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SENSORES BASICOS
Métodos de medición sensibles a desplazamientos;
sensores:
Resistivos
Capacitivos
Inductivos
d
Piezoeléctricos
Instrumentación-Jorge Marquez
CCADET 2013
1/60
Sensores de desplazamiento/posición basados en resistencias
variables: potenciómetros (para corrientes pequeñas) y reostatos
variables
(corrientes grandes. Mayor disipación)
“wiper”
Figure 2.1 Three types of potentiometric devices for measuring displacements (a) Translational.
(b) Single-turn). (c) Multi-turn. (From Measurement Systems: Application and Design, by E. O.
Doebelin. Copyright  1990 by McGraw-Hill, Inc. Used with permission of McGraw-Hill Book
C ) – [Webster]
Co.)
[W b
]
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Potenciómetros y reostatos
a
a
Pueden utilizarse como divisores de
voltaje obteniendo un voltaje de salida VL
en el punto de control (slider o wiper, nodo
“a” en la figura), dado un voltaje de
entrada fijo VS en los extremos del
potenciómetro
potenciómetro.
El voltaje a través de la carga RL es:
A la derecha se muestra un modelo de una
resistencia
i t
i variable
i bl (potenciómetro
( t
ió t
o reostato)
t t )
con valores R1, R2 definidos por el control, slider o
wiper (a). La taza fwiper= R2(R1+ R2 ) es la
fracción de wiper.
R2 RL
VL 
·Vs .
R1 RL  R2 RL  R1 R2
Usualmente RL es la impedancia de entrada de un voltímetro, por lo que es muy grande
comparada con R1, R2 , por lo que obtenemos la relación lineal:
 R2 
VL  
V f V
 R1 R2  s wiper s


Trimmer o preset : dispositivo electrónico ajustable (R,C,L)
Trimpot : trimmer potentiometer
Fader : potenciómetro lineal miniatura
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En términos de desplazamientos, con x aquel asociado a la posición del
wiper ( R2 es proporcional a x) y xP al intervalo máximo del potenciómetro,
y correspondiente
di
a RP=R
R1+R
R2 se obtiene
bi
(
(tarea
moral),
l) para RL (finita)
(fi i ) la
l
relación exacta:
 x / xP   RL / RP 
VL

Vs R / R   x / x    x / x 2
 L P
P
P
VL/VS
RL/ RP = 10
RL/ RP = 1.0
RL/ RP = 0.1
que no depende de las constantes de
proporcionalidad de x y R2, y de xP y
RP. Una taza de fwiper
p = R2(R1+ R2 ) =
RL/ RP de 10 da muy buena linealidad
(ver figura). Notar que también se
tiene fwiper = x/xP.
fwiper = x/xP
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Galgas Extensiométricas (de deformación – Strain Gauges)
VARIACIÓN DE LA RESISTENCIA
Un material de área transversal A y longitud L, con resistividad , tendrá
una resistencia neta:
L
R
A
La sensitividad de la resistencia a la variación en los parámetros,
 dL
d
dR 
  A LdA  L
A
A
2
y el cambio relativo en la resistencia, será
R L A 




R
L
A

R
L

 (1  2 )


R 
L

 es la razón o tasa de Poisson entre
diámetro y longitud; en general, depende
d la
de
l fforma ((geometría)
t í ) de
d la
l galga:
l
efecto
dimensional
efecto
piezorresistivo
 /    
L/L

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Deformación
( strain  L )
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Factor de galga (o de deformación; depende del material):
R / R
 / 
GF 
 (1  2  ) 
L / L
L / L
Este resultado
E
l d es válido
álid no sólo
ól para áreas
á
circulares,
i l
pues ell área
á
es esencialmente cuadrática. En el caso de una sección circular
transversal, A= r2. Con fuerza de tensión a lo largo de la longitud
L, haciendo
h i d L = L/L
/ y con un esfuerzo
f
t
transversal
l (radial)
( di l) t en
dirección de r, tenemos:
R

  L  2 t 
R

En la práctica, la resistencia también depende de la temperatura;
el efecto total es entonces:
R
 GF  L   T
R
Con  el coeficiente de temperatura T.
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Galga de deformación en un sensor de presión
Diaphragm
A
B
Armature
C
D
Strain-gage
S
g ge wires
w es
Unbonded strain-gage pressure sensor. The diaphragm is directly coupled by
an armature to an unbonded strain-gage system. With increasing pressure, the
strain on gage pair B and C is increased,
increased while that on gage pair A and D is
decreased. [Webster].
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c
R2
vi
Rx
R1
Ry
b
a
R4
R3
balance ( v0  0)) iff :
R1 / R2  R4 / R3
d
vo
Ri
Wheatstone bridge
g with four active elements. R1 = B,, R2 = A,, R3 = C,, and R4 =
D when the unbonded strain gage is connected for translation motion. Resistor
Ry and potentiometer Rx are used to initially balance the bridge. vi is the applied
voltage and v0 is the output voltage on a voltmeter or similar device with an
internal resistance of Ri. [Webster] – watch out for errors in editions  2010.
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Typical bonded strain
strain-gage
gage units (a) Resistance
Resistance-wire
wire type
type. (b) Foil type.
type (c)
Helical-wire type. Arrows above units show direction of maximal sensitivity to
strain.[Parts (a) and (b) are modified from Instrumentation in Scientific Research, by
K. S. Lion. Copyright  1959 by McGraw-Hill, Inc. Used with permission of
McGraw-Hill Book Co.]
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Puente de Wheatstone
En el punto de Balance
(Vg=0):
Rx  ( R1 / R2 )·
) R3
R2 es variable, Rx puede
Vg
ser una resistencia
i t
i
desconocida (v.g. una
galga)
(Configuración  Blackburn; resistencias
distintas a la de la configuración del Webster)
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Puente de Wheatstone
El p
puente de Wheatstone es un circuito diseñado p
para encontrar la
resistencia (o en general la impedancia) de un componente sabiendo
la de otros tres componentes. Constituye un “método” con muchas
aplicaciones de medición precisa. Para un voltaje de entrada Vin dado:
Vin  VACD  VABD
 I ACD ( R1  R2 )  I ABD ( R4  R3 )
C
R1
A
R2
R3
D
Vg
La diferencia de potencial entre AB y
AD es:
VAC  I ACD R1 
R4
B
Vin
VAB  I ABD R4 
Vin
R1  R2
Vin
R4  R3
R1
R4
Mi
Misma
configuración
fi
ió d
dell Blackburn,
Bl kb
con R4 = Rx
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Cálculo de una resistencia desconocida, o de un voltaje
El voltaje Vg puede obtenerse de:
Vg  VAC  VAB 
Vin
R1  R2
R1 
Vin
R4  R3
R4
R1 R3  R2 R4

Vin
( R1  R2 )( R4  R3 )
Suponemos que todas las resistencias pueden cambiar durante la
medición. Entonces el cambio en el voltaje leído será:
Vg  Vg 
( R1  R1 )( R3  R3 )  ( R2  R2 )( R4  R4 )
( R1  R1  R2  R2 )( R4  R4  R3  R3 )
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Vin
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Balance del circuito de Puente de Wheatstone
•
Si el puente esta inicialmente balanceado,
balanceado el voltaje inicial Vg
debería ser cero:
RR R R
Vg 
1
3
2
4
( R1  R2 )( R4  R3 )
Vin  0
 R1 R3  R2 R4 o sea:
•
•
Entonces:
R1 R4 1


R2 R3 r
r  R1 R2 R3 R4 
(1   )Vin  0
Vg 




2 
R2
R3
R4 
(1  r )  R1
Y  esta definida por:
1

(1  r )
1
R1 R4
 R2 R3 
r



R1
R4
R
R
3 
 2
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Cuando los cambios en la resistencia son pequeños (<5%),
(<5%) el
segundo término , es aproximadamente cero y puede ser
ignorado, entonces:
r  R1 R2 R3 R4 
Vin
Vg 




2 
R2
R3
R4 
(1  r )  R1
El coeficiente r/(1+ r)2 es llamado eficiencia de circuito.
En la práctica, para medir voltajes, se usa el mismo valor para las
cuatro resistencias R1=R2=R3=R4=R. Notemos entonces que r =1
en este caso, y el cambio en el voltaje será:
R1  R2  R3  R4
Vg 
Vin
4R
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Puente de Impedancias (Wheatstone Generalizado)
En el punto de Balance
(Vg=0):
Z x  (Z1 / Z 2 )·
) Z3
Zx
Z1
Las impedancias Z contienen
términos resistivos (parte real)
y reactivos (parte imaginaria).
Vg
Z3
Z3
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Ejercicio 1. En el circuito siguiente, encuentre expresiones para los valores del
capacitor
p
Cx y la resistencia Rx en términos de las demás componentes.
p
Circuito conocido como “Puente
Puente de Schering.
Schering ”
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Ejercicio 2 . En el circuito siguiente, deducir las relaciones entre las impedancias
(condiciones de balance).
balance)
Circuito conocido como “Puente de Hay”
y (también
(
“filtro de inductancia de Hay”).
y )
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Ejercicio 3. Verificar que para el puente de Maxwell-Wien (figura) se obtienen las
relaciones siguientes (¿qué diferencias hay con los puentes de Hay y de Schering?):
R1·R4
R3 
R2
L3  R1·R4 ·C2
Aplicación:
p
hallar el valor L en términos de una resistencia y una capacitancia
p
calibradas
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Efecto Piezo-resistivo:
• Variación de la resistividad de un material al someterse a
tensión mecánica o deformación.
• Efecto anisotrópico.
• Depende del “dopado” del material (semiconductor) de la
piezo-resistencia.
• Se sitúan piezo-resistencias en los lugares de máxima
d f
deformación
ió d
de lla lá
lámina
i ((soporte).
t )
• Disposición en una configuración de puente de
Wheatstone.
Wheatstone
• No confundir con efecto piezo-eléctrico (generación de
un potencial a partir de deformaciones o presión)
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Ejemplo en Medicina: Pletismógrafo
(cambios de volumen en un órgano,
por fluctuaciones en sangre o aire)
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Figure 2.5 Mercury-in-rubber strain-gage plethysmography (a) Four-lead gage
applied to human calf.
calf (b) Bridge output for venous-occlusion
venous occlusion plethysmography.
plethysmography (c)
Bridge output for arterial-pulse plethysmography. [Part (a) is based on D. E. Hokanson, D.
S. Sumner, and D. E. Strandness, Jr., "An electrically calibrated plethysmograph for direct
measurement of limb blood flow." 1975, BME-22, 25-29; used with permission of IEEE
Trans. Biomed. Eng., 1975, New York.]
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Problemas eventuales en sensores de galga
extensiométrica de resistencia elástica y soluciones
La galga de deformación de resistencia elástica es muy usada
en aplicaciones médicas, por su fácil aplicación en mediciones
sobre el cuerpo; sin embargo presentan los siguientes
problemas:
• Tienen respuesta no-lineal
no lineal para largas extensiones (30%),
(30%)
• en caso falta de tensión u holgura (slackness), tiene una
banda de linealidad “muerta”; a largo plazo está sujeta a
deformación permanente,
permanente
• la continuidad en la columna de mercurio y de la columna con
los electrodos puede constituir un problema,
• estas galgas tienen un elevado coeficiente de deriva en
temperatura,
• la respuesta
p
dinámica y la resistencia mecánica finita p
pueden
causar distorsiones.
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Los problema anteriores pueden minizarse:
• Seleccionando con cuidado el tamaño adecuado de galga
para lo que se desea medir (una extremidad,
extremidad el torso,
torso un pie,
pie
el antebrazo (adulto, bebé, persona obesa, etc.).
• la galga debe extenderse ligeramente para el
desplazamiento mínimo al ser aplicada, para eliminar el
problema de holgura o falta de tensión (precargar la galga),
• la continuidad en el mercurio se verifica usando un
ohmmetro,
• los problemas de deriva en temperatura pueden minimizarse
con calibración continua o realizando mediciones en un
ambiente de temperatura controlado.
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Sensores Inductivos
Una inductancia L permite medir desplazamientos al variar cualquiera de los
parámetros
á
de
d las
l bobinas
b bi
(coil):
( l)
L  n 2G 
n = Número de vueltas de la bobina
G = Factor
F t de
d forma
f
geométrico
ét i
 = permeabilidad efectiva del medio
Cada parámetro puede cambiarse por medios mecánicos.
a
c
c
a
c
a
b
b
c
c
d
d
d
b
d
(a)
d
(b)
e
(c)
Figure 2.6 Inductive displacement sensors (a) Self-inductance.
Self inductance. (b) Mutual inductance.
(c) Differential transformer (LDVT).
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La figura 2.6(c) ilustra el Transformador Diferencial Variable Lineal (LVDT),
muy usado en medicina clínica e investigación fisiológica para medir presión,
fuerza y desplazamientos mayores a los medidos por resistencias variables.
El acoplamiento entre las bobinas es cambiado por el movimiento de un
cilindro (slug) de una aleación con alta permitividad magnética. La disposición
de las bobinas secundarias en serie,
serie conectadas “en
en oposición
oposición”, permite un
intervalo lineal más amplio. El voltaje de salida es Vcd=Vce Vde. Cuando el
cilindro es posicionado simétricamente entre las bobinas, ambos voltajes
secundarios son iguales y la señal de salida es 0.
Corte de un LVDT. La corriente es
dirigida por la bobina primaria en A,
causando la generación de una
corriente inducida a través de las
bobinas secundarias en B.
La sensitividad de los LVDTs es mayor
a la de las galgas de deformación.
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Sensores Capacitivos
Figure 2.8 Capacitance sensor for measuring dynamic displacement changes
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Sensores Capacitivos
Capacitancia entre dos placas paralelas de área A separadas por distancia x:
C   0 r
A
x
0 es la constante eléctrica en espacio libre (8.8  10-12 Farads/m)
r es la constante eléctrica relativa del aislante (en el aire, es 1.0).
Lo más sencillo es cambiar la separación entre placas. La sensitividad es:
K
C
A
  0 r 2
x
x
Se puede obtener una expresión que muestra que el % de cambio en C
torno a cualquier punto neutro es igual al cambio en x por unidad (pequeños
desplazamientos),j
dC
C

dx
x
o:
dC
dx

C
x
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Para un micrófono, con un circuito excitado por corriente DC, v1=E. Un
cambio en posición x
 = x1-x0 produce un cambio en voltaje v0 = v1-E.
E
La salida Vo se relaciona con x1 por:
Vo ( j ) ( E / x0 ) j
A

, con   RC  R 0 r
X 1 ( j )
j  1
x0
Es un filtro pasa-altas. Dicho micrófono, permite detectar presión acústica
para sonidos con frecuencia mayor a 20Htz. Sin embargo muchas señales
fisiológicas tienen componentes de baja frecuencia relativa (respiración,
ritmo
it
cardiaco
di
y otros
t
movimientos
i i t
d l corazón,
del
ó presión
ió del
d l pie
i all andar,
d
etc.). Diversos materiales permiten aumentar la capacitancia, permitiendo
medir frecuencias bajas ( RC grande).
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Ejemplo 1:
Para un sensor de capacitancia de 1 cm2, R es de
100 M. Calcular x, o sea el espaciamiento entre placas
requerido
q
ppara ppasar frecuencias de sonido superiores
p
a 20 Hz.
Solución:
A partir de la frecuencia de corte (1/RC), tenemos
C= 1/2fR = 1/(220  108) = 80pF.
C
80pF El espaciamiento x se
calcula dado C de:
x   0 r
12
4
A (8.854 10 )(110 )
5


1.11

10
m  11.1m
12
C
80 10
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Sensores Piezoeléctricos
• Medición de desplazamientos fisiológicos y sonidos cardiacos
• Esfuerzo mecánico en material piezoeléctrico produce un potencial eléctrico
• No confundir con sensores piezorresistivos (el esfuerzo cambia resistividad)
Para un piezoeléctrico ideal (resistencia de fuga infinita), la carga total inducida
es p
proporcional
p
a la fuerza aplicada:
p
q = kff
donde k es la constante
piezoelétrica del material (cristal) en Coulombs/Newton (C/N).
El cambio en voltaje es:
kf
kfx
v 
C  0 r A
Para un piezoeléctrico real, se debe considerar, sobretodo para señales AC:
•
•
•
Capacitancias del circuito (cables
(cables, elementos y C debida a la geometría)
y del instrumento de medición (impedancia de entrada; depende de
frecuencia de entrada: x(t)).
Resistencia de fuga del elemento piezoeléctrico del orden de 100M.
Inductancias del circuito (cables, etc.) y del instrumento de medición.
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Figure 2.9 (a) Equivalent circuit
of piezoelectric sensor, where Rs =
sensor leakage resistance, Cs =
sensor capacitance, Cc = cable
capacitance, Ca = amplifier input
capacitance, Ra = amplifier input
resistance and q = charge
resistance,
generator. (b) Modified equivalent
circuit with current generator
replacing
charge
generator.
(From Measurement Systems:
Application and Design, by E. O.
Doebelin. Copyright  1990 by
McGraw-Hill
McGraw
Hill, Inc.
Inc Used with
permission of McGraw-Hill Book
Co.) See errors in figs. (a) & (b)
in [Webster] editions  2010.
x
e Amplifier
Cable
Crystal
Amplifier
+
Charge
generator
q = Kx
K
Rs
Cs
Cc
Ca
Ra
iAmplifier = 0
o



(a)

Amplifier impedance
i a= 0
is
iC
Current
generator
is = Kdx/dt
C
iR
R
+
o

R = Ra Rs /(Ra+ Rs ) < Ra
C = Cs + Cc + Ca
(b)
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Características de respuesta dinámica como filtro RC (Figura 2.9):
Generador de carga q definida por :
q  Kx
K
Donde K es una constante de proporcionalidad y x es la deflexión
Simplifcamos el análisis al convertir el modelo de generador de carga
en generador de corriente is:
is 
dq
dx
K
dt
dt
Como ya consideramos en la C y R netas la impedancia del
amplificador, este no toma ninguna corriente (ia = 0) y obtenemos:
is  iC  iR
is  iR  C
además:
dv0
dx v0
K

dt
dt R
v0  vC 
de donde:
1
i dt
CC
V0 ( j ) K s j

X ( j ) j  1
Con Ks =K/C la sensitividad en Volts/m,
y  = RC la constante de tiempo
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Ejemplo 2. Un sensor piezoeléctrico tiene una capacitancia
C=500 pF. La resistencia de fuga (leakage) del sensor es de
10G. La impedancia
p
de entrada del amplificador
p
es de 5M.
Solución: Del circuito equivalente de la figura 2.10(b), vemos que
R = Ra Rs /(Ra+ Rs )  Ra, pues en este caso Rs  Ra . Obtenemos:
f c  1/ (2 RC )  1/ [2 (5  106 )(500 1012 )]  64Hz
Al aumentar la impedancia del amplificador por un factor de 100,
y la frecuencia de corte (low-corner
(
frequency)
y) a 0.54 Hz
disminuye
Nota: se omite en el Webster la aproximación
aproximación, y en figura debe usarse ““””
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*Ejemplo 3.
Para un sensor piezoeléctrico con un cable cuya capacitancia es de
C=1nF (nano Farad), diseñar un amplificador de voltaje (no de carga) usando sólo un
amplificador inversor con una ganancia de 10.
10 Debe poder manejar una carga Q de 1C
(micro-Coulomb), que será generado por el pulso de la carótide, sin saturación. No debe
derivar (drift) hacia saturación debido a las corrientes de polarización (ver tema de
Opamps). Debe tener una respuesta en frecuencia de 0.05 a 100 Hz. Agregar el mínimo
de componentes extras para conseguir las especificaciones de diseño.
diseño
Solución: El voltaje se obtiene de V = Q/C = 1 C/1 nF = 1 kV. Como es muy alto, se
agrega un capacitor de shunt* Cs = 1 F para alcanzar solo 1.0V. Esto permite una
ganancia
i de
d 10.
10 Para
P
alcanzar
l
una frecuencia
f
i de
d corte
t baja,
b j se agrega una resistencia
i t
i
de shunt Rs = 1/(2fcCs) = 1/(2(0.05)(1 F ) = 3.2 M (Notar omisión de subíndice en Cs en
Webster). Para alcanzar una ganancia de +10 en un amplificador no-inversor, se
selecciona una resistencia de feedback Rf = 10 k y una de entrada Ri = 1.11 k y,
fi l
finalmente,
t un capacitor
it de
d feedback
f db k Cf que para la
l frecuencia
f
i de
d corte
t alta
lt (100 Hz)
H ) ell
cuál tiene un valor igual a: Cf = 1/(2fcRf) = 1/(2(100 Hz)(10 k) = 160 nF.
Notas: Para resolver este problema, ver antes tema de Amplificadores Operacionales.
(*) Un
U shunt
h t es un dispositivo
di
iti (v.g.
(
una impedancia)
i
d
i ) que permite
it pasar una corriente
i t eléctrica
lé t i por
otra parte del circuito; es una especie de “corto-circuito”; también permite filtrar ruido; una
resistencia shunt Rs en paralelo con otra R disminuye el valor neto; una constante RC se puede
modificar al agregar una Cs o una Rs de shunt en los puntos apropiados.
Tarea moral: Haga el diagrama del circuito de este sensor mas el amplificador de voltaje noinversor, identificando todas las componentes mencionadas.
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Ejemplo 4. Retomando el ejemplo 2, tenemos un sensor piezoeléctrico
con una capacitancia Cpiezo =500 pF, resistencia de fuga de 10G y la
impedancia de entrada del amplificador es de 5M. Calcular el valor de
capacitancia de shunt que se debe agregar para extender la frecuencia de
corte baja a 0.05 Hz, tal como se requiere para detectar las formas de onda
de pulsos. ¿Cómo cambia la sensitividad?
Solución. Tenemos fc = 0.05 Hz = 1/(2RCequivalente), donde, al agregar en
paralelo una capacitancia de shunt, tenemos: Cequivalente = 1/(2R fc) = 0.637
10-66 F = Cpiezo+ Cshunt de donde Cshunt= 0.636F = 636 nF mientras que Cpiezo=500
pF = 0.5 nF. La carga (fija) es Q = CV, y la capacitancia C aumenta por un factor
de 636 nF/0.5 nF = 1272 veces. La sensitividad del voltaje V disminuye en
1/1272.
O sea que la sensitividad decrecerá por un factor de 1272 debido al
incremento en la capacitancia equivalente.
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Mechanical
resonance
Output voltage
Input force
Lm
Cm
Cs
Rt
Rm
Usable
range
fc
(a)
Frequency
(b)
*Figure 2.11 (a) High-frequency circuit model for piezoelectric sensor. Rs is the
sensor leakage resistance and Cs the capacitance. Lm, Cm, and Rm represent the
mechanical
h i l system. (b) Piezoelectric
Pi
l i sensor frequency
f
response. (From
(F
T
Transducers
d
for Biomedical Measurements: Application and Design, by R. S. C. Cobbold.
Copyright  1974, John Wiley and Sons, Inc. Used by permission of John Wiley and
Sons,, Inc.))
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Fin de notas SensoresBasicos.ppt
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XXXXXX Puente de Wheatstone
El puente de Wheatstone es un circuito diseñado para encontrar la
resistencia (o en general la impedancia) de un componente sabiendo
la de otros tres componentes.
Para un voltaje de entrada Vin dado:
C
A
Vin  VABC  VADC
 I ABC ( R1  R2 )  I ADC ( R4  R3 )
D
La diferencia de p
potencial entre AB y
AD es:
B
VAB  I ABC R1 
VAD  I ADC R4 
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Vin
R1  R2
Vin
R4  R3
R1
R4
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Cálculo de la resistencia desconocida
El voltaje Vg puede obtenerse de:
Vg  VAB  VAD 
Vin
R1  R2
R1 
Vin
R4  R3
R4
R1 R3  R2 R4

Vin
( R1  R2 )( R4  R3 )
Suponemos que todas las resistencias pueden cambiar durante la
medición. Entonces el cambio en el voltaje leído será:
Vg  Vg 
( R1  R1 )( R3  R3 )  ( R2  R2 )( R4  R4 )
( R1  R1  R2  R2 )( R4  R4  R3  R3 )
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Vin
41
Balance del circuito de Puente de Wheatstone
•
Si el puente esta inicialmente balanceado, el voltaje inicial Vg
debería ser cero.
R1 R3  R2 R4
Vg 
Vin  0
( R1  R2 )( R4  R3 )
•
•
Entonces:
R1 R4 1
 R1 R3  R2 R4 o sea:


R2 R3 r
r  R1 R2 R3 R4 
Vg 



(1   )Vin  0

2 
R2
R3
R4 
(1  r )  R1
Y  esta definida p
por:
1

(1  r )
1
R1 R4
 R2 R3 

r


R1
R4
R
R
3 
 2
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Cuando los cambios en la resistencia son pequeños (<5%),
(<5%) el
segundo término , es aproximadamente cero y puede ser
ignorado, entonces:
r  R1 R2 R3 R4 
Vin
Vg 




2 
R2
R3
R4 
(1  r )  R1
El coeficiente r/(1+ r)2 es llamado eficiencia de circuito.
En la práctica regularmente se usa el mismo valor para las cuatro
resistencias R1=R2=R3=R4=R. Notemos entonces que r =1 en
este caso, y el cambio en el voltaje será:
R1  R2  R3  R4
Vg 
Vin
4R
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