sobre la cuantización sobre la cuantización

Sobre la cuantización
de la carga
eléctrica
José
José Miguel
Miguel Cabarcas,
Cabarcas, Sergio
Sergio Ferrari
Ferrari
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Sobre la cuantización de la carga eléctrica
La física es, tal vez, una de las ciencias que más avances ha tenido en los últimos dos siglos.
Después de la magnífica descripción de la cinemática y la dinámica formulada por sir Isaac
Newton en el siglo XVII, y de los trabajos sobre electromagnetismo de James Clerk Maxwell, a
inicios del siglo XVIII, parecía que el estudio de los fenómenos de la naturaleza había terminado, a tal punto que físicos respetados de la época, como William Thomson, a quien se conoce
como primer barón Kelvin, afirmaban que el final de esta ciencia era inminente. Pero bastó con
que genios como Max Planck, Erwin Schrödinger, Wolfgang Pauli, Werner Heisenberg, Albert
Einstein y Paul Dirac, entre otros, observaran detalladamente la naturaleza y notaran que las
leyes físicas disponibles hasta el momento no representaban completamente los fenómenos
de escala microscópica para darle un impulso adicional a esta área del conocimiento. Fue
entonces, a inicios del siglo XX, que la física obtuvo el mayor boom de la historia y cuando
surgió el término mecánica cuántica, para describir los fenómenos de la escala microscópica.
Entre los resultados básicos de la mecánica cuántica se estableció que cantidades físicas,
como la energía de los distintos niveles atómicos, están cuantizadas. Esto significa, siguiendo
el ejemplo, que la energía de los diferentes niveles atómicos son un múltiplo entero de alguFuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ferrofluid_poles.jpg
54 Hipótesis, Apuntes científicos uniandinos, núm. 15, noviembre del 2013
José Miguel Cabarcas
Ph. D. Profesor del Departamento
de Ciencias Básicas de la
Universidad Santo Tomás, Colombia.
[email protected]
Sergio Ferrari
Ph. D. Profesor de la Facultad de
Ingeniería de la Universidad de
Buenos Aires, Argentina.
[email protected]
na cantidad fundamental denominada, en este caso particular,
cuanto de energía. Por lo tanto, podemos, de cierta forma, afirmar que la cuantización implica el conocimiento de una cantidad fundamental y de una regla de multiplicación que generará
todos los posibles valores asociados y medibles de una cantidad
física establecida.
Mientras que para la gran mayoría de las cantidades físicas
que están cuantizadas hay una explicación derivada de la física
cuántica —y de la matemática implicada—, por otra parte, la
cuantización de la carga eléctrica es, al menos hasta el momento de escritura del presente artículo, un problema abierto en la
física. Sin embargo, existe enorme evidencia experimental que
muestra que esta cantidad está cuantizada, es decir, es múltiplo
de una cantidad fundamental. En el presente artículo se presentará una revisión de los principales resultados y explicaciones de
los físicos que pretenden resolver este fenómeno.
Acerca de la carga carga eléctrica
(un poco de historia)
La validación de cualquier teoría física está siempre sujeta al
experimento, o, de modo equivalente, es la naturaleza la responsable de validar o refutar las distintas ideas o representaciones que sobre ella construimos. Mediante la observación de los
fenómenos del universo se estableció que se evidenciaba una
interesante propiedad de la materia cuando se frotaban entre
sí dos superficies. En algunos casos, cuando la materia era de
carácter resinoso y se frotaba con la piel, o cuando era vítreo y
se frotaba con seda, después de frotadas se observaban respuestas distintas a las interacciones resina-resina, vitreo-vitreo
o vítreo-resina, lo cual generó el estudio de una propiedad adicional de la materia que posteriormente se denominaría interacción electromagnética. Debido a que se observaba que en
algunos casos la interacción era de tipo atractivo, y en otros de
tipo repulsivo, se postuló que dicha propiedad —llamada carga eléctrica— debía tener dos representaciones: una positiva
y otra negativa. Así, cuando los materiales tenían el mismo tipo
de carga, presentaban repulsión entre sí, y cuando tenían carga
opuesta, experimentaban atracción entre sí.
Actualmente sabemos, por los experimentos realizados en el
siglo XX (empezando por el más importante, desarrollado por
Millikan [1-3]), que existe una partícula fundamental llamada
electrón, que tiene una carga (simbolizada por la letra e ) igual a
1,602176487 x 10–19 culombios [4], que es la responsable del
fenómeno de la interacción eléctrica1.
Por otra parte, mediante los experimentos de Rutherford y otros
([5-7] y otros trabajos) se demostró que la carga eléctrica del
1 No se pretende en el presente artículo generar una discusión epistemológica sobre la
naturaleza o existencia de las partículas que se mencionarán, sino simplemente dar por
sentado que hay evidencia experimental de que tales objetos existen.
núcleo más simple de la materia era exactamente igual en intensidad que la del electrón, pero presentaba un comportamiento
opuesto a este en fenómenos eléctricos. Adicionalmente, el estudio del núcleo atómico arrojó como resultado el hecho de que
este es una entidad compuesta que tiene elementos cargados
(protones) y otros carentes de la propiedad de carga (neutrones)
[12]. Nuevamente se observaba que para que el átomo resultante de la composición de varios protones y varios electrones fuese
neutro —y por lo tanto, estable— era necesario que el número
de unos y otros fuese exactamente igual.
A medida que se avanzó en el diseño de experimentos electromagnéticos se descubrieron partículas adicionales —el muón
(μ) [13] y el taón (τ) [14]— que respondían exactamente igual
que el electrón frente a la interacción electromagnética, con
una sola diferencia observable: que sus masas y, por ende,
sus tiempos de vida eran menores. De igual forma, mediante
experimentos de choques entre átomos fue posible descubrir
un grupo significativo de partículas adicionales, que en principio
son generadas de manera natural en el universo. Debido a que
este grupo de partículas responde de manera diferente que el
electrón, el muón y el taón frente a procesos radiactivos, fueron
incluidos en otro grupo denominado hadrones.
La gran conclusión del siglo XX, soportada por la evidencia experimental, es que en todas las partículas que tienen la mencionada carga eléctrica, el valor de esta se puede representar
mediante un múltiplo entero de la cantidad fundamental observada en el electrón.
El monopolo magnético como respuesta
a la cuantización de la carga
La solución más simple al desafío de encontrar una explicación
a la cuantización de la carga eléctrica proviene precisamente del
análisis de los fenómenos electromagnéticos.
Actualmente la mayoría de los seres humanos estamos relacionados con los fenómenos del magnetismo, y de igual forma
casi todos hemos tenido acceso a algún imán. Supongamos que
tenemos un imán, y que por algún tipo de mecanismo podemos
identificar sus dos polos: norte y sur. De igual forma, supongamos que podemos cortar el imán justo por la mitad y que utilizamos el mismo mecanismo para determinar sus polos. ¿Cuál
sería el resultado de la identificación de los polos? La realidad
indica que, nuevamente, cada mitad del imán tiene un polo norte
y un polo sur. Supongamos ahora que podemos repetir el experimento muchas veces y que podemos cortar muchas veces el
imán, y el resultado sería que cada una de las pequeñas piezas
magnéticas que se obtendrían tendría, a su vez, sus propios polos norte y sur. Aunque el experimento mental parece trivial, contiene una importantísima información conceptual, ya que valida
una de las leyes del electromagnetismo al establecer que sería
imposible conseguir monopolos magnéticos libres. Esta ley es
Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias 55
Fuente: http://www.flickr.com/photos/daynoir/2181293650/in/photostream/lightbox/
conocida como ley de Gauss para campos magnéticos, y establece que el flujo neto del campo magnético en una superficie
de Gauss es nulo, o bien que a la escala de energía en la que
vivimos no existen cargas magnéticas libres (monopolos).
Cabe destacar que en este texto se ha introducido varias veces
el problema de las escalas o, lo que es lo mismo, se está tratando de establecer teorías microscópicas o de partículas elementales. Es válido, por tanto, interpretar este resultado a la luz de la
teoría cuántica de campos.
La solución más sencilla posible al problema de la cuantización
de la carga eléctrica es debida a P. A. M. Dirac, y se obtiene
por medio del análisis de la relación magnetismo-electricidad.
En 1931, Dirac [15] estableció que era posible suponer teóricamente la existencia de una partícula elemental denominada
monopolo magnético (MM) y expresar sus interacciones en el
formalismo de la teoría cuántica de campos. El truco para no
ir en contravía de las leyes de Maxwell para el electromagnetismo consiste en suponer que, en la escala microscópica que
estamos manejando, un polo del imán está infinitamente lejos
del otro, y que a esa escala es como si prácticamente solo se
pudiese ver o estudiar un polo. Vale la pena aclarar que no se
está afirmando categóricamente que se pueda conseguir un MM
libre en la naturaleza, sino que, debido a la escala en la cual
estamos haciendo el modelo, un polo está muy distante del otro.
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Si esto es posible, para esa región del espacio puede definirse
una atracción o repulsión magnética que variaría de modo inversamente proporcional al cuadrado de la distancia2, es decir que
entre más lejos, menor será el efecto que se tendrá. Ahora bien,
si suponemos que el MM emite un campo magnético radial,
podemos calcular la cantidad de campo que pasa por un área
específica en un determinado tiempo, a lo cual denominaremos
flujo. Es claro que el flujo que obtenemos para este caso es no
nulo y equivalente a un factor de área por su intensidad. Si colocamos una partícula con carga eléctrica en ese campo, debe
sentir el efecto de la señal emitida por el MM.
A escala cuántica, las partículas presentan comportamientos
ondulatorios o equivalentemente que pueden ser descritos
mediante ondas. Debido a que una onda es un fenómeno de
periodicidad, de algo que va y viene, o de algo que sube y baja
armónicamente, esta propiedad debe estar reflejada en la onda
que describe el electrón, es decir, por cierto tiempo, o cada vez
que complete una vuelta (o sea, que recorra un ángulo de 360°
= 2π radianes), debe mostrar las mismas propiedades. Ya que
no sabemos cuántas “vueltas” puede haber dado el electrón,
por efecto del campo generado por el MM podemos diferenciar
2 Esta suposición está basada en la simetría que existe entre la electricidad y el magnetismo, de donde se sabe que el campo eléctrico varía de modo inverso en una cuantía
equivalente al cuadrado de la distancia existente respecto de la fuente.
Fuente: http://www.flickr.com/photos/oskay/4581194252/in/photostream/
todas las posibilidades al multiplicar por 1, 2 o 3, etc., o, para
escribirlo de modo más compacto, 2π n, con n = 1, 2,… Nótese
que esta cualidad ondulatoria nos está generando una cuantización de una cantidad fundamental relacionada con el electrón,
y debido a que no es su masa, está cuantizando la carga eléctrica. El resultado al cual llegó Dirac, específicamente, es que la
carga eléctrica del electrón está dada por e = nhc/4πg, siendo
n un número entero (n = 1, 2, 3, etc.), siendo h la constante
de Planck3, conclusión que da cuenta de la teoría microscópica
que se construyó. Este resultado indica claramente que la carga
eléctrica está cuantizada por efecto del MM y provee una solución al problema fenomenológico planteado.
La solución de Dirac al problema de la cuantización de la carga
eléctrica, aunque es muy simple, contiene una riqueza teórica y
conceptual significativa, ya que establece que si existe al menos
un monopolo magnético en la naturaleza, es posible demostrar
la cuantización de la carga eléctrica.
Para los lectores más escépticos4 se puede mencionar que existe otro acercamiento al problema de la cuantización de la carga
eléctrica, ideado por Polyakov en 1984, y en el formalismo de los
objetos topológicos tratados en la teoría de campos5. Polyakov
establece que si en la naturaleza existe una partícula adicional
que es responsable del rompimiento de la simetría entre la electricidad y el magnetismo, esa partícula también es responsable
de la generación del campo magnético, de donde supone que
existe un MM, lo cual implicaría nuevamente que la carga eléctrica estuviese cuantizada por la mencionada partícula, de donde
se llega a la conclusión de que el acercamiento de Polyakov es
igual al de Dirac.
Existen muchas teorías en física que contienen MM como partes fundamentales de las mismas; por tanto, también hay un
grupo considerable de físicos que quisiera que estos MM fuesen
detectados.
En el experimento del CERN —denominado large hadron collider—, ubicado en la frontera entre Suiza y Francia, un programa
experimental contempla la posible detección de monopolos, y
se busca tener los suficientes datos estadísticos para obtener
resultados satisfactorios al respecto.
3 La constante de Planck es la cantidad más utilizada en fenómenos microscópicos,
principalmente debido a que la energía e impulso de partículas son múltiplos de ella.
4 Debido a que en la hipótesis de Dirac se supone que el otro polo está muy lejos, puede
decirse que bajo ningún punto de vista se puede separar el efecto del otro polo del imán,
lo que hace la demostración dudosa.
5 Básicamente, esta teoría es también la unión de relatividad y mecánica cuántica, pero
ahora el espacio-tiempo también considera la gravitación.
Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias 57
Fuente: http://www.flickr.com/photos/parksdh/
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Búsquedas experimentales
de monopolos magnéticos
Para terminar es necesario mencionar los esfuerzos actuales
para la detección de monopolos magnéticos a escala mundial:
el 14 de febrero de 1982 Blas Cabrera, un científico español
que trabajaba en la Universidad de Stanford, anunció el descubrimiento y detección de MM (véase [16]). Sin embargo, los
resultados del experimento nunca pudieron volver a ser observados, por lo cual, haciendo acto de fe en la buena voluntad
y sinceridad de Blas Cabrera, se supondría que los monopolos
son tan difícilmente detectables que él tuvo el privilegio de ver
uno. El siguiente es un listado de experimentos que han buscado
evidencias de monopolos magnéticos:
•
•
•
HERA, en CERN: colaboración H1 en el año 2005, no obtuvo resultados de monopolos.
Tevatron en Fermilab: experimento FNAL 2006, sin resultados de monopolos. En ese año Milton [17] escribió un
resumen sobre las búsquedas de monopolos.
Experimento LEP en CERN: colaboraciones MODAL y OPAL
en el año 2008, sin resultados de monopolos.
•
Experimento LHC en CERN: experimento MoEDAL propuesto para llevar a cabo, y en el que se tienen las mayores
expectativas.
Posibles aplicaciones de
los monopolos magnéticos
La posible detección experimental de un monopolo magnético
cambiaría la forma de ver el electromagnetismo, y seguramente
generaría una valiosa sinergia, que a su vez produciría avances
trascendentales en la ingeniería.
Entre las aplicaciones más sonadas y aplicables a la ingeniería
están la levitación magnética y la construcción de materiales ultrarresistentes. Si se pudiese desarrollar la levitación magnética
sobre dos superficies, podrían fijarse MM que al estar cercanos
generarían efectos de repulsión. Al aumentar la intensidad del
campo magnético del MM podría generarse suficiente levitación
entre las dos superficies. Si las superficies son, por ejemplo, un
riel y la base de un tren, podrían desarrollarse trenes de levitación magnética que serían altamente más económicos que los
actuales. •
REFERENCIAS
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Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias 59