Capítulo VII: Energía Específica y Momenta

Capítulo VII
Energía específica y momenta
CAPITULO
VII
ENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA
7.1
Energía específica
La energía de la corriente en una sección determinada de un canal es igual a la suma del
tirante, la energía de velocidad y la elevación del fondo con respecto a un plano horizontal de
referencia arbitrariamente escogido y se expresa así
Energía =
y +α
V2
+z
2g
(7-1)
y es el tirante, α el coeficiente de Coriolis, V la velocidad media de la corriente en la
sección considerada, z la elevación del fondo con respecto a un plano de referencia.
Si tomamos como plano de referencia el fondo del canal, la energía así calculada se denomina
energía específica y se designa con la letra
E . Esta definición significa z = 0.
E = y +α
V2
2g
(7-2)
La energía específica es, pues, la suma del tirante y la energía de velocidad. Como está
referida al fondo va a cambiar cada vez que éste ascienda o descienda.
Obsérvese que las definiciones anteriores no implican necesariamente condiciones normales.
Puede, por ejemplo, calcularse la energía específica para una sección que forma parte de un
323
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
movimiento gradualmente variado, siempre y cuando el flujo pueda considerarse como paralelo
y aceptarse una distribución hidrostática de presiones, que son los supuestos fundamentales
de la ecuación 7-1.
La energía específica se interpreta gráficamente así
Línea de energía
α
2
V
2g
E
y
Fondo (plano de referencia)
Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica
Estamos considerando que la pendiente del canal es cero (horizontal), o muy pequeña. En
consecuencia, es indiferente que el tirante se mida vertical o normalmente al fondo.
Hemos visto en el capítulo I que en muchos casos se justifica considerar que el coeficiente de
Coriolis es igual a la unidad. Entonces,
E = y+
V2
2g
(7-3)
es la ecuación de la energía para este caso particular.
Esta ecuación puede también expresarse en función del gasto
transversal, que es una función del tirante
Q y el área A de la sección
y ( V = Q A ).
E = y+
Q2
2gA2
(7-4)
En esta ecuación se ve con claridad que hay tres variables involucradas: energía específica,
gasto y tirante
324
Capítulo VII
Energía específica y momenta
y = ö (E, Q)
(7-5)
Para poder discutir y analizar esta función consideraremos sucesivamente la constancia de
cada una de las dos variables del segundo miembro de la ecuación 7-5.
Así, si aceptamos que el gasto es constante
y = φ( E )
(7-6)
y = φ(Q)
(7-7)
Pero si la energía es constante,
7.2
Energía específica a gasto constante
Discusión de la curva
E− y
La ecuación de la energía específica a gasto constante puede ser graficada colocando en el
eje de abscisas los valores de la energía específica y en el eje de ordenadas los del tirante
y,
tal como se ve en el Figura 7.2.
Empezaremos por discutir las asíntotas de la ecuación 7-4,
E = y+
Q2
2gA2
que evidentemente son
E− y =0 ;
y=0
Es decir, que las dos asíntotas están constituidas por una recta a 45º ( E
= y ) y por el eje de
abscisas. Es claro que si la pendiente del canal no es cero entonces dicha asíntota no está
a 45º. Es decir, que si la pendiente del canal es lo suficientemente grande como para tenerse
que tomar en cuenta, entonces no es lo mismo medir el tirante vertical o normalmente al
fondo.
Examinemos el mínimo de la ecuación 7-4 que corresponde a
dE
=0
dy
325
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
E=y
y
Tirante
V2
E = y+
2g
V22
2g
y2
R
IO
V < Vc
dE
dy = 0
y2
F< 1
0<
Q2 T
3 <1
gA
dE
<1
dy
Q = CONSTANTE
2
Vc
2g
yc
y1
y1
CRISIS
45º
V12
2g
V = Vc
F= 1
Q2T
3 =1
gA
TORRENTE
V > Vc
F> 1
dE
<0
dy
Q2 T
3 >1
gA
V2
E = y+
2g
E min
Energía Específica
V2
E = y1 + 1
2g
TORRENTE
=
V2
y2 + 2
2g
RIO
y1 e y2 son tirantes alternos
V12 Vc 2
>
2g 2g
2
( E1 = E 2 )
(flujo supercrítico)
F > 1 ( y1 < yc )
(flujo subcrítico)
F < 1 ( y2 > yc )
2
V2
Vc
<
2g 2g
Si E < E min no hay flujo posible del gasto Q
Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante (Curva
326
E− y)
Capítulo VII
Energía específica y momenta
y a partir de la ecuación 7-4 se obtiene
dE
Q 2 dA
= 1− 3
dy
gA dy
(7-8)
Esta expresión es aplicable a una sección transversal cualquiera, como la que se ve en la
figura
T
Para cada valor del tirante
y , que es
variable, hay un valor del área
valor del ancho superficial
dy
A y un
T . El área
es
y
A
A( y ) = ∫ T ( y )dy
y
0
Al diferenciar esta expresión se llega a
dA = Tdy
Luego,
T=
dA
dy
(7-9)
Siempre se cumple que la derivada del área con respecto al tirante es igual al ancho superficial.
Evidentemente que esta igualdad también es válida para un conducto abovedado. Obsérvese
en el cuadro “Elementos geométricos de diversas secciones” (Tabla 6.11) que para todas las
secciones se cumple la ecuación 7-9. Reemplazando este valor en la ecuación 7-8 se obtiene
dE
Q2T
= 1−
dy
gA3
(7-10)
Si esta ecuación se iguala a cero nos da el mínimo valor de la energía con que puede escurrir
un gasto
Q en un canal dado y que corresponde a las condiciones críticas
dE
Q2T
= 1−
=0
dy
gA3
327
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
o bien,
Q 2 A3
=
g
T
ó
Q 2T
=1
gA3
(7-11)
que es la condición general de flujo crítico en cualquier sección transversal.
Es interesante notar que la ecuación 7-11, de condición general de crisis, puede hacerse
adimensional al dividir ambos miembros por
L5 .
Q2
A3
=
gL5 TL5
siendo
(7-11a)
L una magnitud lineal característica de la sección (ancho, diámetro, etc.).
Hasta el momento hemos establecido que la ecuación de la energía específica tiene dos
asíntotas y un mínimo. Por lo tanto tiene dos ramas tal como se ve en la Figura 7.2.
La rama superior corresponde al régimen denominado RIO. En él siempre se cumple que
Q 2T
<1
gA3
La rama inferior corresponde al régimen denominado TORRENTE. En él siempre se cumple
que
Q 2T
>1
gA3
El régimen crítico, que separa los ríos de los torrentes, corresponde a (ec. 7-11)
Q 2T
=1
gA3
La velocidad y el tirante que corresponden a la energía mínima se denominan críticos.
De esta última ecuación se obtiene
Q= A g AT
328
Capítulo VII
Energía específica y momenta
El tirante hidráulico se definió en el capítulo I como,
d=
A
T
es decir, como la relación entre el área de la sección transversal y el ancho superficial. Luego,
Q = A gd
o bien,
V = g A T = gd
que es la velocidad que corresponde al mínimo contenido de energía y que se denomina
velocidad crítica
Vc (en cualquier sección transversal).
Vc = g A T = gd c
(7-12)
Desde el punto de vista de la consistencia en la notación quizá sería más conveniente que en
las ecuaciones 7-11, 7-12 y otras se escriba en lugar de
A , Ac y en lugar de T , Tc , etc. Por
comodidad se omiten los subíndices, pero debe entenderse claramente que los valores de
A , T y otros que corresponden al mínimo contenido de energía son necesariamente críticos.
Si no hubiéramos considerado que el coeficiente de Coriolis es igual a 1, entonces la velocidad
crítica sería
Vc =
De la ecuación 7-12, para
g
d
α c
(7-13)
α = 1 , se obtiene que
Vc2 dc
=
2g 2
(7-14)
Significa esta ecuación que en un régimen crítico la energía de velocidad es igual a la mitad
del tirante hidráulico (para cualquier sección). Es claro que las expresiones 7-11, 7-12 y 7-14
son absolutamente equivalentes.
329
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Se observa en la Figura 7.2 que para un valor dado de la energía específica, superior a la
mínima, pueden presentarse dos tirantes diferentes.
El mayor de ellos corresponde a un régimen de río. Se caracteriza porque la velocidad siempre
es menor que la crítica. Por eso se llama régimen subcrítico. El menor de ellos corresponde
a un régimen de torrente. Se caracteriza porque la velocidad siempre es mayor que la crítica.
Por eso se llama régimen supercrítico.
De acuerdo a las definiciones anteriores se comprende de inmediato que
Emin = yc +
Vc2
2g
(7-15)
Más adelante veremos que la proporción en la que se distribuye la energía mínima entre
tirante y energía de velocidad depende de la forma de la sección transversal.
Los tirantes
y1 e y 2 , uno de torrente y otro de río, que corresponden a la misma energía
específica se denominan alternos.
Introducción del Número de Froude
Veamos como el número de Froude es útil para distinguir los tres regímenes anteriormente
presentados.
El número de Froude es un indicador del tipo de flujo y describe la importancia relativa de las
fuerzas gravitacionales e inerciales. Su definición general es
F=
Si la velocidad
V
=
gd
V
gAT
(7-16)
V de la corriente es igual a la crítica, entonces
F=
gd c
=1
gd c
(7-17)
Llegándose así a la importante conclusión que en un régimen crítico el número de Froude es
igual a 1.
330
Capítulo VII
Energía específica y momenta
En un río la velocidad de la corriente es menor que la crítica y, por lo tanto, el número de
Froude es menor que 1.
En un torrente la velocidad de la corriente es mayor que la crítica y, por lo tanto, el número de
Froude es mayor que 1.
Examinemos nuevamente la ecuación 7-10
dE
Q2T
= 1−
dy
gA3
Al introducir
V = Q A se obtiene
dE
V2
= 1−
A
dy
g
T
(7-18)
Pero, (ec. 7-16)
F=
V
g
A
T
De donde,
dE
=1− F2
dy
(7-19)
Si el número de Froude es igual a 1 (condiciones críticas) entonces,
dE
=0
dy
(7-20)
Condición que es precisamente la de energía mínima.
Si el número de Froude es menor que 1 (régimen subcrítico) entonces,
0<
dE
<1
dy
(7-21)
331
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Propagación de una onda superficial
Examinemos otra interpretación de los regímenes de corriente antes descritos
Si en la superficie libre de un canal se produce una onda superficial ésta adquiere una celeridad
c , es decir, una velocidad con respecto a la corriente que aproximadamente es igual a
c = gy
Siendo
(7-22)
y la profundidad de la corriente.
c-V
Resulta evidente que la condición para
c+V
que un onda pueda remontar la corriente
es que su celeridad sea mayor que la
velocidad de la corriente.
y
V
En un torrente siempre se cumple que
la velocidad media de la corriente es
mayor que
gy (sección rectangular).
De acá que los torrentes se caracterizan porque una onda superficial no puede remontar la
corriente.
En cambio, en los ríos si es posible que un onda superficial remonte la corriente.
En el régimen crítico la velocidad de la corriente es igual a la celeridad de la onda y ésta
permanece estacionaria, ( c = V ).
Ríos y torrentes
Los ríos se caracterizan por tener pequeña velocidad y gran tirante (régimen subcrítico).
En cambio, en los torrentes la velocidad es grande y el tirante pequeño (régimen supercrítico):
la mayor parte de la energía específica corresponde a energía de velocidad.
V 2 2g
La conclusión que obtenemos es que la relación
describe el régimen de la corriente.
E
La relación
V 2 2 g es fija para el régimen crítico, pero depende de la forma de la sección.
E
En los torrentes la variación del tirante y la energía específica es de signo contrario: si aumenta
el tirante disminuye la energía específica. Esto se ve claramente en la Figura 7.2 y en la
Figura 7.2a.
332
Capítulo VII
Energía específica y momenta
En cambio en los ríos la variación es del mismo signo.
Esta es una propiedad importante de ríos y torrentes que será muy útil para la discusión de
los perfiles de la superficie libre cuando se presente, por ejemplo, pequeñas gradas de fondo
que implican un cambio en la energía específica.
Propiedades de la curva de la Energía Específica (Figura 7.2)
Aunque las características de la ecuación de la Energía Específica, a gasto constante, han
sido analizadas y discutidas en las páginas anteriores, se presenta a continuación, en forma
de resumen, sus principales características.
i)
La curva
E − y (energía específica – tirante, a gasto constante) tiene dos ramas: una
superior que corresponde al régimen de río y otra inferior que corresponde a los torrentes.
ii)
En un torrente,
iii)
La curva
iv)
La curva
dE es negativo, y en un río es positivo, (menor que 1).
dy
E − y tiene dos asíntotas que son E = y ; y = 0 .
E − y tiene un mínimo que corresponde al mínimo contenido de energía,
dE
= 0 . Se define por las ecuaciones 7-11, 7-12, ó 7-14.
dy
El tirante y la velocidad que corresponden al mínimo contenido de energía se denominan
críticos.
v)
Para cualquier contenido de energía superior a la mínima existen dos puntos sobre la
curva: uno corresponde a un río y el otro a un torrente. Los tirantes respectivos, que se
caracterizan por tener la misma energía específica, se denominan alternos.
vi)
Para la energía específica mínima sólo hay un flujo posible: el crítico.
vii) En la zona superior de la curva
E − y la velocidad siempre es menor que la crítica (flujo
subcrítico).
En la rama inferior la velocidad de la corriente es siempre superior que la crítica (flujo
supercrítico).
viii) En un río el número de Froude es menor que 1. En un torrente, mayor que 1. En la crisis
es 1.
ix) Una onda superficial puede remontar la corriente en un río, pero no en un torrente.
333
Hidráulica de tuberías y canales
x)
Arturo Rocha
En un río un aumento del tirante implica un aumento de la energía específica
dE
>0.
dy
En cambio, en un torrente un aumento del tirante implica una disminución de la energía
específica
dE
< 0.
dy
y
En un río las variaciones de
∆y
E e y son del mismo signo y
∆E
RI
O
del mismo orden de magnitud.
En un torrente las variaciones de
45º
∆y
TORR
ENTE
E e y son de diferente signo y
∆E
de diferente orden de magnitud.
E
Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante
Ejemplo 7.1 Probar que la sección de un canal en la cual el flujo es crítico puede ser expresada en la
forma siguiente
x2 y3 =
Q2
32 g
Donde “x” es la mitad del ancho superficial e “y” es la distancia de la superficie del agua a la línea de
energía.
Solución. Sea T el ancho superficial y V la velocidad media de la corriente. Entonces,
x=
T
2
y=
V2
2g
Como el problema establece que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación fundamental 7-11
Q2
g
334
=
A3
T
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Siendo en este caso,
T = 2x
Q
=
V
A=
Q
2 gy
Reemplazando los valores de A3 y de T en el segundo miembro de la ecuación 7-11 se verifica la
expresión propuesta.
Podría haberse usado como condición de crisis la ecuación 7-12.
7.3
Sección rectangular
Condiciones críticas
En cualquier sección transversal en la que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación 7-11
ó la 7-12, ya que son equivalentes. Partamos de esta última ecuación
Vc = g
expresión en la que
A
T
Vc es la velocidad crítica, A el área de la sección transversal, T el
ancho superficial.
Tal como lo señalamos antes, siendo el flujo crítico se sobreentiende que
A es Ac y T es
Tc .
En una sección rectangular la relación
A T (tirante hidráulico) es igual al tirante. Luego,
Vc = gyc
(7-23)
que es la ecuación de la velocidad crítica en una sección rectangular. De esta ecuación se
obtiene de inmediato
Vc2 yc
=
2g 2
(7-24)
Esta última ecuación significa que en un régimen crítico en sección rectangular la energía de
velocidad es igual a la mitad del tirante crítico.
335
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
La energía que corresponde a las condiciones críticas es
E = yc +
Este valor de la energía es el mínimo en la curva
Vc2
2g
E − y , tal como se ve en la Figura 7.2.
Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene
2
E
3
(7-25)
Vc2 1
= E
2g 3
(7-26)
yc =
Esta es, pues, la proporción en la que se distribuye la energía, en condiciones críticas, en un
canal rectangular. Al respecto puede leerse nuevamente el comentario hecho después de
presentar la ecuación 7-15.
Vc2
2g
1
E
3
yc
2
E
3
E
Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular
Se puede obtener fácilmente una expresión para el tirante crítico en función del gasto recordando
que
336
Capítulo VII
Vc =
Q q
=
A yc
Energía específica y momenta
o
o o
yc =
3
2
q2
= 0,467q 3
g
(7-27)
Vc = gyc
q es el gasto específico, es decir, el gasto por unidad de ancho. La última expresión
corresponde al sistema métrico.
En general, la energía específica de un canal rectangular es
E = y+
Si dividimos ambos miembros por el tirante
V2
2g
y , se llega a
E
V2
=1 +
y
2 gy
Introduciendo el número de Froude
F=
V
se obtiene
gy
E
F2
= 1+
y
2
(7-28)
Si esta expresión se combina con la ecuación 7-19, se obtiene,
dE
2E
= 3−
dy
y
Nótese que si en la ecuación 7-28 hacemos
obtiene
E=
(7-29)
F = 1 esto significa condiciones críticas, y se
3
y , tal como se demostró anteriormente.
2 c
Lo mismo se podrá hacer en la ecuación 7-29. Las condiciones críticas están dadas por
337
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
3
dE
= 0 , obteniéndose también E = yc .
2
dy
Expresión adimensional de la energía específica (Figura 7.4)
La expresión que nos da la energía específica en un canal rectangular cuyo gasto específico
es
q , se obtiene de inmediato a partir de 7-4
E= y+
q2
2gy 2
Dividiendo ambos miembros por el tirante crítico
(7-30)
yc se obtiene
E
y
q2
= +
y c yc 2 gy 2 yc
Pero, en una sección rectangular
yc = 3
q2
g
ó lo que es lo mismo,
q 2 = gy3c
(7-31)
E
y
y2
=
+ c2
yc yc 2 y
(7-32)
Reemplazando se obtiene
que es la expresión adimensional de la energía específica en un canal rectangular. La ecuación
7-32 puede también tomar la forma siguiente
E
2 y 1 y c2
=
+
Emin 3 yc 3 y 2
338
(7-32a)
Capítulo VII
Energía específica y momenta
y
yc
E=y
3
yc2
y
E
=
+
yc
yc
2y2
O
RI
2
1
CRISIS
TORRENTE
yc = 2 E
3
45º
0
1
1,5
2
3
E
yc
Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular
339
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Variación del gasto con el tirante a energía específica constante
El análisis hecho hasta ahora ha sido considerando gasto constante y energía específica
variable en función del tirante.
Vamos a examinar ahora la posibilidad mencionada en la ecuación 7-7
y = φ(Q) , para energía constante
La ecuación de la energía específica en un canal rectangular es
E= y+
De acá podemos despejar el gasto específico
q2
2gy 2
q
q = 2 g (E − y ) y
(7-33)
Siendo la energía específica constante se tendrá que para cada valor del tirante
y hay un
valor correspondiente del gasto. Por lo tanto habrá un valor del tirante que produzca el gasto
máximo
dq
=0
dy
1
1
dq
1
= 2 g (E − y )2 − ( E − y )− 2 y  = 0
dy
2


De donde,
y=
2
E
3
Se obtiene así que el gasto es máximo cuando el tirante es los 2/3 de la energía específica.
Esta es precisamente la ecuación 7-25 obtenida al examinar las condiciones críticas en un
canal rectangular. Luego, pues, el gasto es máximo cuando las condiciones son críticas.
El gasto máximo en un canal es el que corresponde a las condiciones críticas
3
Q = AVc = byc gy c = g byc2
340
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Pero, en un canal rectangular
Luego,como
q=
yc =
2
E
3
Q
se obtiene
b
3
2 2
q = g   E 2
3
3
(7-34)
En el sistema métrico
3
q = 1,704E 2
(7-35)
Este es el gasto máximo que puede transportar un canal con un contenido de energía específica
dado. La representación gráfica de la ecuación 7-33 aparece en la Figura 7.5.
Ejemplo 7.2 En un canal rectangular de 4 m de ancho se ha determinado que las ondas superficiales
remontan la corriente con una velocidad de 2,2 m/s y son arrastradas por la corriente con una velocidad
de 3,0 m/s. Hallar el gasto en el canal.
Solución. Sea V la velocidad de la corriente en el canal y c la celeridad de las ondas superficiales.
Entonces,
c - V = 2,2
c+V=3
De donde,
c = 2,6 m/s y V = 0,4 m/s
A partir de la ecuación 7-22 obtenemos que
y=
c2
= 0,69 m
g
El gasto es Q =AV = 2,76 x 0,4 = 1,10 m3/s
Como las ondas pueden remontar la corriente esto significa que el número de Froude es menor que 1
y que la velocidad media de la corriente es menor que la crítica, como puede fácilmente comprobarse.
(F= 0,15).
Si la onda se produce en la dirección de la corriente su velocidad sería de 2,6 + 0,4 = 3,0 m/s, pero si la
onda se produce contra la corriente su velocidad sería 2,6 - 0,4 = 2,2 m/s.
341
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
y
q = 2g(E - y) y
VR2
2g
RI
q
O
dq
FR
Vc 2
2g
q = 1,704 E
<
dy
1
3
2
CRISIS
qmax
F=1
2
T
V
2g
E
=0
T
F>
1
yR
2
y
3
(sección rectangular)
TO
RR
EN
TE
yc =
q
yT
q
q < q max
3
q
max
= 1,704 E 2
(sección rectangular)
yT
yR
yR
yT
2
=
FR
(1 +
4
2
FT
=
(1 +
4
1+
8
2 )
FR
Los subíndices R y T se
refieren a río y torrente
8
1+ 2 )
FT
Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante
342
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Ejemplo 7.3 En un canal rectangular el gasto específico es de 1 m3/s/m. Presentar una tabla que
muestre la variación de la energía específica y de otros parámetros descriptivos de la corriente en
función del tirante, para valores comprendidos entre 1,50 m y 0,10 m.
Solución. Asignaremos sucesivamente valores al tirante. Para cada uno de ellos se puede calcular el
área, la velocidad media, la energía de velocidad y la energía específica.
Conviene calcular en primer lugar el tirante crítico. Por ser una sección rectangular usamos la ecuación
7-27
yc = 3
q2
= 0,4673 m (0,47 aprox.)
g
En la tabla se ha considerado cuatro tirantes mayores que el crítico y cuatro menores. (Ver Figura 7.6
y Tabla 7.1). La velocidad crítica puede calcularse como gasto entre área, o usando la ecuación 7-23
Vc = gy c = 2,14 m/s
La energía mínima es 0,7009 m. Esta es la mínima energía con la que puede establecerse un régimen de
1 m3/s/m en un canal rectangular.
(2,14)
2
0,4673 +
yc
2g
Vc2 2 g
= 0,7009
E (mínima)
Para cualquier valor de la energía superior a 0,7009 m puede establecerse dos tipos de escurrimiento
(ríos y torrentes).
Los ríos tienen tirantes mayores que el crítico y velocidades menores que la crítica (régimen subcrítico).
Los torrentes tienen tirantes menores que el crítico y velocidades mayores que la crítica (régimen
supercrítico).
Los tirantes que corresponden al mismo contenido de energía específica se denominan alternos.
Así por ejemplo, con una energía de 1,48 m puede haber dos escurrimientos
a)
Un río, con un tirante de 1,46 m y una velocidad de 0,685 m/s (como esta velocidad es menor que
la crítica el régimen es subcrítico).
El número de Froude es menor que 1 y los valores de
dE
son positivos, pero menores que 1.
dy
343
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
y
(m)
E=y
Tirantes alternos
2,00
1,50
(1,46)
0,17 (Número de Froude)
0,18
R
IO
yc
2
1,00
Vc
2g
yc
0,32
3
q = 1 m /s/m
1m
0,69
0,50
(0,20)
0
0,4673
0,2336
1,00
CRISIS
1,26
1,94
3,57
TORRENTE
45º
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
E (m)
0,7009
1,48
Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3
b)
Un torrente, con un tirante de 0,20 m y una velocidad de 5 m/s (como esta velocidad es mayor que
la crítica el régimen se denomina supercrítico). El número de Froude es mayor que 1 y los valores
de
dE
son negativos.
dy
Como los tirantes 1,46 m y 0,20 m corresponden a la misma energía específica (1,48 m) se dice que son
tirantes alternos. Obsérvese que satisfacen la expresión propuesta en el ejemplo 7.4.
En los ríos al disminuir el tirante disminuye la energía específica.
En cambio en los torrentes al disminuir el tirante aumenta la energía específica.
Así por ejemplo, al pasar de un tirante 0,30 m a otro 0,20 la energía específica aumenta de 0,87 m a 1,48 m.
En cambio en un río al disminuir el tirante de 1,46 m a 1,00 m la energía específica disminuye de 1,48 a
1,05 m.
344
Energía específica y momenta
EJEMPLO 7.3 ( = 1 m3/s/m)
TABLA 7.1
Capítulo VII
345
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Para ilustrar la diferencia entre ríos y torrentes se ha calculado para cada tirante, la celeridad de una
pequeña onda superficial.
En la Tabla 7.1 se muestra para el rango de valores solicitado, la variación de la energía específica y de
otros parámetros descriptivos de la corriente en función del tirante.
Ejemplo 7.4 Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y2 y el
tirante crítico yc la siguiente relación
2 y12 y 22
= y 3c
y1 + y2
Solución. Por ser y1 e y2 tirantes alternos corresponden a flujos que tienen la misma energía específica
y1 +
V12
V2
= y2 + 2
2g
2g
Introduciendo el gasto específico q (gasto por unidad de ancho) se obtiene
y1 +
q2
q2
= y2 +
2
2 gy1
2 gy22
Pero en un canal rectangular
yc = 3
q2
g
Luego,
y1 +
y 3c
yc3
=
y
+
2
2 y12
2 y 22
Efectuando las operaciones indicadas se llega fácilmente a
2 y12 y 22
= y 3c
y1 + y2
En el ejemplo 7.3 hay 2 tirantes alternos, 0,20 m y 1,46 m (pues ambos corresponden a la misma energía
específica). A modo de comprobación
2(0 ,20 ) (1, 46 )
= 0 ,1027
1,66
2
2
que es prácticamente igual al cubo del tirante crítico.
346
Capítulo VII
7.4
Energía específica y momenta
Sección parabólica
T
A
yc
En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (o
la 7-12 que es su equivalente)
Vc = g
A
T
Por propiedades geométricas de la parábola se sabe que el área transversal es igual a los 2/3
del área del rectángulo circunscrito
A=
2
yT
3 c
reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) se
obtiene
Vc =
2
gy
3 c
Vc =
2
gyc
3
(7-36)
o bien,
que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal parabólico. De acá se obtiene
Vc2 yc
=
2g 3
(7-37)
347
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Esta ecuación puede compararse con la ecuación 7-24. Combinando la ecuación 7-37 con la
definición de energía específica en condiciones críticas se obtiene
3
E
4
(7-38)
Vc2 1
= E
2g 4
(7-39)
yc =
Vc 2
2g
1
E
4
E
3
E
4
yc
Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico
En la Figura 7.7 se ve la distribución de la energía específica en un canal parabólico, en
condiciones críticas.
El gasto máximo que puede escurrir con una energía dada es el que corresponde a las
condiciones críticas. Su expresión para un canal parabólico es
Q=
2
2
yc T
gy
3
3 c
Vc
A
3
3
2 2 1
Q =   g 2 T yc2
 3
Si denominamos gasto específico
q al gasto por unidad de ancho superficial se tiene
q=
348
(7-40)
Q
T
Capítulo VII
Energía específica y momenta
3
 22
q =   g 2 yc2
 3
1
3
(7-41)
De donde, en el sistema métrico
2
yc = 0,701 q 3
(7-42)
El gasto máximo con energía específica constante es el que corresponde a las condiciones
críticas
3
q = 1,1067 E 2
3
 3 2
q = 1,7039  E 
4 
(7-43)
Ejemplo 7.5 Demostrar que el tirante crítico en una sección parabólica es
1
1
1
 27  4  1  4 Q 2
yc =    
1
 64   p  g 4
(7-44)
Considerar que la ecuación de la parábola es x 2 = 2 py
Solución.
La expresión general para las condiciones
y
críticas viene dada por la ecuación 7-11
Q2
A3
=
g
T
T
( T , yc )
2
Por ser una parábola el área es
A=
2
x = 2 py
yc
2
ycT
3
Por condición de parábola
x 2 (T 2 )
T2
=
=
2y
2yc
8yc
2
p=
x
349
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
De donde,
T = 8 py c
A=
2
yc 8 pyc
3
Reemplazando en la ecuación general de crisis se obtiene (ec. 7-44)
1
1
1
 27  4  1  4 Q 2
yc =    
1
 64   p  g 4
que es la expresión propuesta.
7.5 Sección triangular.
T
A
yc
1
z
En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (o
la 7-12 que es su equivalente).
Vc = g
A
T
En el triángulo el área es
A=
1
yT
2 c
Reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) se
obtiene
350
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Vc =
1
gy
2 c
Vc =
1
gyc
2
(7-45)
o bien,
que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal triangular. De acá se obtiene
Vc2 yc
=
2g 4
(7-46)
ecuación que puede compararse con la 7-24 y la 7-37.
Combinando la ecuación 7-46 con la definición de energía específica en condiciones críticas
se obtiene
yc =
4
E
5
(7-47)
Vc2 1
= E
2g 5
(7-48)
ecuaciones que muestran la proporción en la que se distribuye la energía específica en
condiciones críticas en un canal triangular tal como se ve en la Figura 7.8.
Vc2
2g
1
5 E
yc
4
E
5
E
Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular
351
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
El gasto en condiciones críticas es el gasto máximo.
Q = AV =
1
1
y cT
gy
2
2 c
3
1 2
Q =   g 2 T yc2
 2
Si denominamos gasto específico
1
3
(7-49)
q al gasto por unidad de ancho superficial q = Q T
3
 1 2
q =   g 2 yc2
 2
1
3
de donde, en el sistema métrico
q = 0,7920 E
3
2
(7-50)
o bien,
2
yc = 0,9346 q 3
(7-51)
Se demuestra fácilmente que en un canal triangular en condiciones críticas el tirante es
0, 2
 2  Q 
yc =    
g z 
siendo
0, 4
(7-52)
z el talud.
Como ilustración podríamos señalar que en un canal triangular de 90º ( z = 1) el tirante crítico
en el sistema métrico es
yc = 0,7277 Q 0 , 4
Veamos, sólo a título ilustrativo, otro método para obtener las condiciones críticas en un
canal triangular.
La energía específica es
E = y+
De donde,
352
V2
2g
Capítulo VII
Energía específica y momenta
V = 2g(E − y )
Designemos por
z el talud de la sección triangular. Su área es
A = zy 2
Luego,
Q = AV = zy 2 2 g ( E − y )
Para las condiciones críticas el gasto es máximo. Luego
dQ
=0
dy
De acá se obtiene inmediatamente
yc =
4
E
5
verificando así la ecuación obtenida anteriormente y comprobando una vez más que las
condiciones críticas implican energía mínima para gasto constante y gasto máximo para
energía constante.
Nota.
En algunas de las ecuaciones en las que aparece la aceleración de la gravedad se ha
reemplazado ésta por su valor 9,8 m/s2, restringiendo así su uso al sistema métrico.
Sin embargo, como las fórmulas genéricas están dadas, es posible utilizarlas en cualquier
sistema de unidades. Debe, sin embargo, observarse en que casos se ha reemplazado
previamente el citado valor de la gravedad.
7.6
Sección trapecial
T
yc
1
z
A
b
353
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
En cualquier sección transversal en régimen crítico debe cumplirse que (ec. 7-12)
Vc = g
A
T
En una sección trapecial se tiene, por consideraciones geométricas, las siguientes expresiones
A = (b + zy ) y
T = b + 2 zy
que al reemplazarse en la ecuación de la velocidad crítica dan
Vc = g
(b + zyc ) yc
b + 2 zyc
(7-53)
o bien,
Vc =
b + zyc
b + 2 zyc
gyc
Como el primer radical siempre es menor que 1 se tiene que en un canal trapecial la velocidad
crítica es menor que la que tendría un canal rectangular del mismo tirante.
Esta es la expresión general de la velocidad crítica en un canal trapecial. Obsérvese que si
b = 0 se obtiene la velocidad crítica en una sección triangular y si z = 0 se obtiene la velocidad
crítica en una sección rectangular.
Si hubiéramos partido de la ecuación 7-11
Q 2 A3
=
g
T
se tendría que las condiciones críticas en un canal trapecial están dadas por
(b + zy c )3 yc3
b + 2 zyc
=
Q2
g
(7-54)
Las ecuaciones 7-53 y 7-54 son equivalentes. Para resolver cualquiera de ellas se debe
354
Capítulo VII
Energía específica y momenta
recurrir a tanteos. Si el ancho en la base
b y el talud z son datos, entonces se debe suponer
valores para el tirante hasta encontrar uno que satisfaga la ecuación 7-53 (ó la 7-54).
Se puede también obtener otra expresión para las condiciones críticas si expresamos el área
del trapecio de la siguiente manera
A=
b +T
yc
2
valor que reemplazado en la ecuación 7-12 da
Vc = g
b +T
y
2T c
(7-55)
De donde,
Vc2 b + T
=
E
2 g 5T + b
(7-56)
4T
E
5T + b
(7-57)
yc =
Obsérvese que siempre se cumple
2
4T
4
E<
E< E
3
5T + b
5
yc : (Rectángulo) (Trapecio) (Triángulo)
Vc 2
2g
b+T
E
5T + b
yc
4T
E
5T + b
E
Esta figura muestra la proporción en la que se distribuye la energía en un canal trapecial en
condiciones críticas. (Se observa que es función del talud).
355
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Veamos a título ilustrativo una expresión para el tirante crítico en un canal trapecial obtenida
a partir de la consideración de que en condiciones críticas el gasto es máximo.
La energía específica es
E = y+
V2
2g
La velocidad es
V = 2g(E − y )
El gasto es
Q = (b + zy ) y 2 g ( E − y )
(7-58)
La condición crítica corresponde a gasto máximo (siendo constante la energía)
dQ
=0
dy
Luego de derivar la ecuación 7-58 e igualar a cero y operar se obtiene
5 zyc2 + (3b − 4 zE ) yc − 2bE = 0
(7-59)
que es una expresión general para las condiciones críticas en un canal trapecial. Si en esta
expresión hacemos
hacemos
Si
b = 0 se obtiene las condiciones críticas para un canal triangular y si
z = 0 se obtienen las condiciones críticas para un canal rectangular..
z no es cero se puede resolver la ecuación 7-59 llegando a
yc =
4 zE − 3b + 16 z 2 E 2 + 16 zEb + 9b 2
10 z
(7-60)
Abaco de Ven Te Chow
Ven Te Chow en su libro “Open-channel Hydraulics” presenta un gráfico (Figura 7.9) que
permite el cálculo rápido del tirante crítico. La precisión es la que corresponde a un método
gráfico. Si se desea un cálculo más preciso puede usarse para obtener un valor aproximado
y luego proseguir con la ecuación 7-53 ó 7-54.
Para el cálculo, Ven Te Chow introduce una variable auxiliar
356
Z que es
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Z=
Se entra al gráfico con el valor de
Q
g
(7-61)
Z
y
y se obtiene el valor de c para cada valor del talud
2, 5
b
b
z , (Figura 7.9).
Z
2,5
b
z
yc
yc
b
b
Ejemplo 7.6 Hallar el tirante crítico para un caudal de 10 m3/s en un canal trapecial cuyo ancho en la
base es de 0,50 m. El talud es 3.
Solución. Si partimos de la expresión general
A3 Q 2
=
se tiene, luego de reemplazar el gasto, que
T
g
A 3 = 10 , 2 T
Luego,
A = (b + zy c ) yc = (0, 5 + 3 y c ) yc
T = 0 ,5 + 6 yc
(0,5 y
+ 3 yc2 ) = 10,2(0,5 + 6 yc )
3
c
Para resolver esta ecuación procedemos por tanteos (o cualquier otro método numérico) obteniéndo
el valor del tirante crítico yc = 1,098
≈ 1,10 m. Luego se puede calcular, a modo de comprobación y
análisis, otros valores:
357
b
0,001
0,01
Hidráulica de tuberías y canales
A = 4,18 m2
358
Z
(Secciones trapeciales)
2,5
0,1
1
100
10
10
8
6
r)
ula
ng
a
t
c
0
,5
(re
0,5 = 1, z = 1
0
z
z=
z=
y
1
z
4
3
z = 2,0
z = 2,5
z = 3,0
z = 4,0
b
2
1,0
0,8
0,6
cir
lar
cu
0,4
0,3
0,2
yc
b
ó
yc
D
0,1
0,08
0,06
D
y
0,04
0,03
0,02
2
0,0001
3
4 5 67 9
0,001
2
3
4 5 67 9
0,01
2
D
2,5
4 5 67 9
0,1
2
3
0,01
4 5 67 9
(Secciones circulares)
Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow)
1
2
3
4 5 67 9
10
Arturo Rocha
Z
3
Capítulo VII
Energía específica y momenta
A = 4,18 m2
Vc = 2,39 m/s,
Vc2
= 0,29 m
2g
E = yc +
Vc2
= 1,39 m
2g
Obsérvese que también se cumple que Vc =
dc =
A
= 0,59 m
T
gd c
Vc = 9,8 × 0,59 = 2,40 m/s
Se aprecia que yc = 0,79 E valor intermedio entre el rectángulo (2/3) y el triángulo (0,8) y casi igual a
este último, pues la figura es casi triangular.
También hubiéramos podido hacer el cálculo a partir del gráfico de Ven Te Chow.
Entonces,
Z=
Q
g
= 3,19
Z
= 18
b 2 ,5
yc
= 2, 2
b
yc = 1,10 m
De donde, (Figura 7.9),
A modo de comprobación se puede verificar que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 7-47,
7-48 y 7-60.
Línea de energía
1
0,29 m
21 % E
1,10 m
79 % E
E = 1,39 m
3
0,50 m
359
Hidráulica de tuberías y canales
360
TABLA 7.2
SECCIONES CRITICAS ( E
= yc +
Vc2
)
2g
(Sistema métrico)
RECTANGULO
PARABOLA
TRIANGULO
TRAPECIO
2
E
3
3
E
4
4
E
5
4T
E
5T + b
yc
TIRANTE CRITICO
0,467q
2
3
0,701q
2
3
0,935q
2
2
3
0,467
1
2
2T 3
q
b +T
⎛ 1 ⎞4
0,456⎜⎜ ⎟⎟ Q 2
⎝ p⎠
⎛ Q ⎞5
0,728⎜ ⎟
⎝z⎠
4 zE − 3b + 16 z 2 E 2 + 16 zEb + 9b 2
10 z
T +b
E
5T + b
1
ENERGIA DE VELOCIDAD
Vc2
2g
1
E
3
1
E
4
1
E
5
VELOCIDAD CRITICA
Vc
gyc
0,816 gyc
0,707 gyc
T +b
gyc
2T
3
qmax
GASTO MAXIMO
1,704 E
3
2
1,107 E
0,792 E
3
⎡ b +T ⎤ 2 2
8,854⎢
E
⎥
⎣ 5T + b ⎦
3
2
T
T
Q
T
yc
yc
x 2 = 2 py
yc
1
z
yc
z
b
1
Arturo Rocha
T
T
q=
3
2
Capítulo VII
7.7
Energía específica y momenta
Sección circular y otras secciones
Como en cualquier sección transversal
las condiciones críticas vienen dadas por
D
la ec. 7-11 ó 7-12. Consideremos la
primera de ellas
Q 2 A3
=
g
T
yc
En una sección circular el área es (ec.
θ
6-37)
A=
r2
(θ − sen θ)
2
Teniendo en cuenta las ecuaciones 6-43 y 7-9 se obtiene
dA r (1 − cosθ )
=
θ
dy
sen
2
T=
(7-62)
Esta última expresión es equivalente a la que aparece en la Tabla 6.11.
Reemplazando en la ecuación 7-11 se obtiene
Q 2 r 6 (θ − sen θ )3
θ r 5 (θ − sen θ )3
θ
=
sen =
sen
g
8 r (1 − cosθ )
2 8 (1 − cosθ )
2
Haciendo
r=
D
2
2
5
Q
D
= 8
g
2
(θ − sen θ )3  sen θ 
2

(1 − cos θ)
(7-63)
Esta ecuación puede compararse con la ec. 7-11a
Teniendo en cuenta consideraciones trigonométricas se puede sustituir
361
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
1 − cosθ
θ
= 2 sen
θ
2
sen
2
(7-64)
Luego,
g (θ − sen θ )2
3
Q=
24
θ

2  sen 
2

5
(7-65)
D2
1
2
En el sistema métrico
(θ − sen θ) 2
Q = 0,1383
3
1
D
5
2
θ 2

 sen 
2

(7-66)
Esta última expresión, en el sistema métrico, es la que da las condiciones críticas en una
tubería circular parcialmente llena, la que hidráulicamente es un canal.
Dada una tubería de diámetro
ángulo
D se puede calcular para cada valor del gasto el correspondiente
θ que da condiciones críticas.
El tirante crítico es
yc =
D
θ
1 − cos 
2
2
(7-67)
La ecuación 7-65 expresa que para las condiciones críticas existe una función
Q
D
5
2
= φ(θ )
(7-68)
El gráfico de la Figura 7.10 permite resolver rápidamente la ecuación 7-65. Este gráfico da
también las condiciones críticas para otros conductos abovedados.
También puede emplearse el gráfico de Ven Te Chow (Figura 7.9) .
362
3
Capítulo VII
4
D/2
D
D
D
D/2
y
y
D
y
yc
y
D/2
D
4
1,50
5
6
4
1,25
3
1
1,00
0,75
4
1 3
2
0,10
0,20
0,30
4
5
6
0,30
2
0,50
0,20
0,10
0,25
0
0
1
2
3
363
Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas
Q
D
5/2
Energía específica y momenta
Ejemplo 7.7 En un conducto circular el gasto es de 2 m3/s, el diámetro es 1 m. Calcular
2
1
Hidráulica de tuberías y canales
a)
b)
c)
d)
Arturo Rocha
tirante crítico
velocidad crítica
energía mínima
ángulo en el centro
Solución. Vamos a usar la Figura 7.10
Q
D
5
2
=2
o
o o
yc = 0,81 m
A partir de la ecuación 7-67 encontramos el ángulo en el centro correspondiente
yc =
D
θ
1 − cos 
2
2
0,81
θ
= 1 − cos
0 ,5
2
θ = 256º 38’
θ = 4,4791 rad
El área es
A=
r2
(θ − senθ) = 0, 25 (4, 4791 + 0, 9729 )
2
2
A = 0,6815 m2
Podría haberse obtenido el mismo resultado a partir de la Tabla 6.7
y
= 0,81,
D
A
= 0,6815
D2
o
o o
A = 0,6815 m2
La velocidad crítica es
Vc =
La energía mínima es
Q
2
=
= 2,93 m/s
A 0 ,6815
o
o o
Vc2
= 0,44 m
2g
E = 0,81 + 0,44 = 1,25 m
Hay también la posibilidad de usar el gráfico de Ven Te Chow
Z=
Q
g
= 0,64 ;
Z
D
5
2
= 0,64
o
o o
yc = 0,80 m
Podría también resolverse este problema sin ninguno de los dos gráficos mencionados. Siempre es
aplicable el método de tanteos (o cualquier otro método numérico) en secciones para las que no exista
gráficos especialmente preparados.
7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica
364
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Mientras la velocidad de la corriente sea baja lo más probable es que estemos lejos de las
condiciones críticas.
Pero, cuando la pendiente es grande o cuando haya revestimientos muy lisos se puede
conseguir velocidades altas y acercarse o igualar las condiciones críticas.
En principio no hay inconveniente, desde el punto de vista puramente hidráulico, en tener un
régimen supercrítico. Las dificultades se originan en la necesidad de mantener el revestimiento
y, por ejemplo, dar servicio a lo largo del canal.
Lo que si debe evitarse es el régimen crítico. En condiciones críticas el tirante normal es igual
al tirante crítico. La pendiente correspondiente se llama pendiente crítica.
Cuando la pendiente es crítica la superficie libre es ondulada e inestable. Pequeñas variaciones
de la energía específica dan lugar a perturbaciones e inestabilidades en el escurrimiento. Se
produce oleaje y “pequeños saltos imperfectos”.
Estas oscilaciones de la superficie libre no son recomendables, pues obligan a un borde libre
mayor.
Este problema ha sido estudiado, entre otros, por José Gandolfo, quien recomienda que una
condición de diseño sea


V2 
A
 y +
 ≥ 1,05 yc + c
2g 
2Tc





(7-69)
Cambiando la notación se podría escribir
d
E ≥ 1,05 y c + c 
2

(7-70)
La pendiente crítica se calcula igualando la velocidad crítica (ec. 7-12) con una ecuación de la
velocidad normal. (Manning, Chezy, etc).
Vc = g A T
2
1
R 3S 2
V=
n
Igualando ambas expresiones se obtiene
365
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
2
1
R 3 Sc2
= gA T
n
de donde,
Sc = g
A n2
T 43
R
(7-71)
que es la ecuación de la pendiente crítica, si se usa la fórmula de Manning.
Si hubiéramos empleado, por ejemplo, la ecuación de Chezy, entonces la pendiente crítica
sería
Sc =
g P
C2 T
(7-72)
En un canal muy ancho se puede considerar sin mayor error que el perímetro es igual al
ancho superficial,
P =T .
entonces la ec. 7-72 queda reducida a
Sc =
pero,
f =
g
C2
8g
8g
2
, de donde, C =
, siendo f el coeficiente de fricción de Darcy. Luego,
2
C
f
Sc =
f
8
(7-73)
Ejemplo 7.8 En un canal rectangular de 1,80 m de ancho fluye un gasto de 5 m3/s. La rugosidad es de
0,018 (Kutter). ¿Cuál debe ser la pendiente para que se establezca un flujo crítico normal?
Solución. Como las condiciones deben ser críticas la velocidad es
Vc =
gyc (ec. 7-19)
Como el flujo debe ser normal, su velocidad se puede calcular por la fórmula de Manning, la que debe
ser igual a la crítica para cumplir la condición del problema de tener a la vez un tirante que sea crítico
y sea normal.
366
Capítulo VII
Energía específica y momenta
2
1
R 3S 2
= gyc
n
De donde,
El tirante crítico es según la ec. 7-27
yc = 3
q2
= 0,92 m
g
El radio hidráulico correspondiente es 0,46 m. Reemplazando valores se obtiene
Sc =
gyc n 2
R
4
3
=
9,8 × 0,92 (0,018 )
(0, 46)
4
3
2
= 0,0082
S c = 0,0082
Esta pendiente se denomina pendiente crítica. Es la que separa los ríos de los torrentes.
Lo que significa que en este canal se establece, con una pendiente de 0,0082, un movimiento uniforme,
cuyo tirante es igual al tirante crítico.
Si este canal tuviera una pendiente mayor que 0,0082 se establecería un flujo torrencial (supercrítico).
T
Ejemplo 7.9 En un canal de concreto
3
frotachado el gasto es de 3,86 m /s. La
sección transversal es la mostrada en la
figura. Calcular: a) el tirante crítico y la
A
energía específica correspondiente, b) la
yc
pendiente para que se establezca un flujo
crítico normal.
45º
Solución.
a)
La condición general de crisis es
A=
A3 Q 2
=
= 1,5204
T
g
1
1
ycT = y c2
2
2
T = yc
De donde,
A3
y6
y5
= c = c
T
8yc
8
367
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
yc5
= 1,5204
8
o
o o
Vc =
yc = 1,648
Q
3,86
=
= 2,84 m/s
A 1,358
V2
= 0,412
2g
≈ 0,41 m
E = 1,65 + 0,41 = 2,06 m
Podría emplearse la ecuación 7-52,
0 ,2
 2  Q
yc =    
g  z 
0 ,4
0 ,2
 2   3,86 
=   

 g   0,5 
0 ,4
= 1,648
≈ 1,65 m
siendo,
z=
b)
z1 + z 2 0 + 1
=
= 0,5
2
2
S es S c cuando la velocidad correspondiente es la crítica
2
1
R 3 S c2
Vc = V =
n
P = yc + y c 2 = 3,9835 m
R=
A 1,3613
=
= 0,3417 m
P 3,9835
 12 
S c 
 
0 ,015
(0,3417 )
Vc = 2,84 =
Obteniéndose finalmente,
S c = 0,0076
368
2
3
≈ 1,65 m
Capítulo VII
7.9
Energía específica y momenta
Pendiente crítica mínima (Pendiente límite, S L )
En un canal de geometría dada se puede establecer para cada gasto la pendiente crítica
correspondiente. De todas las pendientes críticas posibles hay, para determinada sección,
una que es la mínima. Se le llama pendiente límite ( S L ).
Si bien es cierto que el concepto de pendiente crítica mínima no parece tener mayor interés
práctico se presenta acá para favorecer el esclarecimiento teórico.
Examinemos en primer lugar un canal rectangular.
En general la pendiente crítica es (ec. 7-71)
Sc = g
A n2
T 43
R
Para un canal rectangular es
Sc =
gn2
4
(b + 2 yc )3
=
4
1
b3
(7-74)
yc3
La pendiente crítica mínima se obtiene a partir de
dSc
=0
dy c
y , igualar a cero y resolver se obtiene
Al derivar la ecuación 7-74 con respecto a
b = 6 yc
(7-75)
P = 8 yc
(7-76)
de donde,
R=
b 3
= y
8 4 c
(7-77)
que son las ecuaciones para el cálculo de la sección transversal correspondiente a la pendiente
límite
SL .
Introduciendo la ecuación 7-75 en la 7-74 se llega a
SL =
8 gn 2
3 13
b
(7-78)
369
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy, entonces
4g
3C 2
SL =
si ahora introducimos el coeficiente de Darcy (ec. 3-2),
f =
8g se llega a
C2
f
6
SL =
(7-79)
(7-80)
El gasto que corresponde a la pendiente límite es
5
Q = 6 g y c2
(7-81)
Examinemos ahora una sección trapecial. La expresión general de la pendiente crítica es
(ec. 7-71)
4
Sc = gn
2
P3
1
A 3T
La pendiente límite se obtiene a partir de
dSc
= 0 , teniendo en cuenta que
dy c
P = b + 2 1 + z 2 yc
A = (b + zy c )y c
T = b + 2 zy c
Reemplazando, derivando e igualando a cero, se obtiene después de algunas simplificaciones
A=
T2
4T dP
dT
−3
P dy
dy
(7-82)
que es la expresión general del área en un canal trapecial con pendiente crítica mínima. Si en
esta última expresión se hace
rectangular.
370
z = 0 se obtiene A = 6 yc2 que es lo correcto para un canal
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Ejemplo 7.10 Para un canal rectangular de 2,4 m de ancho, cuyo coeficiente de rugosidad de Kutter es
0,014, calcular la pendiente límite así como las características del escurrimiento para estas condiciones.
Solución. La pendiente límite S L, es decir la menor pendiente crítica posible es
S L = 2, 67
(ec. 7-78)
gn 2
1
= 0,0038
b3
Luego,
yc =
yc =
(ec. 7-81)
q2
g
b
= 0,40 m
6
q = gyc3 = 0,792 m3/s/m
o
o o
Q = 1,9 m3/s
Vc =
gyc = 1,98 m/s
Como verificación calculamos la velocidad media (condiciones normales)
2
1
R 3S 2
V =
= 1,98 m/s
n
1
R6
C=
= 58,4 m1/2/s
n
f =
SL =
7.10
8g
= 0,0229
C2
0, 0229
= 0,0038
6
Transiciones
Como una aplicación del concepto de energía específica vamos a estudiar el perfil de la
superficie libre en un canal en el que hay un cambio en la sección transversal. Este cambio
puede originarse en una pequeña grada de fondo, positiva o negativa, según que el fondo
ascienda o descienda. Las transiciones se originan también por un cambio en el ancho del
canal y se llaman contracciones si el ancho disminuye y expansiones si aumenta. Para el
estudio del perfil de la superficie libre en una transición suponemos que la pérdida de carga es
371
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
despreciable. En consecuencia, cualquiera que sea la transición se tendrá que entre dos
secciones 1 y 2 la ecuación de la energía es
y1 +
siendo
V12
V2
= y2 + 2 + a
2g
2g
(7-83)
a la altura de una grada (positiva o negativa). Si no existiera una grada de fondo,
entonces
a = 0 . La grada positiva significa una disminución de la energía específica y la
grada negativa un aumento. En ambas secciones debe cumplirse la ecuación de continuidad.
V1 A1 = V2 A2 = Q
Si el ancho es constante y el cambio de la superficie libre se origina en una grada se observa
en las Figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14 los perfiles, esquemáticos, de la superficie libre en
varios casos.
La conclusión general es que, a gasto constante, una disminución de la energía específica
significa una disminución del tirante en los ríos y un aumento del tirante en los torrentes. Por
el contrario, un aumento de la energía específica significa un aumento del tirante en los ríos y
una disminución en los torrentes.
El valor máximo que puede tener una grada positiva, sin alterar la línea de energía, es el que
corresponde a un flujo crítico sobre ella. (Figura 7.15)
Curva
E − y para diferentes caudales
Obsérvese en la Figura 7.16 como es que para diferentes valores del gasto se obtiene una
familia de curvas
E − y . Es evidente que para un canal rectangular la recta que une el origen
con los vértices de las curvas tiene una pendiente igual a 2/3 (cada vértice corresponde a la
condición crítica del respectivo caudal).
372
Capítulo VII
Energía específica y momenta
2
V1
2g
Línea de energía
y
2
V2
2g
y1
E1
E2
q
y2
y1
yc
y2
a
45º
E2
E
a
E1
Río (subcrítico, V <Vc )
y1 > yc
E 1 (Energía específica antes de la grada)
y1 +
2
Ecuación de la energía (1-2)
Luego,
Del gráfico de la energía específica
V1
2g
En un río una disminución de la
E 1 = E 2+ a
energía específica, a gasto constante,
E 2< E
implica una disminución del tirante.
1
y2 < y 1
Figura 7.11 Grada positiva en un río
2
Línea de energía
V2
2g
q
y2
y
V12
2g
E1
y1
yc
E2
a
y2
y1
45º
E1
a
E
E2
Río (subcrítico, V <Vc )
y1 > y c
E1 (Energía específica antes de la grada)
y1 +
Ecuación de la energía (1-2)
V12
2g
E 1= E 2- a
Luego,
E 2> E
En un río un aumento de la
energía específica, a gasto constante,
implica un aumento del tirante.
1
2
E2
y +
2
Del gráfico de la energía específica
V2
2g
y 2> y 1
Figura 7.12 Grada negativa en un río
373
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
y
Línea de energía
2
V2
2g
V1 2
2g
E2
E1
yc
y2
q
y1
y2
y1
a
45º
E2
E
a
E1
Torrente (supercrítico, V >Vc )
y1 < yc
E 1 (Energía específica antes de la grada)
Ecuación de la energía (1-2)
V1 2
y1 + 2 g
En un torrente una disminución de la
energía específica, a gasto constante,
E1 = E 2 + a
Luego,
E2 < E 1
Del gráfico de la energía específica
y 2> y 1
implica un aumento del tirante.
Figura 7.13 Grada positiva en un torrente
y
Línea de energía
2
V1
2g
E1
y1
2
V2
2g
E2
yc
q
y2
a
y1
y2
45º
E1
a
E2
Torrente (supercrítico, V >Vc )
E1 (Energía específica antes de la grada)
Ecuación de la energía (1-2)
Luego,
y1 < yc
y1 +
V1 2
2g
E 1= E 2 - a
E 2> E 1
Del gráfico de la energía específica
En un torrente un aumento de la
energía específica, a gasto constante,
implica una disminución del tirante.
y2< y 1
Figura 7.14 Grada negativa en un torrente
374
E
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Línea de energía
y
2
E
2g
2
RIO
2
V1
y2
TOR
REN
Vc
2g
TE
RI
O
V2
2g
E min
yc
q
y1
a max
TORRENTE
45º
E min
a max
E
E
Si a es máximo, la energía
específica
C
E = E min+ a max
sobre la grada debe ser mínima
E min= y c +
Vc 2
2g
El máximo valor de la grada, sin alterar
las condiciones aguas arriba, corresponde
a condiciones críticas (energía mínima).
Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva
y
E=y
q1 < q2 < q3
E min (3)
pendiente = 2/3
(canal rectangular)
E min (2)
E min (1)
q3
q2
q1
45º
3
2
1
E=y+
V2
2g
Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales
375
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Ejemplo 7.11 En un canal rectangular el ancho se reduce de 4 a 3 m y el fondo se levanta 0,25 m (grada
positiva). Aguas arriba la profundidad de la corriente es 2,80 m. En la zona contraída la superficie libre
desciende 0,10 m. Calcular el caudal, dibujar el perfil de la superficie libre y el gráfico de la energía
específica. Calcular también cual es el máximo valor que podría tener la grada para que circule el mismo
gasto sin alterar la línea de energía. ¿Cuál sería en este caso la depresión de la superficie libre?
Solución.
4,0 m
3,0 m
q1 = 3,41 m3/s/m
q2 = 4,55 m3/s/m
y
Línea de energía
0,08 m
0,10 m
1,06 m 0,53 m
2,63 m
2,88 m
2,80 m
2,45 m
Q = 13 ,64 m3/s
yc
2,80 m
yc 2 = 1,28 m
= 1,06 m
1,06 m
1
45º
1,59 m
0,25 m
E
2,88 m
Aplicamos la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 que corresponden a los anchos de 4 y 3 m,
respectivamente
2 ,80 +
V12
V2
= 2, 45 + 2 + 0, 25
2g
2g
Por continuidad,
V1 =
Q
Q
Q
=
=
A1 4 y1 11,2
V2 =
Q
Q
=
3 y 2 7 ,35
Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene
Q = 13,64 m3/s
Efectuando las operaciones indicadas se tiene que
V1 = 1,22 m/s;
376
V2 = 1,86 m/s;
V1 2
= 0,08 m;
2g
V22
= 0,18 m
2g
Capítulo VII
Energía específica y momenta
De donde,
E1 = y 1 +
V1 2
= 2,88 m
2g
E 2 = y2 +
V22
= 2,63 m
2g
Como referencia se puede calcular los números de Froude y los tirantes críticos
F1 = 0,23 ;
y c1 = 1,06 m ;
F2 = 0,38 ;
y c2 = 1,28 m
Obsérvese que el gasto específico q cambia al pasar a la zona contraída.
El máximo valor a de la grada corresponde a condiciones críticas sobre ella. Como el tirante crítico es
1,28 m y la sección es rectangular la energía específica es
3
yc , o sea, 1,92 m. La ecuación de la energía
2
es
E1 = Emin + a max
2,88 = 1,92 + a max
a max = 0,96 m
La depresión de la superficie libre es 0,56 m
7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la energía
específica
Si al extremo de un canal se produce una caída como la mostrada en la Figura 7.17, hay un
cambio de régimen: se pasa de un movimiento uniforme a un movimiento gradualmente variado,
y por último, sobre el plano de la grada hay un movimiento rápidamente variado.
En una sección cualquiera ubicada aguas arriba la energía es
caída la energía específica va disminuyendo hasta llegar a
E . Al desplazarnos hacia la
Emin , (lo que ocurre teóricamente
sobre el plano de la grada y corresponde a condiciones críticas).
Sobre la grada el tirante no puede ser menor que el crítico pues esto implicaría un aumento de
energía.
Sobre la grada la energía es mínima, pero el tirante que hay sobre ella no es el tirante crítico
que se obtendría al aplicar las ecuaciones hasta ahora establecidas. Ello se debe a que sobre
el plano de la grada el movimiento es rápidamente variado y por lo tanto no es aceptable la
suposición de una distribución hidrostática de presiones.
377
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Rouse, determinó que para canales de pequeña pendiente la profundidad crítica es 1,4 veces
el tirante sobre la grada.
El tirante crítico, calculado con las fórmulas usuales, se ubica a una distancia de
3 yc a 4 y c ,
aproximadamente, aguas arriba de la grada.
y
ENERGIA
MINIMA
yc
E
E min
≈ 3,5y
c
Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la Energía
Específica
7.12 Fuerza Específica (Momenta)
La segunda Ley del movimiento
2
1
de Newton dice que el cambio
de la cantidad de movimiento por
unidad de tiempo es igual a la
resultante de las fuerzas
Q
P1
exteriores.
y1
Wsenθ
y2
P2
Ff
Consideremos un canal con un
flujo permanente cualquiera y un
L
volumen de control limitado por
dos secciones transversales 1 y
2, la superficie libre y el fondo
Figura 7.18
del canal, tal como se ve en la
Gráfico para la deducción de la ecuación
de la Fuerza Específica.
Figura 7.18.
Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento (segunda ley del movimiento de Newton)
entre las secciones 1 y 2 se obtiene
ρ Q(β2V2 − β1V1 ) = P1 − P2 + Wsenθ − F f
378
(7-84)
Capítulo VII
Energía específica y momenta
ρ densidad del fluido; Q gasto; β coeficiente de Boussinesq; V
velocidad media; P fuerza hidrostática; W peso; Ff fuerza debida a la fricción; θ ángulo
que corresponde a la pendiente del canal; L longitud; W sen θ componente del peso en la
dirección del escurrimiento; y es el tirante.
expresión en la que:
En la ecuación 7-84 se ha considerado una distribución hidrostática de presiones lo que es
válido para el movimiento uniforme y aproximadamente válido en el movimiento gradualmente
variado. En consecuencia, las secciones 1 y 2 deben escogerse de tal manera que en cada
una de ellas sea aplicable la ley hidrostática.
Obsérvese que la ecuación 7-84 es diferente a la ecuación de la energía.
En la ecuación de la cantidad de movimiento están involucradas las fuerzas exteriores, en
tanto que en la ecuación de la energía se expresa la disipación de energía interna.
Analicemos la ecuación de la cantidad de movimiento para un canal horizontal en el que el
volumen de control tenga peso y fricción despreciables y en el que
β1 = β2 = 1 . Entonces la
ecuación 7-84 se reduce a
ρ Q(V2 − V1 ) = P1 − P2
La fuerza hidrostática
(7-85)
P es γ y A , siendo y la profundidad del centro de gravedad.
Introduciendo este valor de la fuerza hidrostática en la ecuación 7-85 y haciendo algunos
reemplazos se llega a
Q2
Q2
+ y1 A1 =
+ y 2 A2
gA1
gA2
(7-86)
Como los dos miembros son análogos se puede escribir
Q2
+ y A = constante = Fuerza Específica = Momenta
gA
(7-87)
que es la ecuación de la Fuerza Específica o Momenta.
Cada uno de los dos términos de la ecuación de la Fuerza Específica es dimensionalmente
una fuerza por unidad de peso de agua.
379
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Q2
es la cantidad de movimiento del fluido que pasa por la sección, por unidad de tiempo y
gA
por unidad de peso.
y A es la fuerza hidrostática por unidad de peso.
A la suma de ambos términos se le llama Fuerza Específica o Momenta
El gráfico de la Fuerza Específica es
ec. 7-87
y
Tirante
F. E. mínima
RI
O
y2
yc
TORRENTE
y1
M
F. E.
Fuerza específica
(Momenta)
Figura 7.19 Fuerza Específica
Se observa que para una Fuerza Específica dada hay dos tirantes posibles
y1 e y 2 . Los
tirantes que corresponden a la misma Fuerza Específica se denominan conjugados.
En el mismo gráfico se aprecia que la Fuerza Específica tiene un mínimo
d ( F .E.)
Q 2 dA d ( y A)
=− 2
+
=0
dy
gA dy
dy
De donde, luego de un desarrollo matemático, se obtiene que
380
Capítulo VII
Energía específica y momenta
V2 d
=
2g 2
que se puede comparar con la ecuación 7-14.
Obteniéndose así la importante conclusión que la Fuerza Específica mínima corresponde a
condiciones críticas.
Como una aplicación de la ecuación de la Fuerza Específica a un caso particular se puede
examinar un canal rectangular en el que
Q = bq ; A1 = by1 ; A2 = by 2
y1 =
siendo
y1
y2
; y2 =
2
2
b el ancho del canal.
Efectuando estos reemplazos en la ecuación 7-86 y operando se llega luego de algunas
simplificaciones a
q2 1
= y1 y 2 ( y1 + y2 )
g 2
(7-88)
Pero, en un canal rectangular el tirante crítico es
yc = 3
q2
g
valor que sustituido en 7-88 nos da
yc3 =
Siendo
1
y y ( y + y2 )
2 1 2 1
(7-89)
y1 e y 2 tirantes conjugados (es decir que tienen la misma Fuerza Específica).
381
Hidráulica de tuberías y canales
7.13
Arturo Rocha
Salto hidráulico
El salto hidráulico es el paso violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico con gran
disipación de energía. También se le llama resalto. Esquemáticamente se ve en la Figura 7.20.
Línea de energía
h f = (∆E) 1-2
2
2
E1
V2
2g
V1
2g
RIO
TORRENTE
y2
O
SALT
y1
E2
( F.E.)1 = ( F .E.)2
E1 = E2 + h f
Figura 7.20 Salto hidráulico
La Fuerza Específica es la misma antes del salto y después del salto. Por lo tanto
son tirantes conjugados. La energía específica disminuye de
E1 a E2 .
Salto hidráulico en un canal rectangular
Partimos de la ecuación 7-88
q2 1
= y1 y 2 ( y1 + y2 )
g 2
Se divide ambos miembros por
y13 , y luego de algunas sustituciones se llega a
V1 2 1 y 2  y 2 
1 + 
=
gy1 2 y1 
y1 
De donde,
F12 =
382
1 y2  y2 
1 + 
2 y1  y1 
y1 e y 2
Capítulo VII
Energía específica y momenta
De acá se obtiene una ecuación en
y2
y1
2
 y2  y 2
  + − 2 F1 2 = 0
y1
 y1 
Resolviendo esta ecuación se obtiene
y2 1
=
y1 2
( 1 + 8 F − 1)
2
1
(7-90)
Que es la ecuación de un salto hidráulico en un canal rectangular. La relación entre los
tirantes conjugados
y 2 es función exclusiva del número de Froude incidente
y1
y2
= ϕ( F1 )
y1
Este resultado es sumamente importante para los estudios en modelo hidráulico.
Basta con tener el mismo número de Froude en el modelo y en el prototipo para que, si es que
hay suficiente turbulencia en el modelo, haya similitud.
El salto hidráulico es un movimiento rápidamente variado, con fuerte curvatura de las líneas de
corriente. Se caracteriza por la gran disipación de energía. Se puede describir como el paso
violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico.
El salto hidráulico es un fenómeno tridimensional que presenta grandes fluctuaciones de la
velocidad y de la presión en cada punto; es decir que tiene un alto grado de turbulencia, lo que
se traduce en una alta capacidad de mezcla. En un salto hidráulico se produce también la
incorporación de aire a la masa líquida.
El salto produce oleaje, que se propaga hacia aguas abajo.
Para la elaboración de un modelo matemático del salto hidráulico es necesario hacer muchas
simplicaciones. Así por ejemplo, la ecuación 7-90 es sólo una aproximación, una representación
esquemática, del modo como ocurren los fenómenos.
Sin embargo, cuando se estudia estructuras muy grandes, no se puede despreciar los efectos
de las fluctuaciones instantáneas de la presión. Las presiones consideradas como un promedio
temporal son en este caso de poca utilidad.
383
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
En un salto hidráulico es posible que las fluctuaciones instantáneas de presión tengan valores
tan altos, que de no tomarse en cuenta en los cálculos podrían conducir a la falla total de la
estructura.
Lopardo, investigador argentino, cita lo ocurrido con las presas: Blustone, Calyton, Alamogordo,
Glendo, Bonneville, señalando que “estos ejemplos son más que suficientes para llamar la
atención de los proyectistas acerca de la necesidad de conocer con mayor aproximación las
solicitaciones variables”.
Las fluctuaciones son esencialmente aleatorias. Se pueden describir por medio de su frecuencia
y amplitud.
Tipos de salto
En función del número de Froude y según el U. S. Bureau of Reclamation se distingue los
siguientes tipos de salto
F =1
Flujo crítico, no hay salto
1 < F < 1,7
“salto ondular” (la superficie libre presenta ondulaciones)
1,7 < F < 2,5 “salto débil”. La disipación de energía es pequeña
2,5 < F < 4,5 “salto oscilante”. Se produce el efecto de chorro. Hay ondas superficiales
4,5 < F < 9
“salto permanente o fijo”. Buena disipación de energía (45 - 70 %)
F >9
“salto fuerte”. Gran disipación de energía (85 %)
Pérdida de energía en el salto
La perdida de energía en el salto hidráulico se define así

V2  
V2 
h f =  y 2 + 2  −  y1 + 1 
2g  
2g 

(7-91)
expresión que aplicada a un canal rectangular da lugar luego de algunas pequeñas
transformaciones a
∆E = h f = E1 − E2
384
(
y 2 − y1 )3
=
4 y1 y2
(7-92)
Capítulo VII
Energía específica y momenta
Eficiencia
Se denomina eficiencia de un salto hidráulico a la relación entre la energía específica después
del salto y la que hay antes de él.
E2 (8F12 + 1) 2 − 4 F1 2 + 1
=
E1
8 F1 2 (2 + F12 )
3
(7-93)
La pérdida de energía relativa es
1−
E2 ∆E
=
E1
E1
(7-93a)
Altura del salto ( hi )
La altura del salto se define como la diferencia entre los tirantes después y antes del salto
( hi
= y2 − y1 )
Se demuestra fácilmente que
1 + 8F1 2 − 3
hi
=
E1
F12 + 2
(7-94)
Longitud del salto ( L )
La longitud del salto depende de muchos factores (pendiente del canal, número de Froude,
etc.). Aproximadamente se tiene que
L = 6,9( y 2 − y1 )
(7-95)
En algunos casos para fijar el salto y disminuir su longitud se colocan dados o bloques.
Oleaje
En un salto hidráulico se producen ondas que se propagan hacia aguas abajo. Sus alturas y
periodos dependen del número de Froude incidente. Se designa como
H S a la altura
significativa (promedio del tercio superior). Lopardo y Vernet han encontrado que
HS 1
= ( F −1)
y1 6 1
Para
(7-96)
F1 ≤ 7
385
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Ejemplos de salto hidráulico
Línea de energía
a)
h f = E1 - E2
2
2
V1
2g
y
2
y1
Rápida
Para vencer un desnivel se construye una
V2
2g
rápida. Al final de ella debe disiparse
yn
Canal
la energía. El salto hidráulico actúa como
un disipador de energía
Colchón
Dispipador
L
b)
En un río se costruye una presa derivadora
Vertedero
Oleaje
(barraje) para elevar el nivel del agua
yn
y2
y1
en época de estiaje. La energía se disipa
por medio de un salto hidráulico.
c)
Si en un canal se coloca una compuerta
Compuerta
Línea de energía
que deja una abertura en la parte inferior
se produce aguas abajo un salto hidráulico.
E
y1
a
y2
yn
En la figura se observa el llamado
salto hidráulico libre.
d)
Si el tirante normal aguas abajo es mayor
que y2 se produce el llamado salto
y
S
y1
(yn es el tirante normal aguas abajo)
386
yn
hidráulico ahogado.
Capítulo VII
Energía específica y momenta
7.14 Descarga por una compuerta de fondo
Como una aplicación del concepto de energía específica examinaremos brevemente el flujo a
través de una compuerta plana de fondo.
Línea de energía
V12
2g
V22
2g
y1
a
E
y2
Figura 7.21 Descarga por una compuerta de fondo
Consideremos un fondo plano e ignoremos la pérdida de carga.
La energía específica en una sección ubicada inmediatamente aguas arriba de la compuerta
debe ser igual a la energía específica en otra sección ubicada inmediatamente aguas abajo.
Sea
a la abertura de la compuerta, cc el coeficiente de contracción. Entonces y2 = cc a . La
ecuación de la energía específica es
y1 +
V12
V2
= y2 + 2
2g
2g
Por cierto que debe cumplirse la ecuación de continuidad
V1 A1 = V2 A2 = Q
Estas dos ecuaciones permiten resolver totalmente el flujo bajo la compuerta.
Evidentemente que si la pérdida de carga es importante habrá que tomarla en cuenta
y1 +
V12
V2
= y2 + 2 + h f
2g
2g
En ambos casos se ha supuesto que el coeficiente de Coriolis es igual a 1.
La descarga bajo una compuerta sumergida puede tener diversas características, según las
387
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
condiciones de aguas abajo. Ellas son
a) No se forma salto
b) Se forma un salto libre
c) Se forma un salto sumergido (ahogado)
Ejemplo 7.12 Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad para el
análisis de un salto hidráulico sumergido, como el que puede ocurrir a la salida de una compuerta en
un canal rectangular, demostrar que se cumple la siguiente expresión
 y 
ys
= 1 + 2 F22  1− 2 
y2
 y1 
Siendo ys el tirante inmediatamente aguas abajo de la compuerta, y1 la abertura de la compuerta, y2 el
tirante aguas abajo del salto, q el gasto por unidad de ancho, F2 el número de Froude aguas abajo del
salto. Despréciese la fricción en el canal.
Solución. Por continuidad, V1 y1 = V2 y2 . Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento (ec. 785) entre las secciones 1 y 2 (ver Figura d, ejemplos de salto hidráulico).
P1 − P2 = ρ Q(V2 − V1 )
Reemplazando la fuerza hidrostática P e introduciendo la ecuación de continuidad se obtiene
1
γ
γ ( ys2 − y 22 ) = V2 y 2 (V2 − V1 )
2
g
Efectuando algunas sustituciones y operaciones se llega a
 γ V2
1  y 2s
γ  2 − 1 =
(V2 − V1 )
2  y2
 g y2
 V 
y 2s
− 1 = 2 F22 1 − 1 
2
y2
 V2 
Obteniéndose finalmente la expresión propuesta.
388
Capítulo VII
Energía específica y momenta
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo VII)
1.
En un canal rectangular de 3 m de ancho circula un caudal de 7,5 m3/s. Calcular el tirante
crítico, la velocidad y la energía correspondiente. Verificar que se cumplen las ecuaciones
7-25 y 7-26.
2.
Demostrar que un canal rectangular que conduce un gasto Q en condiciones críticas, debe
tener un tirante igual a los 3/4 del ancho para que el perímetro sea mínimo.
3.
En un canal rectangular se tiene los siguientes datos
Q = 12 m 3/s ;
b =6m;
S = 0,315
n = 0,0125
Calcular
a) el tirante normal
b) la energía específica correspondiente al flujo uniforme
c) el gasto máximo que podría ser transportado con la energía calculada en b
Verificar que se cumple la ecuación 7-14.
4.
En un canal rectangular la energía especifica es 2,3 m. Hacer una tabla y graficar los diferentes
valores que puede tomar el tirante en función del gasto. Hallar la altura de río y de torrente para
q = 4 m 3/s/m. ¿Cuál es el gasto máximo que puede ser conducido?
5.
Se tiene un canal rectangular de 8 m de ancho y rugosidad 65 de Strickler. ¿Cuál será la
pendiente crítica, el tirante normal correspondiente y la energía específica mínima cuando el
gasto sea de 6 m 3/s?
Si este canal tuviera una pendiente mayor que la crítica ¿qué tipo de flujo se establecería en
él? (¿Río o torrente?) ¿Por qué?
6.
En un canal rectangular el tirante es 0,75 m y la velocidad es de 1,15 m/s. Se deja caer una
piedra en el canal. Calcular las velocidades de propagación, hacia aguas arriba y aguas
abajo, de las ondas superficiales producidas.
7.
Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y 2 la
siguiente relación
y1 F22 + 2
=
y 2 F1 2 + 2
389
Hidráulica de tuberías y canales
8.
Arturo Rocha
Demostrar que en un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica la pendiente
crítica es
24,69
n2
y
9.
1
3
c
=
f
4
( g = 9,8 m/s2)
Demostrar que en un canal rectangular en condiciones críticas son aplicables, en el sistema
métrico, las siguientes ecuaciones
3
a) q = 3,13 y 2
max
c
b)
2
c) Emin = 0, 7 3 qmax
d)
1
1
2
Vc = 3,13 yc2 = 2,56 Emin
yc = 0,467 3 q 2max
e) Vc = 2,14 3 q max
10. En un canal parabólico la velocidad crítica es de 3,95 m/s. El gasto es de 12 m 3/s. ¿Cuál es la
ecuación de la parábola. Mostrar que se cumplen las ecuaciones 7-11, 7-38, 7-39 y 7-44.
11. Demostrar que en un canal de sección parabólica cuya ecuación es x 2 = 16 y , la energía
específica mínima es 0,3611 Q1 2 .
12. Hallar el tirante crítico para el
canal de la figura. El gasto es de
8 m 3/s. ¿Cuál es la energía que
corresponde a las condiciones
críticas? Demostrar que se
cumplen las ecuaciones 7-14,
7-56 y 7-57.
yc
45º
60º
2,20 m
13. Un canal trapecial revestido en concreto tiene un coeficiente C de Chezy igual a 55 m 1/2/s y
conduce un gasto de 10 m 3/s (talud 45º; ancho en el fondo 2,5 m). Calcular para qué pendiente
se establecerá un movimiento uniforme con el mínimo contenido de energía. Si en estas
condiciones de pendiente crítica se presenta un gasto menor que 10 m 3/s, ¿qué tipo de flujo
se establecerá?
14. Un gasto de 28 m3/s escurre en un canal trapecial ( b = 3 m, z = 2, n = 0,017). Calcular la
pendiente crítica y el tirante crítico. ¿Qué porcentaje de la energía mínima corresponde a la
energía cinética? Demostrar que se cumple la condición dada por el ejemplo 7.1.
390
Capítulo VII
Energía específica y momenta
15. ¿Cuál debe ser la pendiente del canal
mostrado en la figura para que se
produzca un movimiento uniforme
yc
con el mínimo contenido de energía
para un gasto de 3,5 m 3/s, y sabiendo
que la rugosidad del contorno
corresponde a G = 0,46 en la fórmula
de Bazin?.
45º
3,00 m
Si por una razón u otra el contorno fuera más rugoso de lo señalado, indicar que tipo de flujo
se presentaría con la pendiente crítica calculada.
16. Se tiene un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 4 m. El talud es de 45º. La longitud del
canal entre los puntos A y B es de 1 000 m. La cota del punto A es 864,30 m y la cota del punto
B es 863,70 m. El gasto es de 10 m 3/s. Considerar que el coeficiente n de Kutter es 0,020.
Calcular
a) el tirante normal
b) el tirante crítico
c) la pendiente crítica
d) la pendiente crítica para un tirante normal de 1 m y el gasto correspondiente
(Las cotas están medidas sobre la superficie libre).
17. En un canal trapecial los taludes tienen una inclinación z = 4/3. El canal es de concreto
( n = 0,015). La pendiente es 0,004. Si el canal está trabajando en condiciones de máxima
eficiencia hidráulica, hallar
a) el caudal, de forma tal que la energía específica sea mínima y el valor de dicha energía
b) la energía específica cuando el gasto sea de 15 m 3/s
18. Un canal trapecial revestido en concreto ( C = 60 m 1/2/s) conduce un gasto de 8 m 3/s
a) establecer si este flujo es un río o un torrente
b) ¿Cuál debería ser la pendiente para que conduciendo el mismo gasto, éste sea crítico?
(Talud 60º ; tirante 0,80 m; ancho en el fondo 3 m)
19. Demostrar que los resultados del ejemplo 7.6 son compatibles con la ecuación 7-60.
20. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 2,80 m. El talud es de 45º. El gasto es de 8 m 3/s.
Determinar si el flujo es torrencial o tranquilo. El tirante es 1,80 m.
391
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
21. Calcular la altura de río y de torrente que
podrían producirse en el canal cuya sección
aparece en la figura, para un gasto de 6,5
m 3/s y una energía específica de 3,14 m.
Calcular también para cada uno de los dos
regímenes, el número de Froude y el
correspondiente valor de dE dy en la curva
E − y . Dibujar la curva E − y y verificar
todos los valores calculados, así como las
condiciones críticas.
1
0,25
1,00 m
22. ¿Cuál debe ser el ancho en la base de un canal trapecial cuyo talud es 2 para que un gasto de
30 m 3/s dé un tirante crítico normal de 1,25 m?
23. Demostrar que el tirante crítico en un sección triangular es
0, 2
(ec. 7-52)
 2  Q 
yc =    
g z 
0, 4
24. En un canal triangular el tirante es de 0,40 m. La velocidad es de 2,50 m/s.
¿Cuál es la energía específica? ¿Cuáles son el tirante y la velocidad cuando con la misma
energía el gasto es máximo? ¿Cuál debe ser al ángulo en el vértice para que este gasto
máximo sea de 321,8 l/s?.
25. Demostrar que la velocidad crítica en un canal triangular de 90º ( z = 1) es
Vc = 1,8883Q0 , 2
para que con una
pendiente de 0,0022 se
establezca un flujo
crítico normal?
392
1:2
yc
1:
1
1
1:
26. Para el canal mostrado
en la figura ¿Cuál es el
tirante crítico para un
gasto de 12 364 l/s?
¿Cuál debe ser el
coeficiente n de Kutter
90º
1,50 m
Capítulo VII
Energía específica y momenta
27. En un canal de sección circular de 3 m de diámetro fluye un gasto de 15 m 3/s, con un tirante
de 1,20 m. Hallar el tirante alterno, el número de Froude correspondiente a cada uno de los
regímenes, el tirante crítico, la velocidad crítica y la energía mínima para que escurra el gasto
mencionado. Verificar que se cumple las ecuaciones 7-66 y 7-67. Como comprobación
hacer el cálculo con la Figura 7.10.
28. Un acueducto de sección cuadrada, una de cuyas diagonales es vertical, lleva un gasto de
6 m 3/s con un mínimo contenido de energía. ¿Cuánto debe medir el lado L del cuadrado
para que el tirante sea el 75 % del tirante máximo? ¿Cuál es la energía?
29. Demostrar que a energía constante, para un mismo gasto, hay dos regímenes posibles: río y
torrente. Entre los tirantes respectivos debe cumplirse que
yT FR2 
8 
=
1
+
1
+
yR
4 
FR2 
o bien,
y R FT2 
8 
=
1
+
1
+
yT
4 
FT2 
FR y FT son los números de Froude para río y torrente. ¿Qué ocurre cuando FR = FT =1?
30. Un canal rectangular pasa de una sección de 1,20 m de ancho a otra de 1,80 m de ancho,
por medio de una transición suave en las paredes del canal. El fondo no sufre ninguna
alteración. El gasto es de 2,1 m 3/s. El tirante en la segunda sección es de 1,15 m. Hallar el
tirante en la primera sección, considerando que aguas arriba hay un régimen subcrítico.
Dibujar el perfil de la superficie libre.
31. En un canal rectangular de flujo torrencial cuyo tirante es de 0,40 m y la velocidad es
2,75 m/s se desea saber cual debe ser la sobreelevación de una grada de fondo para que se
produzca un régimen crítico.
32. Un canal rectangular muy ancho conduce un gasto de 4 m3/s/m. Calcular cual es la
máxima sobreelevación que puede tener una grada de fondo para no afectar las condiciones
de aguas arriba. El tirante normal es 2,50 m.
33. Por un canal rectangular de 5 m de ancho escurre un caudal de 10 m3/s. En el canal se
produce un resalto hidráulico. Si el número de Froude antes del resalto es 10 veces mayor
que el que hay después del resalto, hallar
a) el tirante crítico
b) el tirante antes del resalto
c) el tirante después del resalto
d) la fuerza específica (momenta)
e) la energía disipada en el resalto
f) la potencia del resalto en HP
393
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
34. En un canal rectangular de 2 m de ancho se produce un salto hidráulico en el cual la disipación
de energía corresponde a una potencia de 31,2 HP. El tirante inicial es 0,60 m. Hallar el tirante
después del salto y el gasto.
35. En un canal rectangular de 5 m de ancho se produce un salto hidráulico que disipa el 40 % de
la energía. Si el gasto es de 20 m 3/s, hallar los tirantes antes y después del salto.
36. Demostrar (detalladamente, fundamentando cada paso) que en un canal rectangular en el
que se produce un salto hidráulico, cuyos tirantes conjugados son y1 e y 2 , se cumple que
1 + 8F12 − 3
y 2 − y1
=
E1
F1 2 + 2
siendo E1 y F1 la energía específica y el número de Froude antes del salto.
37. En un canal rectangular cuyo tirante normal es de 1,50 m se coloca una compuerta que deja
en el fondo una abertura de 0,50 m. El coeficiente de contracción del tirante en la compuerta
es de 0,6. Calcular la fuerza que soporta la compuerta por unidad de ancho del canal. No
considerar la fricción.
38. En un canal rectangular de 0,75 m de ancho se ha colocado una compuerta plana vertical
que descarga por el fondo una vena líquida cuya altura es de 0,25 m y que luego forma un
resalto. Aguas arriba de la compuerta la altura del agua es de 0,10 m. Calcular
a)
c)
e)
f)
el caudal
b) la fuerza sobre la compuerta
la altura conjugada del resalto
d) la energía disipada
la pendiente que debería tener el canal aguas abajo del salto ( n = 0,015)
la altura y la eficiencia del salto
No considerar la fricción.
39. Dibujar para un canal rectangular las siguientes curvas
a) E − y
para q = 5 m 3/s/m
b) F .E. − y
para q = 5 m 3/s/m
c) q − y
para E = 4 m
Calcular los mínimos o máximos en cada caso. Considerar en el intervalo 0 ≤ y ≤ 2,80 m,
valores de ∆y = 0,50 m.
40. Demostrar que en un canal rectangular la Fuerza Específica (Momenta) es
q2 1 2
+ y
gy 2
394