2B <= 0
EL MODELO DE PROGRAMACION LINEAL
Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de
distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de
actividades bajo consideración.
Z = valor de la medida global de efectividad.
Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n).
Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la
actividad j.
bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para
i = 1,2,...,m).
aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j.
ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PROGRAMACION LINEAL
Función objetivo. Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la
cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función
objetivo se maximizar o minimiza.
Variables de decisión. Son las incógnitas del problema. La definición de las
variables es el punto clave y básicamente consiste en los niveles de todas las
actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.
Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier
solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de
capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc.
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Condición técnica. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en
algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.
DIFERENTES FORMAS DE MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL
Supóngase que existe cualquier número (digamos m) de recursos limitados de
cualquier tipo, que se pueden asignar entre cualquier número (digamos n) de
actividades competitivas de cualquier clase. Etiquétense los recursos con números
(1, 2, ..., m) al igual que las actividades (1, 2, ..., n). Sea xj (una variable de
decisión) el nivel de la actividad j, para j = 1, 2, ..., n, y sea Z la medida de
efectividad global seleccionada. Sea cj el incremento que resulta en Z por cada
incremento unitario en xj (para j = 1, 2, ..., n). Ahora sea bi la cantidad disponible
del recurso i (para i = 1, 2, ..., m). Por último defínase aij como la cantidad de
recurso i que consume cada unidad de la actividad j (para i = 1, 2, ..., m y j = 1, 2,
..., n). Se puede formular el modelo matemático para el problema general de
asignar recursos a actividades. En particular, este modelo consiste en elegir
valores de x1, x2, ..., xn para:
Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn,
sujeto a las restricciones:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn <= b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn <= b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <= bm y
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0
FORMA ESTANDAR
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Ésta se llamará nuestra forma estándar (porque algunos libros de texto adoptan
otras formas) para el problema de PL. Cualquier situación cuya formulación
matemática se ajuste a este modelo es un problema de PL.
En este momento se puede resumir la terminología que usaremos para los
modelos de PL. La función que se desea maximizar, c1x1 + c2x2 + ... + cnxn, se
llama función objetivo. Por lo general, se hace referencia a las limitaciones como
restricciones. Las primeras m restricciones (aquellas con una función del tipo ai1x1
+ ai2x2 + ... + ainxn, que representa el consumo total del recurso i) reciben el
nombre de restricciones funcionales. De manera parecida, las restricciones xj >= 0
se llaman restricciones de no negatividad. Las variables xj son las variables de
decisión. Las constantes de entrada, aij, bi, cj, reciben el nombre de parámetros
del modelo.
OTRAS FORMAS DE MODELOS DE PL
Es conveniente agregar que el modelo anterior no se ajusta a la forma natural de
algunos problemas de programación lineal. Las otras formas legítimas son las
siguientes:
1. Minimizar en lugar de maximizar la función objetivo:
Minimizar Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn,
2. Algunas restricciones funcionales con desigualdad en el sentido mayor o igual:
ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn, ≥ bi, para algunos valores de i,
3. Algunas restricciones funcionales en forma de ecuación:
ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn, = bi, para algunos valores de i,
4. Las variables de decisión sin la restricción de no negatividad: xj no restringida
en signo para algunos valores de j.
Cualquier problema que incluya una, varias o todas estas formas del modelo
anterior también se clasifica como un problema de PL, siempre y cuando éstas
sean las únicas formas nuevas introducidas. Puede ser que la interpretación que
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se ha dado de asignación de recursos limitados entre actividades que compiten no
se aplique, pero independientemente de la interpretación o el contexto, lo único
que se necesita es que la formulación matemática del problema se ajuste a las
formas permitidas. Se verá que estas otras cuatro formas legales se pueden
reescribir en una forma equivalente para que se ajuste al modelo que se presentó.
Entonces, todo problema de PL se puede poner en nuestra forma estándar si se
desea.
FORMULACION ALGEBRAICA
Todo problema de PL puede representarse como:
Max (z) =c1x1+c2x2+...+cnxn
sujeto a:
a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn <= b1
a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn <= b2
...
am1x1 + am2x2 +...+ amnxn <= bm
x1, x2, ...,xn >= 0
siendo:
xj: Nivel de actividad de la variable xj
cj: Contribución unitaria de xj a función objetivo
aij: Coeficiente técnico, unidades de recurso i que se consumen por unidad de
variable j
bi: Cantidad disponible de recurso i
Otra representación:
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En forma matricial:
Max (z) = C x
sujeto a:
Ax <= b
x >=0
A esta forma se la denomina forma canónica
IMPLEMENTACION DE LA SOLUCION
El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo
largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones.
Después de determinar la validez de una solución y verificar su consistencia con el
criterio global, se podría pensar que la decisión es automática. Esto en verdad en
un sentido pero no en otros. El proceso de hacer y manejar modelos en
investigación de operaciones puede verse como proporcionando una información
de entrada al sujeto responsable de decidir, pero éste recibe otras informaciones
que pueden ser igualmente importantes incluyendo las puramente cualitativas o de
naturaleza subjetiva. De hecho muchos resultados de la investigación de
operaciones se tratan como planes iniciales que se pueden modificar.
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LA SOLUCION DEL PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL Y SU
IMPLEMENTACION
ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES DE SOLUCION
Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro
de los cuales no cambia la solución del problema.
Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la
solución debido a cambios en los parámetros del modelo. Usualmente esto se
conoce como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
CONCEPTO:
El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber
ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a
programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la
programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un
resultado óptimo.
La programación lineal es una técnica de investigación de operaciones para la
determinación de la asignación optima de recursos escasos cuando la función
objetivo y las restricciones son lineales. Es una manera eficiente de resolver estos
problemas cuando se debe hacer una elección de alternativas muy numerosas
que no pueden evaluarse intuitivamente por los métodos convencionales.
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