Tema 1. Coñecementos previos. Movemento harmónico simple. 1.1

Tema
Ondas
I.B."Ricardo Carvalho Calero"
1. Coñecementos previos. Movemento harmónico simple.
1.1. Características xerais e conceptos previos.
1.2. Estudio cinemático, dinámico e enerxético do M.H.S.
1.3. Aplicación dos conceptos teóricos ó análise experimental de movementos
harmónicos simples: o resorte elástico e o péndulo simple.
2. Ondas armónicas unidimensionais.
2.1. Propagación de perturbacións en medios materiais elásticos.
2.2. Tipos de ondas: ondas lonxitudinais e transversais; ondas materiais e
electromagnéticas
2.3. Magnitudes características: lonxitude de onda, frecuencia, amplitude e
número de onda.
2.4. Velocidade de propagación. Factores dos que depende.
3. Ecuación dunha onda harmónica unidimensional.
3.1. Dobre periodicidade espacial-temporal.
3.3. Distintas expresións da ecuación de ondas
4. Enerxía e intensidade do movemento ondulatorio. Atenuación e absorción polo medio.
5. Principio de Huygens.
6. Propiedades das ondas:
6.1. Reflexión.
6.2. Refracción.
6.3. Difracción.
6.4. Interferencias.
6.4.1. Principio de superposición. Interferencia constructiva e
destructiva: descrición cualitativa.
6.4.2. Ondas estacionarias.
6.5. Polarización: descrición cualitativa.
7. O son.
7.1. Propagación do son. Velocidade de propagación do son.
7.2. Cualidades do son: Tono, intensidade e timbre.
7.3. Percepción do son.
8. Resonancia: concepto e descrición cualitativa mediante exemplificacións.
Ondas
Tema
1
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Movemento harmónico simple.
Ver tema 1 cinemática e dinámica
2
Ondas armónicas unidimensionais.
2.1. Propagación de perturbacións en medios materiais elásticos.
Propagación de un movimiento vibratorio, sin desplazar masa. (P. e.: el
sonido se propaga sin desplazar el humo). Se da en muchos fenómenos en la
naturaleza: luz y sonido muy habituales (principales sentidos).
Algunas ondas(mecánicas) necesitan un medio elástico para
propagarse (p. e.: sonido no se propaga en el vacío). Pero las ondas
electromagnéticas no necesitan medio (se propagan en el vacío).
Movimiento ondulatorio: Propagación de momento lineal y energía sin
desplazar masa. No sólo energía cinética sino también potencial.
2.2. Tipos de ondas: ondas lonxitudinais e transversais; ondas materiais e
electromagnéticas
Clasificación de los movimientos ondulatorios:
- Por el número de dimensiones en que se propaga:
unidimensionales (una cuerda, en un muelle).
bidimensionales (olas en un estanque).
tridimensionales (sonido, luz).
- Por el medio necesario para su propagación:
Mecánicas necesitan un medio elástico para propagarse (sonido). Su
velocidad de propagación depende de las características del medio.
Electromagnéticas no necesitan medio para propagarse, se propagan
también en el vacío. Su velocidad de propagación(c) depende de la
permitividad(,) y de la permeabilidad magnética(:). Para el vacío:
- Por las direcciones relativas de propagación y de la perturbación:
Transversales: direcciones perpendiculares (p.e.: olas)
Longitudinales: direcciones paralelas (p.e.: sonido, muelle)
Nota: sus velocidades de propagación pueden ser distintas aún ondas
producidas por una misma causa, moviéndose en el mismo medio.
- Por su duración en el tiempo:
Pulso: corto.
Tren de ondas: mayor duración en el tiempo.
2.3. Magnitudes características: lonxitude de onda, frecuencia, amplitude e número
de onda.
(Ver definición no punto siguiente)
2.4 Velocidade de propagación. Factores dos que depende.(PENDENTE)
Ondas
Tema
3
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Ecuación dunha onda harmónica unidimensional.
3.1. Dobre periodicidade espacial-temporal.
3.3. Distintas expresións da ecuación de ondas
Ecuación de ondas armónicas.
Imaginemos un punto del espacio, al que
llamaremos foco, una magnitud física
empieza a variar de forma armónica
dada por la expresión:
y = A sen Tt
y esta vibración se transmite a los puntos
próximos. Supongamos que se propaga
en una sola dirección. Un punto a una
distancia x del foco recibirá la vibración
con un cierto retraso(t'). Su ecuación de
vibración será:
y = A sen T( t - t')
este retraso dependerá de su distancia(x)
al foco y de la velocidad con que se propaga la onda(c).
t'= x/c
substituyendo tenemos:
y(x,t) = A sen T( t - x/c)
hemos escrito y(x,t) ya que como vemos el estado de vibración depende tanto de su
distancia al foco como del tiempo: "y" es función de x y de t: y=f(x,t).
Escribiendo T= 2B/T y 8 = T.c:
Todavía podemos escribirlo más corto si llamamos k = 2B /8:
y(x,t) = A sen (Tt - kx)
Esta expresión es la ecuación de onda unidimensional para una onda que se
desplaza por el eje x hacia la derecha. Si se desplazase hacia la izquierda:
y(x,t) = A sen (Tt + kx)
también podría escribirse en función del coseno, en vez del seno.
Definiciones:
Frecuencia angular: T =2B/T = 2B.< Oscilaciones en 2B s
(rad/s)
Frecuencia:
< = 1/T
Número de oscilaciones por segundo (Hz = s-1)
Período:
T
Tiempo en realizar una oscilación
(s).
Longitud de onda: 8
Distancia entre dos puntos en fase (m).
Número de onda:
k = 2B/8
Número de ondas en 2B metros
(m-1).
Velocidad de propagación: c= dx/dt
(mAs-1)
Velocidad de vibración:
dy/dt
(no la usaremos).
Relaciones:
Tema
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4
Enerxía e intensidade do movemento ondulatorio. Atenuación e absorción polo
medio.
4.1
- Atenuación.
Supongamos que el foco de una onda produce una vibración(variación) armónica.
La energía de este movimiento armónico viene dada por:
Et = Ec + Ep = ½ KAA²
(donde K es la contante de la ley de
Hook: F = - KAx). Es decir la energía
del foco depende del cuadrado de la
amplitud. Al propagarse el movimiento
ondulatorio las partículas próximas se
ponen a vibrar, la energía del foco se
distribuye entre estas partículas, vamos
a ver cómo influye este reparto de la
energía del foco al irse propagando la
onda. Si suponemos una propagación
Atenuación
tridimensional y que la velocidad de
propagación es igual en todas
direcciones (medio isótropo), los puntos del espacio que están en fase son superficies
esféricas (área superficie 4BR²), si además suponemos que el medio es homogéneo
(densidad constante) podemos definir una densidad superficial constante(F), así podemos
poner la masa que está vibrando cuando el frente de onda tiene un radio r como m= S.F=
4Br²F. La Energía será:
Eo = cte.= Er = ½ KAAr² = ½ mT²Ar² = ½ 4B r²F T² Ar²
si suponemos que la frecuencia se mantiene constante entonces escribimos:
Ar².r²= cte/(2B.F.T²)
despejando la amplitud:
Ar= cte'/r
Es decir la amplitud del movimiento ondulatorio va disminuyendo de forma inversa a la
distancia al foco, esta disminución de la amplitud que no se debe a perdida de energía se
denomina ATENUACIÓN.
4.2
Intensidad de las ondas.
Se define Intensidad de una onda como la energía que atraviesa
perpendicularmente la unidad de superficie en la unidad de tiempo.
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La potencia de una conversación normal es
de 7 :W, mientras un trompetazo es del
orden de 0'3 W Una sirena de alarma
puede llegar a 3 kW
Es decir que la intensidad depende del cuadrado de la amplitud. Como la amplitud varia
inversamente con la distancia al distancia al foco, la intensidad variará inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia al foco1.
Además del efecto de la atenuación existe el fenómeno de la ABSORCIÓN que es
la perdida de intensidad de una onda al atravesar un medio. Esta perdida de intensidad es
proporcional a la intensidad de la onda incidente, al espesor del medio(x) y a las
características propias del medio($):
)I = -Io $ x Y I = Io Ae-$ x.
5
Principio de Huygens.
Hacia 1.690 Huygens presentó un método geométrico de predecir o calcular cómo se
desplaza un frente de ondas, para ello estableció el siguiente principio:
"Cada punto del medio al ser alcanzado por la onda entra en vibración y se
convierte en un nuevo emisor de ondas(secundarias), estas se propagarán en todas
las direcciones. El nuevo frente de ondas es la envolvente(tangente) a estas ondas
secundarias".
Al ser alcanzado por el frente de ondas(linea continua) los puntos A,B,C generan
ondas secundarias (linea de puntos). El nuevo frente de ondas es la envolvente (linea de
trazos) a estas ondas secundarias.
El principio de Huygens fue complementado de forma matemática por Fresnel.
Lo aplicaremos para calcular los ángulos de reflexión y de refracción.
6
Propiedades das ondas:
6.1
Reflexión.
Es el fenómeno por el que un movimiento ondulatorio cambia de dirección al
"chocar" contra un cuerpo.
Supongamos un frente de ondas plano AB que
incide sobre una superficie, también plana, la
dirección de su movimiento(BC) es perpendicular al
frente. Vamos a determinar el ángulo con el que
saldrá reflejado estas ondas.
Al incidir el frente sobre la superficie el punto
A se pone a vibrar originando una onda secundaria.
Mientras, el frente sigue su movimiento. Supongamos
ahora que el punto B tarda t segundos en llegar a la
superficie, tendremos que BC = v.t (v velocidad de
propagación de la onda). En ese período de tiempo
la onda generada por A habrá avanzado una
distancia v.t ya que la velocidad de propagación es la misma por moverse en el mismo
medio, luego BC = v.t = AD.
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Los dos triángulos ABC y ADC son iguales, además de que BC =AD, los ángulos en
B y en D son rectos y la hipotenusa, AC, es común. Luego el ángulo A en ABC y el C en
ADC son iguales. Es decir:
Los ángulos de incidencia y reflexión son iguales.
En óptica suele representarse las ondas no por los frentes sino por los rayos
incidente y reflejado. Los ángulos que se miden son los que forman los rayos con la normal
a la superficie de reflexión. Las leyes de la reflexión en óptica son:
- El rayo incidente el de reflexión y la normal están en un plano.
- El ángulo de incidencia y el de reflexión son iguales.
6.2
Refracción:
Es el cambio en la dirección de propagación de una onda al pasar de un medio a
otro en el que tiene distinta velocidad.
Veamos como lo explica el principio de
Huygens:
Tomemos un frente de ondas plano AB que
incide en la superficie de separación de dos
medios con un ángulo de incidencia i. Supongamos
que la velocidad de propagación en el medio 2 es
menor que el medio 1. Recordemos que el ángulo
en B=90° ya que BC es la dirección de
propagación(rayo incidente).
Al incidir la onda sobre el punto A este vibra
generando una onda que se propaga en el medio 2. Si
la onda incidente tarda t segundos en llegar de B a C, entonces BC = v1 t, mientras la onda
generada en el medio 2 por A habrá avanzado AD = v2 t.
El triángulo ADC también es recto (D=90°) y
la hipotenusa es común con el triángulo ABC.
Llamemos r al ángulo que forma el frente en el medio
2.
dividiendo ambas ecuaciones:
Conocida en óptica como la ley de Snell:
Ondas
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Estudio cualitativo de interferencias, difracción, absorción y polarización.
6.3
Interferencias2
Cuando en un punto concurren dos o más movimientos ondulatorios tenemos lo que se
conoce con el nombre de interferencia.
El resultado de estos movimientos ondulatorios se rige por el llamado principio de
superposición:
"Cuando dos o más movimientos ondulatorios concurren en un punto el resultado es
igual a la suma de las perturbaciones producidas por cada onda".
Están ondas continúan después su marcha sin haberse perturbado mutuamente.Cada una transporta su energía.
Supongamos dos movimientos ondulatorios producidos por
focos f1 y f2 distintos a distancias x 1 y x2 del punto P. Supongamos
también que el medio en que se propaga la onda es isótropo y que
las dos ondas tienen la misma frecuencia.
Si los dos focos generan ondas armónicas, su expresión en
el punto P situado a x1 de f1 y a x2 de f2.
La onda generada por f1 será:
y1 = A1sen (Tt - kx1)
La onda generada por f2 será:
y2 = A2sen (Tt - kx2)
La suma de sus efectos será:
y1 + y2 = A1sen (Tt - kx1) + A2sen (Tt - kx2)
Que desarrollando matemáticamente se puede escribir:
La suma (INTERFERENCIA) de dos o más movimientos ondulatorios de la misma
frecuencia que se propagan a igual velocidad se puede expresar como una perturbación armónica,
de la misma frecuencia, pero con amplitud y desfase que son función de las distancias a los focos.
Observa que la amplitud (A) para un determinado punto P es constante pero esta amplitud
varia de un punto a otro, como veremos en los siguientes casos, dependiendo de la diferencia de
distancias (x1-x2) (diferencias de "marchas" o "recorridos").
6.3.1 -
Casos particulares:
Tema
6.3.1.1
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Si x1 - x2 = n8
Si la distancia entre los focos es un número entero de longitudes de onda entonces:
cos k(x1 - x2) = cos n@2B = 1
recordad k=2B/8
En consecuencia tenemos una interferencia constructiva, las amplitudes se suman:
y1+y2 = (A1+A2) sen (Tt - ")
Esto es aparentemente corresponde una onda de amplitud suma (A1+A2).
6.3.1.2
Si x1 - x2 = (2n+1) A 8/2
Si la distancia entre los focos es un número entero de semi-longitudes de onda entonces:
cos k(x1 - x2) = cos [(2n+1) AB] = -1
En este caso tenemos una interferencia destructiva, la amplitud es la diferencia de las amplitudes.
y1+y2 = (A1-A2) sen ( Tt - ")
6.3.1.3
Si A1 = A2
Caso en que las amplitudes de las ondas producidas por los dos focos sean iguales, es
decir dos ondas con igual frecuencia (longitud de onda) y amplitud, en este caso se dice
coherentes:
Los valores máximos de la amplitud serán aquellos en que x1 -x2 =n8 donde tendríamos:
A = 2A1.
Y en el caso de cos Bk(x1 -x2)= 0 es decir donde (x1 -x2 )= (2n+1)8/2, (número impar de
8/2) tendríamos:
A=0
Es decir todos aquellos puntos cuya distancia a los focos (x1 -x2 ) sea un número entero de
longitudes de onda (n8) estarán en fase, vibrando con una amplitud máxima. Estos lugares son
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líneas denominadas ventrales (de vientre de la onda) y son hipérbolas1. Y todos aquellos puntos
donde (x1 - x2) =(2n+1) A8/2 son nodos, no vibran, y las líneas nodales son también hipérbolas.
6.3.2 Ondas estacionarias.
(PENDENTE)
6.4
Difracción:
Se produce cuando un movimiento ondulatorio pasa a través de un orificio con un tamaño
comparable a su longitud de onda. Al atravesar estos orificios no se produce una propagación
rectilínea sino que esta rendija actúa como un foco generador de ondas.
Es característico de los fenómenos ondulatorios.
Por la tanto cuando un fenómeno presenta difracción
estamos ante un fenómeno ondulatorio. Así la luz y los
rayos X se demostró su naturaleza ondulatoria al
presentar fenómenos de difracción.
6.5
Polarización:
Este fenómeno es
característico de las
ondas transversales.
Consiste en reducir sus planos de vibración a sólo uno
mediante el uso de polarizadores. La luz es polarizable, esto
demuestra que la luz son ondas transversales. Muchos reflejos
están polarizados, en fotografía se usan filtros polarizadores para
suprimir reflejos. También tiene utilidad en análisis químicos, ya
que muchas substancia orgánicas desvían el ángulo de la luz
polarizada.
1
Hipérbola: lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos)
es constante.
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1. Potencia de un foco sonoro: P = 4 B R²A I
en una conversación es de 7A10-6 W
un fortísimo de trompeta 0'3 W
Sirena de alarma 3000 W
2.Prácticas:
Interferencia:
Hacer sonar un diapasón y girarlo lentamente cerca del oído notaremos como el
sonido se pierde cuando hay una interferencia destructivo.
Resonancia:
Montando los diapasones en su caja de resonancia los colamos enfrentados en
mesas distintas con el macito hacemos sonar un diapasón y lo paramos, escuchando
con atención oiremos como vibra el otro.
Ondas estacionarias:
Poner el crono-vibrador en un soporte ajustar un hilo a su extremo y pasarlo por
una polea de la que cuelga el portapesas. Ajustando el peso y la longitud del hilo se consiguen
generar ondas estacionarias.
Hacer vibrar una regla de plástico, mejor la del encerado, moviéndola desde un extremo:
a) sujetando los dos extremos, b) dejando el otro libre