Métodos Matemáticos en Física III

Métodos Matemáticos en Física III
1. FORMULACION MATEMATICA
Cond. Contorno
Ec. Diff-Deriv. Par
PROCESOS Fisicos
2. SOLUCION
Ec. Onda
Met. D Alembert
Ec.Fourier, Laplace, Poisson
Met. Series
Fourier SL
Ec. No-hom.
F Green
1
Métodos Matemáticos en Física
L.5B Método Fourier: membrana rectangular
APL: 6.1 Oscilaciones transversales de una membrana
rectangular (BORDES FIJOS)
1
Escojamos el sistema de coordenadas de tal
manera que la membrana se encuentre en
el cuadrante positivo con uno de sus vértices en el origen.
2
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Ondas estacionarias
Es razonable pensar que, de entre todo el conjunto de
movimientos permitidos, existan algunos de ellos en los
que se conserve un determinado perfil de desplazamientos
Sustituimos en Ec. 1
=-λ
3
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Tenemos que resolver 2 ecuaciones
2
3
Para que cumplan CC, necesitamos que:
4
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Como contorno es perpendicular, podemos buscar auto funciones como
4
Para que cumplan CC anteriores, necesitamos que:
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
d2
d2
d2
d2
[ XY ] + 2 [ XY ]
Y 2 [ X ] + X 2 [Y ]
2
dx
dy
dx
dy
= −λ =>
= −λ
XY
XY
1 d2
1 d2
[X ]+
[Y ] = −λ =>
2
2
X dx
Y dy
-ν 2 -μ 2 = −λ
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Sustituyendo (4): v(x,y)=X*Y en Ec.3 Î obtenemos:
donde
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Autofunciones y autovalores
ya hemos calculado antes:
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Entonces:
con
NOTA: se suman de cuadrados de frecuencias
Para obtener cuadrado de frec. angular total
Ortoganalidad de autofunciones vnm
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Para cada λnm tenemos ecuación
Con solución general ( autovalores son positivos)
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Frecuencia mas baja
Tiene perfil
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Autovalores degenerados: ejemplo de membrana cuadrada
El perfil de desplazamientos asociado
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Movimiento de la membrana como superposición de ondas estacionarias
Suponemos Cond.
Iniciales
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Usando CI
Multiplicando por
Y integrando entre 0ÎLx;Ly
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
o
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Analógicamente, de segunda CI (error en el libro)
1/ωnm
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
CLASE:
Membrana con bordes:
2 libres + 2 fijos
Autovalores+Autofuncones
de problema SL
utt = c 2 Δu
Fijo izquierdo: u(0,y)=0
y
b
LIBRE derecho: u x (a,y)=0
Fijo
libre
Fijo
libre
a
2 Problemas
SL con CCÎ
x
LIBRE abajo u y (x,0)=0
Fijo arriba : u(x,b)=0
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
u = T (t )v( x, y )
CLASE:
Membrana con bordes:
2 libres + 2 fijos
Δv
= −λ
v
v = XY
y
b
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Fijo
libre
Fijo
libre
a
Problema
SL (x) Î
X xx + ν 2 X = 0
x
Fijo izquierdo: u(0,y)=0 =>X(0)=0
LIBRE derecho: u x (a,y)=0 =>X x (a)=0
=>
X n (x)=Sen[
ν2 =[
π
2a
π
2a
(2n + 1) x]
(2n + 1)]2
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
CLASE:
Membrana con bordes:
2 libres + 2 fijos
Δv
= −λ
v
v = XY
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
y
b
ν 2 + μ2 = λ
Fijo
libre
Fijo
libre
a
−−−−−−−−−−−−−−−−
x
Yyy + μ 2Y = 0
LIBRE abajo u y (x,0)=0 =>Yy (0)=0
Fijo arriba : u(x,b)=0 =>Y(b)=0
Problema
SL (x) Î
=> Ym (x)=Cos[
π
2b
(2m + 1) y ]
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b
y
Autovalores y autofunciones
de problema SL:
Fijo
libre
Fijo
libre
λn ,m = [
x
a
π
2a
(2n + 1)] + [
vnm ( x, y ) = Sen[
2
π
2a
π
2b
(2m + 1)]2
(2n + 1) x]*Cos[
π
2b
(2m + 1) y ]
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Membrana con bordes libres
Problema SL con
CCÎ
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Auto función que corresponde a autovalor CERO
analógicamente con
procedimiento anterior
Encontramos la
frecuencia mas baja
Perfil correspondiente:
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La frecuencia principal de una membrana cuadrada
cuyos extremos se pueden desplazar libremente
se encuentra doblemente degenerada.
Con A,B arbitrarias
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Metodo de Separación de Variables
para resolver Ec. Fourier en 2D
(Libro Asmar)
b
a
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Aplicamos método de separación de variables
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Aplicamos método de separación de variables
= -λ2
CC para variable espacial
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Suma de funciones de variables independientes
puede ser CONST solo que cada de estas
funciones es CONST
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Aplicamos método de separación de variables
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
Aplicamos método de separación de variables
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L.5B Método Fourier: membrana rectangular
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Ec. diferencial para variable temporal
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SOLUCION GENERAL
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Hallamos coeficientes de CI
Multiplicando por
Y integrando
de 0Îa
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como
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Multiplicando por
Y integrando
de 0Îb
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Entonces
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