Modelado Consideraciones Función de transferencia

Consideraciones
Modelado
Causalidad = entrada actual depende
(posiblemente) de las entradas pasadas, pero no
puede depender de las entradas futuras.
Simplicidad versus precisión.
Lineales si es posible.
Función de transferencia
Un modelo matemático para un sistema descrito
por una ecuación diferencial lineal e invariante en el
tiempo.
Para caracterizar la relación entre la entrada y la
salida del sistema.
Es la transformada Laplace de la salida divido entre
la transformada Laplace de la entrada.
Se supone que todas las condiciones iniciales son
cero.
G(s)
=
Y (s)
L[fout (t)]
=
X(s)
L[fin (t)]
Y (s)
=
G(s)X(s)
=
Z
y(t)
t
x(t)g(t
0
⌧ )d⌧
Respuesta impulso
La entrada es la función impulso.
Su transformada Laplace es la unidad.
Y(s) = G(s); L-1[G(s)] = g(t).
g(t) se llama respuesta impulso y también
función de ponderación.
Su transformada Laplace es la función de
transferencia.
Reporte 1
Individualmente, modelen lo que se
controlará en su proyecto grupal y
calculen la función de transferencia
para la planta.
Entrega: la semana que viene.
En el blog, publicado antes del inicio de la clase.
Diagramas de bloques
Punto de suma
El signo indica si se suma o resta los señales que
llegan.
Una representación gráfica de las relaciones
entre las funciones involucradas.
Cajitas = funciones; flechitas = flujo de señales.
a
+
-
a-b
b
Punto de ramificación
Bloque funcional
G(s)
Estructuras típicas
En serie: un bloque atrás de otro bloque.
En paralelo: dos bloques uno al lado de otro,
recibiendo la misma entrada ramificada y
sumando sus salidas.
Retroalimentado: la salida de uno entra
(ramificado) al otro, restándola de la entrada
original.
Reporte 2
Individualmente, representen el sistema
que buscan controlar en el proyecto grupal
a través de un diagrama de bloque.
Entrega: en dos semanas.
En el blog, publicado antes del inicio de la clase.
http://octave.sourceforge.net/control/
octave:1> pkg install -forge control
octave:2> pkg load control
octave:3> pkg list
Package Name | Version | Installation directory
--------------+---------+----------------------control *| 2.3.52 | /Users/elisa/octave/control-2.3.52
octave:4> addpath(genpath("/Users/elisa/octave/control-2.3.52"))
octave:5> s = tf("s");
octave:6> G = 1/(s + 1);
octave:7> z = tf("z", 0.2);
octave:8> H = 0.095/(z - 0.9);
octave:9> num = {[1, 5, 7], [1]; [1, 7], [1, 5, 5]};
octave:10> den = {[1, 5, 6], [1, 2]; [1, 8, 6], [1, 3, 2]};
octave:11> sys = tf(num, den);
..........................
:
+--------+
:
: +-->| sys1 |---+
:
u : |
+--------+
| + : y
-------+
O--------->
: |
+--------+
| + :
: +-->| sys2 |---+
:
:
+--------+
:
:.........sys............:
sys = sys1 + sys2
.....................................
u : +--------+ y1
u2 +--------+ : y
------>| sys1 |---------->| sys2 |------->
: +--------+
+--------+ :
:................sys.................
sys = sys1 * sys2
u
+
+--------+
y
------>(+)----->| sys1 |-------+------->
^ +--------+
|
|
|
|
+--------+
|
+-------| sys2 |<------+
+--------+
sys = feedback(sys1, sys2)
octave:12> num1 = [0, 0, 10];
octave:13> den1 = [1, 2, 10];
octave:14> num2 = [0, 5];
octave:15> den2 = [1, 5];
octave:16> sys1 = tf(num1, den1);
octave:17> sys2 = tf(num2, den2);
octave:18> sysP = sys1 + sys2;
octave:19> sysS= sys1 * sys2;
octave:20> sysF = feedback(sys1, sys2);
Controladores automáticos
Tipos de sistemas de control
Existe una entrada de
referencia con la cual
se compara la salida
de la planta.
Produce un señar de
control para reducir la
diferencia entre la
referencia y la salida.
El error está
amplificado para su
mejor observación.
Este señal de control
lo de recibe un
actuador que modifica
la operación de la
planta.
Clasificación de controladores
Controlador
automático
On-off.
Detector de
error
+
-
Amplificador
Actuador
Planta
Proporcionales.
Integrales.
Proporcionales-integrales (PI).
Sensor
Proporcionales-derivativos (PD).
Proporcionales-integrales-derivativos (PID).
On-off
u(t) =
⇢
U1 ,
U2 ,
Proporcional
para e(t) 0,
para e(t) < 0.
u(t) = señal de salida
e(t) = señal de error
Ui = constante
Posiblemente con una brecha diferencial.
Conservar el valor hasta que el error supere un umbral.
Función de
transferencia
u(t)
=
Kp e(t)
U (s)
E(s)
=
Kp
Kp = ganancia proporcional.
Mayúsculas: transformadas Laplace.
Integral
du(t)
dt
= Ki e(t)
u(t) = Ki
U (s)
E(s)
Proporcional-integral
=
Ki
s
Z
u(t)
=
U (s)
E(s)
=
t
e(t) dt
0
Z
Kp t
Kp e(t) +
e(t) dt
Ti 0
✓
◆
1
Kp 1 +
Ti s
Ti = tiempo integral.
Ki = constante ajustable.
Proporcional-derivativa
u(t)
=
Kp e(t) + Kp Td
U (s)
E(s)
=
Kp (1 + Td s)
de(t)
dt
Td = tiempo derivativo.
PID
Z
Kp t
de(t)
u(t) = Kp e(t) +
e(t) dt + Kp Td
Ti 0
dt
✓
◆
U (s)
1
= Kp 1 +
+ Td s
E(s)
Ti s
Tipos de modelos de control
Enfoque entrada-salida.
Clásica, analítica, exacto.
Espacio de estado.
Linealización
Moderno, numérico, aproximado.
Entradas x, salidas y, variables de estado u.
.
. .
x(t) = f(x, u, t); y(t) = g(x, u, t).
En espacio de estados
Linealizado:
.
x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)
.
y(t) = C(t)y(t) +D(t)u(t)
Invariante:
.
x(t) = A x(t) +B u(t)
.
y(t) = C y(t) +D u(t)
Series de Taylor
Útiles para linealizar una función alrededor de
un punto dado.
Si lo queremos para una región, usamos el
punto intermedio de los intervalos.
Si el error es grande, habrá que linealizar por
partes.
Diagramas de flujo de señales
Representación gráfica para ecuaciones
diferenciales simultáneas.
Diagramas de flujo de señales
Contiene la misma información que un diagrama de bloques.
Es necesario transformar todas la ecuaciones
3/13/2009
Series Rule
2/2
para que estén en términos de s.
Los
nodos son
lassignal
variables
(complejas;
A: Absolutely!
The two
flow graphs
are indeed suman
equivalent.
las
entradas de las aristas entrantes).
Las
sonflow
multiplicadoras
This aristas
leads us to (ramos)
our first signal
graph reduction rule:
(dirigidas, ponderadas por constantes).
Rule 1 - Series Rule
Terminología
If a node has one (and only one!) incoming branch, and
one (and only one!) outgoing branch, the node can be
eliminated and the two branches can be combined, with
the new branch having a value equal to the product of
the original two.
Simplificación: serial
For example, the graph:
Transmitancia = ganancia entre dos nodos (en
términos de la función de transferencia entre
nodos).
b1
a1
Camino directo (camino simple en grafos).
b1 0.3 a1
a2
j b1
j
0. 3
can be reduced to:
Camino y lazo (como en grafos dirigidos).
Ganancia del lazo = producto de las
transmitancias de sus aristas.
a2
0.3
b1
a1
j 0. 3
a2
b1 0.3 a1
a2
j 0.3 a1
http://www.ittc.ku.edu/~jstiles/723/handouts/section_4_5_Signal_Flow_Graphs_package.pdf
Jim Stiles
The Univ. of Kansas
Dept. of EECS
And thus:
Rule 2 - Parallel Rule
0.75
If two nodes are connected by parallel branches—and
the branches have the same direction—the branches
can be combined into a single branch, with a value equal
to the sum of each two original branches.
j 0.5
Or another example:
a1
b1
0.3 a1
0.2 a1
j b2
1
b1
a1
An example of finding the transfer function of a system represented by a block diagram
3/13/2009
Self Loop Rule
4/4
using Mason's rule. This problem has also been worked using a matrix solution; see the
j
0
.
3
b2
file MatrixSolution.pdf.
0. 3
becomes after reduction using rule 3:
Can be reduced to:
b1
0.5
a
0.06 a1
MASON'S
GAIN
RULE
b 0.3 a
0.06
1
b1
j 0.5 a2
Simplificación: bucle
For example, the graph:
0.2
0.75 a1
a2
a1
Simplificación: paralela
a1
b1
b1
3/13/2009
1
b1
Splitting Rule
0.3 0.2 a1
0.5 a1
2/5
a
Jim
1 Stiles
The Problem:
Given the system:
j
0.94
b1
0.3 a1
a1
b2
b2
b1
The Univ. of Kansas
Dept. of EECS
j
0. 3
0.94
G4(s)
Rule 4 – Splitting Rule
http://www.ittc.ku.edu/~jstiles/723/handouts/section_4_5_Signal_Flow_Graphs_package.pdf
Q: Wait a minute! I think you forgot something. Shouldn’t
http://www.ittc.ku.edu/~jstiles/723/handouts/section_4_5_Signal_Flow_Graphs_package.pdf
Jim Stiles
The Univ. of Kansas
Dept. of EECS
If a node has one (and only one!) incoming branch, and
one (or more) exiting branches, the incoming branch
can be “split”, and directly combined with each of the
exiting branches.
you also divide the 0.3 branch value by 1 0.06
R (s)
G1(s)
G2(s)
G3(s)
0.94 ??
Σ
A: Nope! The 0.3 branch is exiting the self-loop node a1.
Only incoming branches (e.g., the –j branch) to the selfloop node are modified by the self-loop rule!
Simplificación: ramificación
C (s)
H (s)
Regla
de gananciaH de
Mason
(s)
1
2
For example:
a1
0.3
j
H3(s)
a2
b1
a2
a3
b1
a3
j 0.3
a2
b1
j
Mason's Gain Rule:
0.2
can be rewritten as:
a1
j a1
0.3 b1
0.2 b1
0. 2
a3
∑M ∆
j
b1
a2
a3
M=
j a1
j 0.3 a1
0.2 b1
j
∆
j
M=
P
j
Mj
j
M = transfer function or gain of the system
Mj = gain of one forward path
j = an integer representing the forward paths in the system
∆j = 1 – the loops remaining after removing path j. If none
remain, then ∆j = 1.
∆ = 1 - Σ loop gains + Σ nontouching loop gains taken two at a
time - Σ nontouching loop gains taken three at a time + Σ
nontouching loop gains taken four at a time - · · ·
Jim Stiles
http://www.ittc.ku.edu/~jstiles/723/handouts/section_4_5_Signal_Flow_Graphs_package.pdf
1
The Univ. of Kansas
Dept. of EECS
http://www.tomzap.com/notes/AutomaticControlsEE362K/MasonsRule.pdf
1) Find the forward paths and their gains:
A forward path is a path from R(s) to C(s) that does not cross the same point
Respuesta transitoria
Análisis en el dominio del tiempo
Respuesta estacionaria
Análisis de lugar de raíces
Respuesta en frecuencia
Análisis en el dominio de la frecuencia
Análisis en el espacio de estados
Estabilidad
Propiedades estructurales
Aplicaciones de controladores