Rango de una matriz

recordemos un poco
rango de una matriz
Rango de una matriz
Jana Rodriguez Hertz
GAL 1
IMERL
2 de abril de 2013
recordemos un poco
rango de una matriz
rango
rango
recordemos: rango
si A = {A1 , A2 , . . . , An } conjunto de vectores de Kn
llamamos
rango(A)
a la máxima cantidad de vectores L.I. que podemos
encontrar dentro de A
recordemos un poco
rango de una matriz
rango
ejemplo
ejemplo
calcular el rango de:

 
 
1
2




 
 

 −1   −2  
 1 , 2 ,

 
 


 1   2  



1
2
1
1
1
1
1
 
 
 
,
 
 
0
1
2
0
4
 
 
 
,
 
 
1
0
5
1
9
 
 
 
,
 
 
1
−1
3
3
3












recordemos un poco
rango de una matriz
rango
ejemplo
ejemplo
planteamos la ecuación de dependencia lineal:




1
2
 −1 
 −2 






1  + x2 
2  + x3 
x1 



1 
2 
1
2

1
1
1
1
1



0

 1 





 + x4  2  + x5 

 0 

4

1
0
5
1
9


1

 −1 



3  =~
0
 + x6 


3 

3
recordemos un poco
rango de una matriz
rango
ejemplo
ejemplo
queda el sistema:

x1




−x

1
x1


x1



x1
+
−
+
+
+
2x2
2x2
2x2
2x2
2x2
+
+
+
+
+
x3
x3 + x4
x3 + 2x4
x3
x3 + 4x4
x5 + x6
− x6
+ 5x5 + 3x6
+ x5 + 3x6
+ 9x5 + 3x6
+
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
recordemos un poco
rango de una matriz
rango
ejemplo
ejemplo
escalerizamos

x1 + 2x2 + x3




2x3 +






+ x5 + x6
x4 + x5
2x4 + 4x5 + 2x6
2x6
4x4 + 8x5 + 2x6
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
recordemos un poco
rango de una matriz
rango
ejemplo
ejemplo
escalerizamos

x1 + 2x2 + x3




2x3 +






+ x5 + x6
x4 + x5
2x4 + 4x5 + 2x6
2x6
− 2x6
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
recordemos un poco
rango de una matriz
rango
ejemplo
ejemplo
escalerizamos

x1 + 2x2 +






x3
2x3 +
+ x5 + x6
x4 + x5
2x4 + 4x5 + 2x6
2x6
=
=
=
=
0
0
0
0
recordemos un poco
rango de una matriz
rango
ejemplo
ejemplo
escalerizamos

x1 + 2x2 +






x3
2x3 +
+ x5 + x6
x4 + x5
2x4 + 4x5 + 2x6
2x6
=
=
=
=
0
0
0
0
recordemos un poco
rango de una matriz
rango
ejemplo
ejemplo
escalerizamos

x1







+ 2x2 +
x3
2x3







x5 +
x6 = 0
x4 + x5
2x4
+ 4x5 +
= 0
+
+
2x6 = 0
2x6
= 0
si eliminamos las columnas correspondientes a A2 y A5
el sistema queda determinado ⇒ A1 , A3 , A4 , A6 son L.I.
⇒ rango(A) ≥ 4
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rango de una matriz
rango
ejemplo
ejemplo
escalerizamos

x1







+ 2x2 +
x3
2x3
x5 +
x6 = 0
x4 + x5
2x4
+ 4x5 +
= 0
+
+







por otro lado, como vimos la clase 1, A2 y A5
son C.L. de A1 , A3 , A4 , A6
⇒ rango(A) = 4
2x6 = 0
2x6
= 0
recordemos un poco
rango de una matriz
rango por filas y por columnas
rango por columnas
rango por columnas
si A ∈ Mm×n (K) matriz m × n,
llamamos rango por columnas de A,
rangoC (A)
al rango del conjunto de columnas de A
recordemos un poco
rango de una matriz
rango por filas y por columnas
rango por filas
rango por filas
si A ∈ Mm×n (K) matriz m × n,
llamamos rango por filas de A,
rangoF (A)
al rango del conjunto de filas de A
recordemos un poco
rango de una matriz
rango por filas y por columnas
proposición
proposición
si A ∈ Mm×n (K) es una matriz m × n
entonces
rangoC (A) = rangoF (A) = E
donde E es la cantidad de escalones
de cualquier forma escalerizada de A
recordemos un poco
rango por filas y por columnas
demostración
demostración: rangoC (A) = E
supongamos que una matriz tiene E escalones
⇒ tiene C ≥ E columnas
si C = E entonces es un sistema determinado (x
Rouché-Frobenius)
⇒ hay C = E columnas L.I.
⇒ rangoC (A) = C = E
rango de una matriz
recordemos un poco
rango de una matriz
rango por filas y por columnas
demostración
demostración: rangoC (A) = E
si C > E
eliminemos las columnas que no están al comienzo de un
escalón
como hicimos en el ejemplo
⇒ queda un sistema determinado
⇒ hay E columnas L.I.
⇒ rangoC (A) ≥ E
las otras C − E columnas se pueden escribir como C.L. de
estas E
⇒ rangoC (A) = E
recordemos un poco
rango de una matriz
rango por filas y por columnas
demostración
demostración: rangoF (A) = E
si F es la cantidad de filas de A
entonces F ≥ E
si F = E ninguna fila se puede escribir como C.L. de las
otras
porque si no habría filas que se hacen 0
por lo tanto las F filas son un conjunto L.I.
⇒ rangoF (A) = F = E
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rango de una matriz
rango por filas y por columnas
demostración
demostración: rangoF (A) = E
si F > E
quiere decir que hay E filas que son L.I.
y que hay F − E filas que son C.L de las E primeras
⇒ rangoF (A) = E
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rango de una matriz
teorema de Rouché-Frobenius
teorema de Rouché-Frobenius, revisado
teorema de Rouché-Frobenius, versión rango
si AX = b es un sistema m × n, entonces el sistema es
compatible ⇐⇒ rango(A) = rango(A|b)
si AX = b es compatible, entonces es
determinado ⇐⇒ rango(A) = n
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rango de una matriz
rango e inversa
rango e inversa
rango e inversa
si A ∈ Mn (K) matriz cuadrada
A es invertible
m
rango(A) = n
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rango de una matriz
rango e inversa
demostración
demostración: ⇒
supongamos que A es invertible
planteamos la ecuación de independencia lineal:
x1 A1 + x2 A2 + · · · + xn An = ~0
escrita en forma de producto matricial queda:
AX = ~0
con X = (x1 , x2 , . . . , xn )
⇒
A−1 AX = ~0
⇒ X = ~0
las columnas de A son L.I.
⇒ rango(A) = n
recordemos un poco
rango de una matriz
rango e inversa
demostración
demostración: ⇐
supongamos que rango(A) = n
entonces cada uno de los sistemas
 
 

1
0
0
 0 
 1 
 0
 
 

AX =  .  , AX =  .  , . . . , AX =  .
.
.
 . 
 . 
 ..
0
0
1





tiene solución, las llamamos X1 , X2 , . . . , Xn
La matriz B = (X1 X2 . . . Xn ) es la inversa a derecha de A
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rango de una matriz
rango e inversa
demostración
demostración: ⇐
en efecto
AB = (AX1
⇒



AB = 

AX2
...
AXn )

1 0 ... 0
0 1 ... 0 

.. .. . . .. 
. . 
. .
0 0 ... 1
observemos que hemos probado que si rango(A) = n
entonces A tiene inversa a derecha
recordemos un poco
rango de una matriz
rango e inversa
demostración
demostración: ⇐
veamos que A también tiene inversa a izquierda
queremos mostrar que hay una matriz C tal que
CA = I
esto pasará si y sólo si
(CA)t = At C t = I t = I
ahora, observemos que rango(At ) = n
esto pasa porque
rango(At ) = rangoC (At ) = rangoF (A) = rango(A) = n
recordemos un poco
rango de una matriz
rango e inversa
demostración
demostración: ⇐
entonces At tiene inversa a derecha
⇒
At D = I
aplicamos traspuesta ⇒
Dt A = I t = I
⇒ A tiene inversa a izquierda
recordemos un poco
rango de una matriz
rango e inversa
demostración
demostración: ⇐
ahora falta ver que si A tiene inversa a derecha, e inversa
a izquierda,
ambas inversas coinciden
supongamos: AB = I y CA = I, entonces:
C = CI = C(AB) = (CA)B = IB = B
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rango e inversa
corolario
corolario
A invertible a derecha ⇒ A invertible