XIII. La nube de puntos-variables a nube de puntos

XIII. La nube de puntos-variables
§
§
Una variable es representada con un vector
en Rn .
El conjunto de extremidades de los vectores
que representan las variables constituyen la
nube de puntos Nk.
2
 xim − xm 
1
m = ∑
 =1= k
n i  sxm 
2
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2
Tr. N°40
§
La nube de puntos Nkestá situada en una
hiperesfera de radio 1.
 xim − xm  xik − xk 
1
cos(m ,k ) = m,k = ∑ 


n i  sxm  sxk 
= corr(m ,k ) = r(m,k )
§
La norma de los vectores que representan
las variables es igual a 1.
§
La coordenada de la proyección de una variable sobre otra = coeficiente de correlación entre las variables.
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Tr. N°41
p Balance de los coeficientes de correlación
entre las variables = estudio de los ángulos
entre los vectores que definen la nube Nk.
Pero...
El estudio directo es imposible en razón de
n
las dimensiones de R .
El A
CP produce las variables sintéticas que
ACP
constituyen un resúmen de las variables iniciales y que permiten la representación plana aproximada de las variables y de sus
ángulos respectivos.
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Tr. N°42
n
XIII.1. El A
CP
en
ACP
R , espacio de las
variables
Disponemos de las matrices :
Z : matriz de datos centrados-reducidos
D : métrica de pesos en Rn
I
: métrica de R k
Podemos definir las direcciones principales sα
tales que :
Z I Z' D sα = λ α sα , siendo sα
2
D
=1
§
La primera componente principal c1 es la
combinación lineal de las k variables de X
que tiene varianza máxima.
§
La segunda componente principal c2 es la
combinación lineal de las k variables de X,
ortogonal a la primera componente y que
tiene varianza máxima.
§
y asi siguiendo....
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Tr. N°43
Las componentes principales (c1,..., ck) forman
n
una base ortogonal de R de k dimensiones, en-
gendradas por las k variables.
Sea : {sα ; α = 1,K , k } ,
n
la base canónica del sub-espacio de R .
cα
Sea : vα =
; {vα ; α = 1,K ,k} ,
λα
la base ortonormal del sub-espacio de Rk.
Se obtiene :
k
z j = x = ∑ r(z j ,cα )vα , ∀j = 1,K ,k
α =1
r
j
Las k variables centradas-reducidas son
vectores cuyas extremidades se ubican sobre la
esfera de radio 1.
De modo que
∀j = 1,K , K


r
x j = z j = r
,r
,K , r
 


 z j ,c1   z j ,c2 
 z j ,cα 

 



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Tr. N°44
XIII.2.
Proyección de una variable sobre
el primer plano factorial
2
x̂ = ẑ j = ∑ r(z j ,cα )vα ; ∀j = 1,K , K
α =1
r
j
§
Las coordenadas de las variables centradas
y reducidas sobre el primer plano principal
son las correlaciones de las variables con las
direcciones principales.
XIII.3. Calidad de representación
de una variable
Trazando el círculo de radio 1, en el primer
plano factorial, se puede apreciar la calidad de
representación de cada variable.
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Tr. N°45
Como x̂
r 2
j
= 1,
si la extremidad de
x̂rj se ubica cerca del círculo
de radio 1, xrj tendrá una buena calidad de representación.
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Tr. N°46
XIII.4. Relaciones entre el espacio de
representación de los individuos
y el espacio de representación
de las variables
xik − xk
1
Fs (i) =
∑ s Gs (k )
λs k
k
La proyección Fs(i) del individuo i, es una
combinación lineal de las proyecciones Gs(k) de
todas las variables.
Si xik > xk , la variable k tiene una contribución positiva a la proyección Fs(i) del ind. i.
En cambio, si xik ≤ xk , la variable k tiene una
contribución nula o negativa a Fs(i).
Proyectando las direcciones de los vectores
variables en el espacio de los puntos-individuos,
podemos «explicar» la configuración de distancias inter-individuales.
Si la k-ésima variable está bien representada
en un sub-espacio, la dirección asociada a ese
vector puede ser considerada como una buena
representación de la k-ésima variable en el espacio de representación de los individuos.
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Tr. N°47
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Tr. N°48
Por otra parte:
xik − xk
1
1
Gs (k ) =
Fs (i )
∑
n λ s i sk
Si dos variables presentan una fuerte correlación positiva, están ubicadas del mismo lado
de un eje del espacio de representación de las
variables.
En el eje correspondiente del espacio de representación de los individuos, dos individuos
que presenten fuerte valores sobre esas variables, serán representados en la misma dirección
que esas variables. En cambio, dos individuos
que presenten valores inferiores al valor promedio sobre esa variables, serán representados en
las direcciones opuestas.
Los individuos que presentan valores extremos para esas variables quedan situados lejos
del origen del espacio de representación.
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Tr. N°49
Atención:
No se trata de una representación simultánea
de la nube de puntos individuos y de la nube de
vectores variables...
Debemos tomar en cuenta que :
§ La coordenada sobre un eje dado de un individuo, está en relación con el conjunto de coordenadas de todas las variables sobre ese
mismo eje.
No se debe interpretar la posición de un individuo con respecto a una sola variable.
§ Las variables están representadas por
vectores y los individuos lo son por puntos.
No se debe interpretar la distancia entre un
punto individuo y un conjunto de puntos-variables. Lo importante es el alejamiento del individuo considerado en la dirección de ese conjunto
de variables.
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Tr. N°50
XIII. 5. Individuos suplementarios
o ilustrativos
Sea el individuo : w0 = {w01 ,K , w0k }
siendo : g j = {x1,K , xk }
y sj =
{s
2
,
,
s
K
x1
xk
2
}
podemos definir el «individuo suplementario,
centrado y reducido»
de término general :
w0 j − g j
w =
sj
r
0j
Coordenadas del individuo ilustrativo
Fα (w ) = ∑ uαj w0r j
p
r
0
j =1
Calidad de representación de w0
2
r
(
F
w
∑ α 0)
s
ŵ0α
=
w0
α =1
K
j =1
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( )
∑w
r 2
0j
Tr. N°51
XIII.6. Variables suplementarias
o ilustrativas
 x10 
x 
 20 
Sea : x0 =  M 
M 
 
xn0 
n
n
2
1
2
1
Con : x0 = ∑ xi0 y sx = ∑ (xi 0 − x0 )
0
n i =1
n i =1
xi0 − x0
podemos definir : x =
sx0
r
i0
Sea r(x r ,G (k )) : correlación de la variable su0 α
plementaria centrada-reducida con la componente principal α.
Coordenadas de la variable suplementaria
Gα (x0r ) = r(x r ,G
0
α (k ))
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∀α = 1,K, K
Tr. N°52
Calidad de representación de una
variable suplementaria continua


x̂ = ∑  r r    
α =1  x0 ,Gα  k   
r
0
2
s
Para el caso de una variable ilustrativa nominal, ver §XIII.8
«valores-test».
XIII.7. Impor
tancia y ejemplos de los
Importancia
elementos suplementarios
La técnica de elementos suplementarios completa este instrumento de exploración...
Constituye el fundamento de la etapa inductiva del proceso de construcción de un objeto de
estudio.
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Tr. N°53