Working papers 3 - Universidad de La Salle

Diagramas de fase
Daniel Ricardo Casas Hernández*
Gonzalo Combita Mora**
Resumen
Este documento busca servir como soporte de estudio a la academia en general, con especial énfasis en los estudiantes, sobre el estudio
de la dinámica en economı́a por medio de una herramienta matemática
como lo son los diagramas de fase. Para ello se hace una presentación
sobre el sistema de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales junto a sus propiedades. Finalmente, se aborda una aplicación práctica
desde la macroeconomı́a donde se presenta el proceso de acumulación
capitalista desde el enfoque de Q de Tobin en la Bolsa de valores.
Palabras clave: Inversión, macroeconomı́a, métodos matemáticos en economı́a
JEL: C60, E20, E22
Introducción
A través de los diagramas de fase se representan ecuaciones diferenciales
y sistemas de ecuaciones diferenciales, ası́ como ecuaciones en diferencia y
sistemas de ecuaciones en diferencia. En este documento se presentaran los
diagramas de fase de sistemas de ecuaciones diferenciales y algunas aplicaciones macroeconómicas; de manera especial, los sistemas de ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver por medio de métodos analı́ticos usuales;
en estos diagramas, además de determinar los puntos de equilibrio se analiza
la estabilidad a través del tiempo o de largo plazo.
*
Profesor del programa de economı́a en la Universidad de La Salle y Escuela Colombiana
de Ingenierı́a Julio Garavito
**
Profesor del programa de economı́a en la Universidad de La Salle
1
Uno de los objetivos de la representación a través de diagramas de fase
es determinar el tipo de equilibrio del sistema, por medio de trayectorias
(x(t), y(t)) alrededor del punto de equilibrio. De esta manera los diagramas
reflejan los comportamientos cualitativos de cada punto de equilibrio.
Los sistemas de ecuaciones representables con este tipo de diagramas
son los autónomos, es decir los que no dependen directamente de la variable
independiente; en estos sistemas no aparece la variable independiente explı́citamente en las ecuaciones que forman el sistema. Por ejemplo ẋ = 3x + 2 es
autónomo, mientras que ẋ = 3x + 2t no es autónomo.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Se inicia esta sección con un sistema de dos ecuaciones diferenciales, lineales de primer orden autónomas:
.
x = f (x, y) = a1 x + a2 y + a3
.
y = g(x, y) = b1 x + b2 y + b3 .
Donde x, y son variables dependientes, y t es la variable independiente.
x(t)
x
(una matriz colum=
Una solución del sistema es una pareja
y(t)
y
na) que satisface el sistema.
Definición 1. Los puntos de equilibrio están donde ẋ = ẏ = 0.
Para el sistema lineal en desarrollo son las parejas ordenadas (x, y) tales
que:
0 = f (x, y) = a1 x + a2 y + a3
0 = g(x, y) = b1 x + b2 y + b3 .
Es decir, son las parejas ordenadas (x, y) que satisfacen:
a1 x + a2 y + a3 = 0
b1 x + b2 y + b3 = 0.
2
a1 a2 6= 0. ¿Por qué?
Este sistema tiene solución si b1 b2 Si suponemos que: b1 ≤ 0, b2 ≤ 0, a1 ≤ 0, a2 ≥ 0, en el anterior sistema,
entonces (xo , yo ) es el punto de equilibrio del sistema.
b 3 a2 − a3 b 2
a1 b 2 − a2 b 1
a1 b 3 + b 1 a3
yo =
a1 b 2 − a2 b 1
y
xo =
ẋ = 0
yo
xo
x
ẏ = 0
Definición 2. Las lı́neas en donde ẋ = ẏ = 0 son conjuntos de puntos en los
que las variables x(t), y(t) no cambian con respecto a la variable independiente t (en algunos libros las llaman isoclinas del sistema). Y corresponden
con los puntos de equilibrio de cada una de las ecuaciones del sistema.
Si ẋ = 0, entonces f (x, y) = 0 contiene todos los puntos de equilibrio para
x. Además, si sobre la lı́nea ẋ = 0, entonces a un lado es positivo (ẋ > 0) y
del otro negativo (ẋ < 0). Recı́procamente para la lı́nea de fase ẏ = 0. En el
presente ejemplo se supondrá la siguiente distribución:
3
y
ẋ = 0
+
−
−
+
yo
x
xo
+
+
−
−
ẏ = 0
En la región del plano en la que ẋ > 0, x aumenta al incrementarse
t; si ẏ < 0, entonces la variable dependiente y disminuye al aumentar t.
Ası́, las flechas muestran las direcciones en las que se mueven las variables
dependientes x(t), y(t) al aumentar la variable independiente t.
y
ẋ = 0
+
−
−
+
yo
x
xo
+
−
+
−
ẏ = 0
Las trayectorias de las variables dependientes al aumentar la variable
independiente t, tienden hacia el punto de equilibrio, para este caso.
4
y
ẋ = 0
+
−
−
+
yo
x
xo
+
+
−
−
ẏ = 0
Si las trayectorias tienden hacia el punto de equilibrio, cuando t tiende
hacia el infinito, entonces el punto de equilibrio es estable. Esta situación
puede interpretarse también como: un sistema en equilibrio puede ser afectado por variables diferentes a las que aparecen en el modelo (en economı́a son
conocidas como exógenas), y afectar el equilibrio, es decir, desplazar el punto
de equilibrio a otro punto -cercano- al punto inicial; si desde estos nuevos
puntos, las variables tienden hacia el punto de equilibrio, entonces el punto
de equilibrio es estable. La distorsión producida por las variables exógenas
es corregida a través del tiempo. Análogamente, si las trayectorias no tienden hacia el punto de equilibrio, entonces no es estable y se identifica como
inestable. Es decir, si al romperse el equilibrio, este se mantiene roto y las
variables tienden hacia puntos distintos al de equilibrio, entonces es inestable
el punto. Se identifica una tercera situación en la que hay regiones del plano
en las que las variables dependientes tienden hacia el punto de equilibrio, y
otras en las que tienden hacia puntos distintos; estos puntos se conocen como
puntos de silla.
Ejemplo 1. Para el sistema de ecuaciones
ẋ = x + 2y − 5
ẏ = x − 3y + 5,
el punto de equilibrio se obtiene de resolver el siguiente sistema de ecuaciones
lineales:
5
x + 2y − 5 = 0
−x + 3y − 5 = 0.
El punto crı́tico del sistema está en:
y=2
x = 1.
ẋ = 0
y
ẏ = 0
x
Ahora se exponen la fase del sistema de ecuaciones. Por tabulación se
pueden determinar los signos de las regiones en las que se divide el plano
x-y. Estudiamos el punto (0, 0), se obtiene ẋ = −5 < 0 y ẏ = 5 > 0. Ası́, el
diagrama de fase es:
6
ẋ = 0
y
− +
−
ẏ = 0
+
−
+
+
−
x
En los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, el diagrama de fase
está asociado con los signos de los valores propios de la matriz asociada con
el sistema homogéneo.
x
ẋ
.
=A
y
ẏ
La solución del sistema lineal es:
n
m1 r1 t
x(t)
e + 1 e r2 t .
=
n2
m2
y(t)
m1
es el vector propio asociado con el valor propio r1 de la
Donde
m2
n1
es el vector propio asociado con el valor
matriz A. Recı́procamente,
n2
propio r2 . Si los valores propios son negativos la solución del sistema tiende
hacia la solución particular, que coincide con el punto de equilibrio. El punto
de equilibrio es estable. Si los valores propios son positivos la solución no
converge hacia la solución particular y el punto de equilibrio es inestable.
Cuando un valor propio es positivo y el otro negativo, entonces el punto
de equilibrio es punto de silla. Recordamos que los valores propios también
pueden ser números complejos a±bi; cuando los valores propios son complejos
con parte real negativa (a < 0), entonces el punto de equilibrio es estable. Si
la parte real es positiva (a > 0), entonces el punto de equilibrio es inestable.
7
Mientras que si la parte real de los valores propio es cero (a=0), entonces las
trayectorias son circunferencias o elipses que no convergen ni divergen hacia
el punto de equilibrio.
Sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales
Si el sistema de ecuaciones no es lineal, el procedimiento es similar, salvo
que las lı́neas de fase dejan de ser rectas y se convierten en curvas; eso depende de la relación que resulte de hacer ẋ = 0 y ẏ = 0. También, el diagrama
deja de tener relación con valores propios, ya que el sistema no lineal no tiene
representación matricial.
Además de la tabulación, hay otro procedimiento para determinar el signo
dẋ
a cada lado de las lı́neas ẋ = 0 o ẏ = 0. Calculando el signo de dx
se determina
la relación en el cruce de la lı́nea ẋ con el eje x. Si ddxẋ > 0, entonces ẋ = 0
pasa de − a + al aumentar x.
Ejemplo 2.
ẋ = y − x2 + 3
ẏ = y − x + 1.
Las lı́neas de fase (isoclinas) se obtienen, nuevamente haciendo ẋ = ẏ =
0. Por tanto, si ẋ = 0, entonces y = x2 − 3. Si ẏ = 0, entonces y = x − 1.
Ası́, los puntos de equilibrio están en (−1, −2) y (2, 1). Tabulando en (0, 0)
se tiene que ẋ = 3 > 0 y ẏ = 1 > 0. Por tanto en (0,0) ẋ, ẏ son positivos.
8
ẋ = 0
y
ẏ = 0
+ −
+
−
− +
x
+ −
Los puntos crı́ticos se obtienen del sistema:
y = x2 − 3
y =x−1
x2 − 3 = x − 1
x2 − x − 2 = 0
1±
√
1+8
1±3
=
2
2
4
Ası́, x = 2 y x = −1. Por tanto los puntos de equilibrio están en (x, y) =
(−1, −2) y (x, y) = (2, 1). Ambos puntos de equilibrio son inestables.
x=
Tabulando en (0, 0) se tiene que ẋ = 3 > 0 y ẏ = 1 > 0. Ası́, donde está (0, 0),
entonces ẋ, ẏ son positivos.
9
Problemas 1. Hallar todos los puntos de equilibrio y clasificarlos para los
sistemas
ẋ = −(x + xy),
ẏ = x2 y − y.
ẏ = y(x − 1),
ẋ = y + x.
ẋ = 2 + y − x,
xy − 1 − ẏ = 0.
Aplicaciones practicas
Los diagramas de fase se emplean en la macroeconomı́a de manera recurrente para recoger la dinámica de dos variables, sus interacciones y ajustes
a través del tiempo. Los diagramas son herramientas analı́ticas sumamente
útiles que logran formalizar algunas intuiciones de la teorı́a aclarando la explicación de los modelos y su pertinencia.
Un ejemplo de lo anterior es la relación entre el financiamiento de la inversión en la Bolsa de Valores y la acumulación de capital productivo. Se cree
que existe una relación estrecha entre estas dos variables pues la acumulación de capital promete a los accionistas retornos futuros adicionales sobre su
inversión financiera pero a su vez estos fondos entregados por ellos permiten
a la empresa ampliar su capacidad productiva lo que se refleja en un nivel
mayor de capital para los periodos siguientes, lo que prometerı́a retornos futuros adicionales y ası́ sucesivamente.
Otro ejemplo puede ser cómo bajo el esquema de oferta y demanda agregada con expectativas racionales propio de los modelos de Nueva Macroeconomı́a Clásica de Lucas y Sargent, donde se puede observar que un incremento en la demanda no esperado por los agentes económicos, empresarios
y trabajadores, provoca una desviación de sus pronósticos respecto del valor observado en el nivel general de precios (P). Si el incremento en (P) es
inferior al pronóstico hecho sobre él por parte de los agentes la producción
caerá, lo que se traduce en un exceso de oferta que provoca una caı́da en los
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precios y promueve una subsecuente caı́da en la producción.
Los ejemplos expuestos muestran que los diagramas de fase recogen la
interacción entre variables propia de la dinámica económica lo que supone
un avance sobre los ejercicios de estática donde los cambios son apenas expuestos por medio de la estática comparativa que obvia estas interacciones
pues el ajuste es instantáneo aunque algunos ejercicios pedagógicos traten de
otorgarle cierta secuencialidad a los procesos de ajuste. Esto se puede evidencia en el caso de los movimientos que la polı́tica monetaria o fiscal provoca
en el esquema IS-LM bajo los denominados mecanismos de transmisión.
Adicionalmente, se debe advertir que la noción de tiempo manejada en los
diagramas de fase es una cercana a lo que Joan Robinson denominó tiempo
lógico en contra del tiempo histórico. El primero se caracteriza por establecer
una secuencia o trayectoria definida para las variables de suerte que los procesos pueden ser reversados. La reversibilidad puede ser capturada cuando
se ejemplifican cambios transitorios en las curvas que componen el diagrama
de fase dado que el desplazamiento de la curva implica un movimiento de ida
y vuelta lo que deja inalterado el sistema a largo plazo. Por el contrario, el
tiempo calendario es el que se observa en la realidad y su caracterı́stica es la
no reversibilidad, es decir, que luego de un cambio la economı́a no tiene por
qué volver necesariamente a la misma posición aún si los cambios de ida y
vuelta fueran de la misma magnitud (Henry, 2003).
A continuación se presentarán algunos ejemplos de la aplicación de los
diagramas de fase en macroeconomı́a.
El financiamiento de la inversión y la acumulación de
capital: La Q de Tobin
La Q de Tobin es una teorı́a del financiamiento de la inversión a través
de la Bolsa de Valores que fue publicada en (1969) por James Tobin en el
Journal of Money Credit and Banking. Como mencionaba Keynes en 1936, el
rasgo fundamental de la Bolsa de valores es hacer lı́quido al individuo lo que
es fijo para la sociedad. Por tal razón el rol de la Bolsa es capturar recursos
de ahorro de las familias, que buscan financiar los proyectos de inversión en
maquinaria y equipo de las firmas sin comprometer la liquidez de los hogares
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pues estos pueden transformar en un plazo no muy largo el valor de las acciones en recursos completamente sin que esto acarre una reducción del capital
ya acumulado por la firma.
En principio la idea de la Q de Tobin es mostrar que la maximización de
la riqueza de los hogares expresado en el valor de las acciones que tienen en su
poder es equivalente a la maximización del beneficio de la firma. No obstante,
la Q es un indicador de Bolsa que se obtiene a diario en el cual relaciona el
valor de capital instalado en la Bolsa respecto del valor de reposición de ese
mismo capital en mercado de bienes.
1. q =
Valor de mercado del capital instalado
.
Coste de reposición del capital instalado
Cuando q > 1 es cuando el mercado de valores anima a las empresas
a invertir, y cuando q < 1 es cuando las empresas deberı́an dejar caer el
nivel de inversión. Q de Tobin busca dar un cuerpo teórico a este indicador
bursátil tratando de incorporar las decisiones de inversión empresarial, su
financiamiento y el impacto de esto sobre la riqueza financiera de los hogares.
Lo anterior puede descifrarse en la siguiente condición:
2. Vt =
e
π e − It − a2 It2 + qt (Kt + It )
Dte + Dt+1
= t
1+r+ǫ
1+r+ǫ
Donde Vt es el valor de la empresa en la Bolsa, el cual estarı́a determinado
por el precio fundamental de una acción, que de acuerdo con la condición 2,
está constituido por el dividendo esperado Dte , el valor de la acción esperado
en el (t + 1)V( t + 1)e , la tasa de interés (r) y una prima de riesgo (ǫ). A
su vez, los dividendos esperados se alimentan de los beneficios de la firma
(Dte = πte − It − c(It )), y el valor esperado de la acción puede expresarse como
una proporción q del valor de capital en el mercado de bienes V( t + 1)e =
qt K( t + 1).1 Por tanto, se puede expresar en términos de acumulación K( t +
1) = Kt + It . La expresión 2 muestra que el precio de la acción dependerı́a
de la maximización del beneficio de la firma, de la acumulación futura en
1
Esto se toma de la condición 1 pero adelantado un periodo.
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proporción qt que expresa la valoración presente de ingresos futuros, y todo
descontado a un tipo de interés y una prima de riesgo.
Ası́ pues, la empresa elegirá el nivel de inversión It que maximiza la
riqueza inicial de los propietarios, teniendo en cuenta la valoración de la bolsa
de una unidad de capital, qt . La condición de primer orden serı́a entonces
∂Vt
= 0, que establecerı́a la regla de inversión. Despejando se tiene:
∂It
3. qt = 1 +
Si
dc
dIt
dc
.
dIt
= aIt , entonces
4. It =
qt − 1
.
a
La condición 4 corrobora qt > 1, ∆It , ∆Kt+1 ) y qt > 1, ∆It , ∆Kt+1 .
La Q de Tobin puede ser llevada a una representación mediante diagramas de fase. En primer lugar, reconocemos que los incrementos del stock
de capital vienen determinados por los cambios de qt a través del tiempo,
K̇(t) = f (q(t)). Se sabe a partir de 4 que la inversión o la acumulación de
capital cambiarán dependiendo del valor de qt respecto de 1, lo cual puede
obtenerse obteniendo la condición de primer orden del Hamiltoniano respecto
de la inversión, que es la variable de control:
5. H(k(t), I(t)) = π(K(t)k(t) − I(t) − C(I(t)) + q(t)I(t).
6. HI′ (k(t), I(t)) = −1 − C ′ (t) + q = 0.
7. I(t) = N (C ′ )−1 (q(t) − 1).
La condición 7 es la misma expresión de 4 sabiendo que N es el número
de firmas en la economı́a y (a) está expresada como el costo marginal de
instalación de una unidad adicional de capital. Con lo anterior se puede
establecer la evolución de la acumulación o desacumulación de capital a través
del tiempo:
13
q
K̇ > 0
K̇ = 0
K̇ < 0
K
Derivando 5 respecto de la variable de estado k se obtiene:
8. π(K(t)) = rq(t) − q̇(t).
9. q̇(t) = rq(t) − π(K(t)).
De 8 se puede deducir que el beneficio que reporta a la firma el capital
debe cubrir el costo de oportunidad o de financiamiento rq(t), pero este a
su vez es aliviado en la medida que el capital se valorice en la Bolsa q̇(t).
De 9 se puede encontrar la isóclina correspondiente a q̇ = 0, que resulta en
q(t) = π(K(t)) ∗ 1/r, donde la pendiente es π ′ (K(t)) ∗ 1/r < 0. Su signo se
explica pues se supone que por economı́as externas el aumento del capital de
la industria reduce el beneficio de la firma pues tal incremento en el factor
satura el mercado, y si las firmas enfrentan en su conjunto una curva de
pendiente negativa la única forma de vender su producción será ofreciéndola
a un precio más bajo, lo que acarrea beneficios menores π ′ (K(t)) < 0. Ası́,
se concluye que la isoclina q̇ = 0 tiene pendiente negativa en el plano (K, q).
En 9 se observa que un aumento en el capital conforme el tiempo pasa,
reduce los beneficios, lo que implica que ese aumento del capital debe ser
financiado de otra manera para que se incremente efectivamente, por lo que
esto es solo posible si crece el financiamiento externo en la Bolsa a través del
tiempo q(t). Entonces si se parte de q̇ = 0, y se permite que el tiempo aumente
y eleve el capital, este superara cierto valor que tendrı́a como resultado un
incremento de q(t) a través del tiempo (q̇ > 0), y viceversa.
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q
q̇ > 0
q̇ < 0
q̇ = 0
K
Luego si combinamos las dos isoclinas tenemos el diagrama de fases completo de la Q de Tobin. El gráfico 3 muestran que solamente las trayectorias
de las regiones 1 y 3 son compatibles con el equilibrio estable o punto de
silla en E, lo que asegurarı́a un nivel de K ∗ óptimo. Estando en el campo 3
se sabe que conforme el tiempo avance el capital retrocederá incrementando
los beneficios. No obstante, en el campo 3 el stock de capital es muy elevado
por lo que se necesita financiamiento externo y q deberı́a estar creciendo.
Entonces, los dos efectos anteriores se retroalimentan, por un lado la caı́da
del capital reduce la dependencia de financiamiento externo y a su vez q crece
conforme se acerca a E, cada vez más despacio por lo que se detienen en el
punto de equilibrio.
q
2
1
E
1
K̇ = 0
3
4
q̇ = 0
K
15
Bibliografı́a
Casas D. (2012) Elementos de ecuaciones diferenciales y en diferencia.
Ed. Unisalle.
Pecha A (2007) Optimización estática y dinámica en economı́a. Ed. U.
Nacional de Colombia.
Escobar D. (2005) Economı́a matemática. 2a Edición. Ed. Uniandes.
Romer, D. (2011). Macroeconomı́a avanzada 3ra ed. Mac Graw Hill. Madrid:
España. p. 704
Tobin, J. (1969): .A general equilibrium approach to monetary theory,”Journal
of Money Credit and Banking.
16