MODELOS DE REGIMENES CAMBIANTES ESTOCÁSTICOS

MODELOS DE REGIMENES CAMBIANTES ESTOCÁSTICOS
“Markov switching regimes”
• Comportamiento dinámico de las variables dependen del estado de la economía
• Modelos TAR y STAR: varios regímenes en función del valor de una variable de estado que es observable ⇒ los
regímenes que han tenido lugar en el pasado y el presente se conocen
• Otra posibilidad: la variable estado no es observable, está determinada por un proceso estocástico no observable
subyacente ⇒ no se sabe con certeza qué régimen ha tenido lugar en cada momento del tiempo; se asignan
probabilidades a cada estado posible.
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A.Beyaert
Ejemplo:
ƒ 2 regímenes para la tasa de crecimiento del PIB: auge y recesión
ƒ régimen en t no observable, determinado por proceso no observable, denotado st , con st = 1 ó 2 .
⎧ϕ 0,1 + ϕ1,1 yt −1 + ε t si st = 1
ƒ Si yt ∼ AR(1) en cada régimen (generalizable): yt = ⎨
⎩ϕ 0, 2 + ϕ1, 2 yt −1 + ε t si st = 2
ó
yt = ϕ 0,s + ϕ1,s yt −1 + ε t
t
t
ƒ Supuesto más “popular” sobre st (Hamilton[1989]): proceso de Markov de primer orden (“modelos
Markov-Switching”)
⇒ régimen actual st sólo depende de st −1
⇒ modelo se completa con probabilidades de transición de un estado a otro:
p( st = 1 st −1 = 1) = p11
p( st = 2 st −1 = 1) = p12
p( st = 1 st −1 = 2) = p21
p( st = 2 st −1 = 2) = p22
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Pero
p11 + p12 = p 21 + p 22 = 1 ⇒
sólo estimar 2 probabilidades.
ƒ Probabilidades no condicionadas:
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P(s t = 1) =
1 − p 22
2 − p11 − p 22
P(s t = 2) =
1 − p11
2 − p11 − p 22
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⇒ tarea:
• especificar el modelo (orden del AR)
• estimar los parámetros (coeficientes y probabilidades)
• validar
• predecir
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1) ESTIMACIÓN:
Parámetros:
⎧β = (ϕ0 ,1 , ϕ0 , 2 , ϕ1,1 , ϕ1, 2 , σ 2 )
θ=⎨
⎩p i , j i, j = 1,2 con pij = 1 − p ii
Otra información de interés:
¿en qué régimen se encontró / encuentra / encontrará la economía en fecha t, dado la información disponible en fecha
τ?
≡ P(s t = j / Yτ ; θ)
⎧τ > t ⎫
⎪
⎬ → inferencia
con ⎨ó τ = t ⎭
⎪ó τ < t → predicción
⎩
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donde
Yτ = [y1, y2 ,L, yτ ]
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Sea
Si
ξt / τ
⎡P(s t = 1 / Yτ ; θ) ⎤
=⎢
⎥
⎣P(s t = 2 / Yτ ; θ)⎦
.
θ conocido:
Se demuestra que:
∗ ξ̂ t / t
es función de
ξˆ t / t −1 y de θ
1 − p 22 ⎤
⎡ p
∗ ξˆ t +1 / t = P.ξˆ t / t con P = ⎢ 11
p 22 ⎥⎦
⎣1 − p11
Consecuencia:
1) posible algoritmo de cálculo de las probabilidades de estado para
a) escoger valor inicial para
ξ̂1 / 0
θ conocido:
(por ejemplo usar probabilidades incondicionales)
ξ̂1 / 1
con ello, calcular ξ̂ 2 / 1
b) con ello, calcular
c)
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d) con ello, calcular
ξ̂ 2 / 2
e) etc....
2) "smoothed probabilities":
≡ ξ̂ t / N , donde N=tamaño muestral y t ≤ N
Indica probabilidad de estar en cierto estado en t, dada toda la información muestral
Se pueden calcular recursivamente a partir de las
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ξ̂ t / t
y
ξˆ t +1 / t
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Abandonemos ahora el supuesto " θ conocido":
Por Máxima Verosimilitud, bajo Normalidad de los errores:
N
p̂ij =
∑ P(s
t =2
t
= j, s t −1 = i / YN ; θˆ )
N
∑ P(s
t =2
t −1
= i / YN ; θˆ )
⇒ usa los
ξ̂ t / N
(1)
−1
N
N
ˆφ j = ⎛⎜ ∑ x t ( j) x t ( j)' ⎞⎟ ⎛⎜ ∑ x t ( j) y t ( j) ⎞⎟
⎝ t =1
⎠ ⎝ t =1
⎠
⎧ y t ( j) = y t P(s t = j / YN ; θˆ )
⎪
⎪
ˆ)
con ⎨x t ( j) = x t P (s t = j / YN ; θ
⇒
⎪
con x t = ( y t −1 ,L, y t −p )
⎪⎩
1 N 2
2
σˆ = ∑∑ ( y t − φ' j x t ) 2 P(s t = j / YN ; θˆ ) ⇒
N t =1 j=1
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(2)
usa los
ξ̂ t / N
usa los
ξ̂ t / N
(3)
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Consecuencia:
Todas las estimaciones están interrelacionadas ⇒ recurrir a algoritmo de optimización:
1) escoger valores iniciales para
2) calcular los vectores
θ
ξ̂ t , N
3) calcular nuevos valores para
p̂ ij usando (1)
φˆ y σˆ 2 usando fórmulas (2) y (3)
con estos nuevos valores de θ̂ , llevar a cabo una nueva iteración, hasta convergencia
4) calcular nuevo valor de
5)
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2) CONTRASTE DE LINEALIDAD
φs =1 = φs =2 )
(e.d. φs =1 ≠ φs =2 )
H0 : AR(p) lineal (e.d.
HA : AR(p)-MS
t
t
t
t
- Idea de partida: test LR
LRMS = l MS − l AR
donde
l MS , l AR
= log función de verosimilitud del modelo MS y del modelo AR, respectivamente.
- Problema y solución (Hansen[1992]):
LR MS
sigue distribución desconocida, no estándar bajo la nula (ya que probabilidades de transición no identificadas bajo la
nula) => obtener el valor crítico por simulación
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3) VALIDACIÓN, Hamilton(1996)
• Elemento básico: "score"
h t ( θ) =
• Idea de partida:
∂ log f ( y t / Yt ; θ)
∂θ
∂ log f ( y t / Yt ; θ)
∂θ
θ=θ
=> h t −1 (θ0 ) no debe contener ninguna información útil para h t (θ0 )
Si modelo bien especificado, se demuestra que imposible predecir el valor de
la información disponible en (t-1)
h t (θ0 ) =
con la
0
⇒ los "scores" no deben presentar correlación serial
⇒ se pueden hacer contrastes de correlación serial sobre los "scores" respecto de cada uno de los parámetros del modelo,
valorándolos en
θ̂ .
• Además:
• Test de no correlación de los scores respecto de los términos constantes ≡ test de no autocorrelación de los residuos
• Test de no correlación de los scores respecto de las varianzas ≡ test de efecto ARCH.
• Test de no correlación de los scores respecto de las probabilidades de transición pii , i=1,2 ≡ test de validez del
proceso de Markov de orden 1.
Ver Hamilton(1996) y literatura posterior para más detalles.
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4) PREDICCIÓN:
a) Predicción de la probabilidad de estado en (T+m), m>0:
⎡P(s = 1 / YT , θˆ ) ⎤
ˆξT+m / T = ⎢ T+m
⎥
ˆ
⎢⎣P(s T+m = 2 / YT , θ)⎥⎦
= P̂ξˆ T+m−1/ T
= P̂ ⋅ P̂ξˆ T+m−2 / T = P̂ 2 ξˆ T+m−2 / T
M
= P̂ m ξˆ T / T
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b) Predicción de yT+1
yT+1 seguirá modelo del estado 1 con probabilidad de que el estado sea 1 en (T+1) y seguirá modelo del estado 2 con
probabilidad de que el estado sea 2 en (T+1)
ŷ T (1) = ŷ T (1) s
T +1 =1
+ ŷ T (1) s
⇒
[
= ŷ T (1) s
[
T +1 = 2
T +1 =1
= ŷ T (m) s
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⋅ P̂(s T+1 = 1 / YT ; θˆ )
⋅ P̂(s T+1 = 2 / YT ; θˆ )
, ŷ T (1) s
T +1 =1
T +1 = 2
, ŷ T ( m) s
⎡P̂(s T+1 = 1 / YT ; θˆ ) ⎤
⋅⎢
⎥
ˆ
⎢⎣P̂(s T+1 = 2 / YT ; θ)⎥⎦
]
T +1 = 2
]⋅ P̂ ⋅ ξˆ
T/T
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5) DURACIÓN ESPERADA DE LOS ESTADOS:
• Sea Dj = duración del estado j
•
1 − p 22 ⎤
⎡ p11
Matriz de transición P = ⎢
p 22 ⎥⎦
⎣1 − p11
• Sus elementos diagonales indican la probabilidad de quedar durante 2 períodos sucesivos en el mismo estado ⇒
contienen información útil para estimar duración de los estados.
•
D j = 1 si s t = j , s t +1 ≠ j ⇒ P(D j = 1) = 1 − p jj = p ji
D j = 2 si s t = s t +1 = j , s t + 2 ≠ j ⇒ P(D j = 2) = p jj (1 − p jj )
D j = 3 si s t = s t +1 = s t + 2 = j , s t + 3 ≠ j ⇒ P(D j = 2) = p 2 jj (1 − p jj ) , etc
∞
E(D j ) = ∑ iP( D j = i)
i =1
⇒
= (1 − p jj ) + 2p jj (1 − p jj ) + 3p 2 jj (1 − p jj ) + ...
=
1
1 − p jj
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