Modelo de Solow
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SERGIO MESA MEDEL
Vida y logros.
Robert Solow nació en Brooklyn, Nueva York, el 23 de agosto de 1924, siendo el
mayor de tres hermanos. Se educó en las escuelas públicas de la ciudad y desde niño
destacó académicamente.
En septiembre de 1940 ingresó en Harvard con una beca. Allí estudió, entre otras
materias, sociología, antropología y economía elemental.
A finales de 1942, Solow abandonó la universidad y se alistó en el ejército. Sirvió en el
norte de África e Italia durante la Segunda Guerra Mundial. Fue licenciado en 1945.
Volvió a Harvard en 1945 y estudió con Wassily Leontief, a quien ayudó como asistente
a calcular el primer conjunto de coeficientes técnico de las tablas input-output. A partir
de este momento se interesó por los modelos estadísticos. En 1950, logró una plaza
como profesor en la Universidad de Columbia para estudiar estas materias en
profundidad. En los años de 1949-50 preparó su tesis doctoral que trató sobre la
distribución de la renta salarial usando como herramienta procesos de Markov.
En 1949, se trasladó al MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts) donde impartió
cursos de econometría y estadística. Allí, el interés de Solow se desplazó gradualmente
hacia la macroeconomía. Durante 40 años, junto a Paul Samuelson, trabajó en varias
teorías notables como la programación lineal (1958) o la curva de Phillips (1960).
Para Solow, el factor clave para lograr el crecimiento económico es el progreso técnico,
que determina los salarios reales. Su modelo de crecimiento neoclásico es un modelo
claramente dinámico donde el ahorro desempeña un importante papel. Con él, Solow
calculó que cuatro quintas partes del crecimiento norteamericano eran atribuibles al
progreso técnico.
Premio Nobel de Economía en 1987 por sus contribuciones a la teoría del crecimiento
económico.
Modelo de crecimiento de Solow e Hipótesis
El modelo de crecimiento de Solow no incluye en su presentación la posibilidad de
desempleo involuntario, siendo esta precisamente su característica principal: el pleno
empleo en el mercado de los factores. Por lo tanto incorporar este factor seria
importantes para estudiar el comportamiento agregado en países en desarrollo con altas
tasas de desempleo. También introduciremos la perdida paulatina que se produce al
capital en el modelo.
Para demostrar la no incorporación del desempleo involuntario en el modelo
“desgranaremos” el modelo para ver ese inconveniente y a partir de ahí incorporaremos
al modelo el desempleo involuntario.
Solow desarrolló un modelo de crecimiento económico que flexibiliza la relación
capital/trabajo. El modelo supone una función de producción idónea (F), cuyos
argumentos son un factor no acumulable, trabajo (L) y uno acumulable, el capital (K).
Suponiendo homogeneidad del capital, tasa de crecimiento de la población dada, y en
ausencia de progreso técnico:
Y = F (K, L)
Lo pasamos en términos per cápita para hacerlo más fácil:
y = f (k)
Incorporamos el ahorro S y la relación de igualdad que tiene con la inversión
S = s.Y aparece (s) que es el % a ahorrar del producto total.
S = I = δK/δt
Con L creciendo a la tasa λ, volviendo a términos per capita
δk/δt = s.f(k) - λ.k
Donde s: propensión a ahorrar; f: la función de producción per cápita;
λ > 0 la tasa de crecimiento de la mano de obra.
Así, definimos el estado estacionario de la economía como una situación en la que la
tasa de crecimiento de cada flujo es constante. En equilibrio, s.f(k) = λ.k, esto es, la
generación de nuevo capital es la suficiente para mantener el stock de capital per capita
constante, por lo que δk/δt = 0. Este es un equilibrio estable: si el capital fuera mayor al
requerido por las condiciones del estado estacionario, s.f(k) < λ.k, habría
desacumulación de capital hasta igualar la ecuación.
El producto y la mano de obra crecen a la misma tasa. También, el capital y el producto
crecen a la misma tasa, y de estas dos primeras conclusiones se obtiene que las tres
variables del modelo (capital, producto y mano de obra) crecen a la misma tasa, por lo
que la tasa de crecimiento del producto (o del capital) per capita es nulo.
Mathematicas
Llegando aquí incorporaremos el desempleo involuntario. Pero antes tenemos que
convertir la función en dinámica ayudándonos de la función Cobb-Douglas que es
homogénea de grado uno o linealmente homogénea, con rendimientos constantes a
escala y, además, con rendimientos marginales.
F (K, L) = Kα L1−α
con 0 <α <1
Comenzamos definiendo el desempleo involuntario, que
afectara en diferentes proporciones tanto a K como a L,
por eso creamos las variables c y v. Al desempleo
involuntario lo llamaremos P
c Kt
RSolve P t
P t
P t_
L
t
t
t
v L1 t, P t , t
t
L
L
cK L Lv
t
t t
cK L L v
t
t
cK L
Lv
Ahora le damos valores a c y v en función de grado de
afectación que tiene K y L con el desempleo involuntario,
por intuición.
{c,v}={0.05,0.3}
{0.05,0.3}
P[t_]
t_
t_ t_
L
0.3 L 0.05 K L
Definimos la función de producción incorporando el
desempleo involuntario (P), que afectara de forma negativa
en este.
K t L1
RSolve Y t
Y t
Y t_
0.05 L
0.05` L
1. t
t
P t , Y t ,t
t
t
1.` t
6.000000000000001` L
0.05 L
t
6. L 20. K L 1. K L
1. t
t
20.` K t L
t
1.` K t Lt
t
6. L 20. K L 1. K L
Damos valores a K y L, valores pequeños para una
representación grafica mas clara.
{K=10,L=5}
{10,5}
Representamos un crecimiento de 4 años
m=Table[Y[t],{t,0,4}]
{3.45,9.2,14.94,-10.012,-420.002}
Fig2=ListPlot[m,PlotJoinedTrue]
2
3
4
5
-100
-200
-300
-400
Graphics
Como podemos observar hay crecimiento económico hasta mitad
del 3º año, donde por causas de desempleo paulatino y
creciente se llega a la perdida de este crecimiento.
Ahora haremos lo contrario al punto anterior, una variante
en K y L para ver el crecimiento en una economía con mayor
L que K
{K=5,L=10}
{5,10}
m=Table[Y[t],{t,0,4}]
{6.95,4.45,1.22,-5.003,-30.6253}
ListPlot[m,PlotJoinedTrue]
5
2
-5
-10
-15
-20
-25
-30
Graphics
3
4
5
Aquí observamos que al haber más L que K, estos recursos
del capital dados se pueden explotar o trabajar con más
eficiencia, pero vemos que a medida que pasa el tiempo se
es menos eficiente y se pierde crecimiento, la relación
capital/trabajo no se sustenta. Llegando a números
negativos antes que en el caso anterior.
Ahora para demostrar el aporte de P (el desempleo
involuntario) a la producción, eliminaremos P de la función
de producción para ver si se produce un crecimiento con
pleno empleo y así compararlo cuando no lo ahí como en
ejemplos anteriores.
K t L1 t , Y t , t
RSolve Y t
Y t
Y t_
t
t
1 t
K L
K t L1
t
1 t
K L
{K=10,L=5}
{10,5}
m=Table[Y[t],{t,0,4}]
{5,10,20,40,80}
Fig1=ListPlot[m,PlotJoinedTrue]
80
70
60
50
40
30
20
10
2
3
4
Graphics
Se demuestra que sin P, el crecimiento es constante y
prolongado en el tiempo con pleno empleo.
5
Para poder comparar las graficas de una forma efectiva, ya
que estas tienen diferentes medicines, compararemos dos
crecimientos económicos con el mismo nivel de capital y
trabajo cada una K=5, L=10, en la misma grafica, intentado
introducir en uno de los crecimientos P, el desempleo
involuntario.
Show[Fig1,Fig2]
2
3
4
5
-100
-200
-300
-400
Graphics
Así podemos observar con más facilidad la implicación de P
en este modelo. Y si los datos fueran reales tendríamos que
adoptar alguna política o medida contra el desempleo que
afectara antes del tercer año
Ahora casi con el mismo método propondremos afectar solo a
K, se trata de representar en la producción la perdida de
valor por el paso del tiempo que sufre el capital por
desgaste.
Clear[v,c,K,L,H,Y,t]
H será la perdida que se genera en el capital, por eso c
será el porcentaje de perdida con respecto a K
c Kt , H t , t
RSolve H t
H t
H t_
cK
t
t
cK
t
cK
Valoraremos la perdida como el 10% del capital cada año
{c}={0.10}
{0.1}
H[t_]
t_
0.1 K
Ahora introducimos a la función de capital a H
K t L1
RSolve Y t
Y t
Y t_
0.1 L
0.1 L
1. t
0.1` L
1. t
t
H t , Y t ,t
t
t
t
10. K L 1. K L
1.` t
10.` K t L 1.` K t Lt
t
t
t
10. K L 1. K L
Seguimos dando los mismos valores a K y L para continuación
compararlos con un crecimiento si perdida de valor.
{K=10, L=5}
{10,5}
m=Table[Y[t],{t,0,4}]
{4.9,9.,10.,-60.,-920.}
Fig2=ListPlot[m,PlotJoinedTrue]
2
3
4
-200
-400
-600
-800
Graphics
Se observa que al no ser compensada esa perdida de valor
del capital, el crecimiento de desmorona al igual que paso
con el desempleo
Clear[v,c,K,L,P,Y,t]
Ahora volvemos a representar el modelo de producción sin H
RSolve Y t
K t L1 t , Y t , t
5
Y t
Y t_
t
t
1 t
K L
K t L1
t
1 t
K L
{K=10,L=5}
{10,5}
m=Table[Y[t],{t,0,4}]
{5,10,20,40,80}
Fig1=ListPlot[m,PlotJoinedTrue]
80
70
60
50
40
30
20
10
2
3
4
Graphics
Aquí volvemos a comparar las dos situaciones en una sola
grafica
Show[Fig1,Fig2]
5
2
3
4
5
-200
-400
-600
-800
Graphics
Las dos variables introducidas, tanto el desempleo como la
perdida de capital tienen casi el mismo daño. Algo
interesante de observar es que las dos graficas comienzan
con la misma dinámica hasta llegar a la mitad del segundo
año, donde se empieza a notar las perdidas que le hemos
introducido al modelo. Pero se trata de eso, de un modelo
muy simple en donde introducimos variables negativas que no
se compensan con políticas, innovaciones o tecnologías,
como puede ocurrir si estudiásemos un modelo de crecimiento
más desarrollado y más realista. Pero, por lo menos
modificamos la panacea del pleno empleo.
Referencias
Observaciones de los profesores que imparten la asignatura.
Programa Mathematica versión 5.1
Internet (wikipedia)
.Sergio Mesa Medel.