Diapositivas tema 7: Introducción a la Dinámica del sólido rígido
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Tema 7: Introducción a la Dinámica del sólido rígido FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Civil Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 1 Índice Introducción Centro de masas Rotación de un sólido alrededor de un eje fijo Momento de inercia respecto a un eje Energía cinética rotacional Aplicaciones de la dinámica rotacional Rodamientos Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 2 Introducción El movimiento de un sólido rígido se puede entender como la superposición de una traslación y una rotación La traslación corresponde al movimiento del centro de masas La rotación se realiza respecto al centro de masas CM CM Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 3 Índice Introducción Centro de masas Rotación de un sólido alrededor de un eje fijo Momento de inercia respecto a un eje Energía cinética rotacional Aplicaciones de la dinámica rotacional Rodamientos Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 4 Centro de masas: definición para un sistema discreto Dado un sistema de n partículas, se define la posición de su centro de masas Z O Y X mi es la masa de cada partícula ri es el vector de posición de cada partícula M es la masa total del sistema Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 5 Centro de masas: cálculo para un sistema discreto Y X d Y CM Y CM X d d X Si el sistema tiene algún plano, línea o punto de simetría, el CM está en él El CM está cerca de la masa mayor Ejemplo: mt i e r r a=5.98×102 4kg, ms o l=1.99×103 0 kg, d = 1.5× 108km Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 6 Centro de masas: sistemas continuos Un cuerpo continuo puede considerase compuesto por un número infinito de masas diferenciales dm M ≡ L dl Los sumatorios se convierten en diferenciales Posición del centro de masas dm O X r Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 7 Centro de masas: composición de masas Podemos calcular el CM como una composición de partes del sistema Y m4 3 4 a Y O m1 1 m3 ma=m1+m4 X 2 ra Y rb O mb=m2+m3 X rC M O X m2 m1=m4 m2=m3 De este modo se puede calcular el CM de sistemas complejos Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 8 Centro de masas: velocidad y aceleración Si las partículas se mueven la posición del CM varía en el tiempo Z Derivando en t se obtiene la velocidad del CM O Y X Sistema discreto Sistema continuo Derivando otra vez se obtiene la aceleración del CM Sistema discreto Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 Sistema continuo 9 Centro de masas: Segunda Ley de Newton El centro de masas se mueve como una partícula con toda la masa del sistema sometida a la acción de la fuerza externa neta que actúa sobre el sistema Las fuerzas externas son las que provienen del exterior del sistema Las fuerzas internas son las que se ejercen entre partes del sistema El movimiento del sistema como un todo puede describirse como el movimiento de su centro de masas sometido a la fuerza externa total sobre el sistema El movimiento interno del sistema es el movimiento relativo a un sistema de referencia solidario con el centro de masas Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 10 Centro de masas: ejemplos de movimiento Explosión de una granada en dos trozos de la misma masa g Bastón lanzado al aire Cilindro sobre una mesa CM Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 11 Centro de gravedad Si el campo gravitatorio es uniforme el centro de masas y el centro de gravedad coinciden X O El centro de gravedad es el centro de un sistema de r vectores deslizantes paralelos en este caso dF=dm g Y Si el campo gravitatorio es no uniforme el centro de masas y el centro de gravedad no coinciden marea baja Luna El sistema de vectores no es paralelo marea alta Tierra marea alta Aparecen fuerzas de marea marea baja Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 12 Índice Introducción Centro de masas Rotación de un sólido alrededor de un eje fijo Momento de inercia respecto a un eje Energía cinética rotacional Aplicaciones de la dinámica rotacional Rodamientos Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 13 Movimiento rectilíneo – movimiento circular x(t) X O θ(t) X Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 14 Rotación de una partícula alrededor de un eje fijo Segunda ley de Newton para la rotación O El movimiento se describe con el momento angular θ(t) X El efecto de la fuerza se describe con el momento de la fuerza (torque) La inercia se describe con el momento de inercia Combina la influencia de la masa inercial y la distancia al eje de giro Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 15 Rotación de una partícula alrededor de un eje fijo Expresiones en términos del momento de inercia y magnitudes angulares Momento angular O θ(t) X Segunda ley Energía cinética Si el eje de rotación es fijo LO y ω son paralelos En el caso general (eje de rotación variable) LO y ω no tienen por qué ser paralelos El momento de inercia es un tensor: Tensor de inercia Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 16 Momento angular de un sistema de partículas Z Momento angular total respecto a O Y O X Un sólido rígido se considera compuesto por infinitas partículas muy pequeñas de Z masa dm Y O X Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 17 Momento angular de un sistema de partículas La variación del momento angular viene dada Z por el momento total de las fuerzas externas Y O X Los momentos angulares y de fuerza deben calcularse respecto a un SRI La expresión es válida si los momentos se calculan respecto al centro de masas, aunque éste tenga aceleración Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 18 Rotación de un sólido alrededor de un eje fijo Componente de LO paralela a ω Variación de la componente paralela a ω O Si el eje de rotación es un eje de simetría del sólido O Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 19 Índice Introducción Centro de masas Rotación de un sólido alrededor de un eje fijo Momento de inercia respecto a un eje Energía cinética rotacional Aplicaciones de la dinámica rotacional Rodamientos Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 20 Momento de inercia respecto a un eje Para un sistema de partículas eje ai es la distancia de cada partícula al eje Para un sistema continuo eje Es distinto para cada eje Unidad base en SI: kg m2 Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 21 Teorema de los ejes paralelos y de los ejes perpendiculares Ejes paralelos: relaciona el momento de inercia respecto a cualquier eje con el momento de inercia paralelo a él que pase por el centro de masas M es la masa del sistema; h es la distancia entre ejes Ejes perpendiculares: relaciona el momento respecto a dos ejes perpendiculares con el momento respecto a un eje perpendicular a ellos que pase por su punto de intersección Sólo es válido para sistemas planos Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 22 Índice Introducción Centro de masas Rotación de un sólido alrededor de un eje fijo Momento de inercia respecto a un eje Energía cinética rotacional Aplicaciones de la dinámica rotacional Rodamientos Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 23 Energía cinética rotacional Sistema de partículas girando alrededor de un eje fijo O Es válida para sistemas discretos y continuos Si el eje varía en el tiempo la expresión es más complicada Teorema de la energía cinética rotacional Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 24 Índice Introducción Centro de masas Rotación de un sólido alrededor de un eje fijo Momento de inercia respecto a un eje Energía cinética rotacional Aplicaciones de la dinámica rotacional Rodamientos Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 25 Polea con masa con una fuerza constante aplicada Queremos calcular la aceleración angular de una polea de masa M y radio R, que parte del reposo, a la que se le aplica una fuerza constante F tangente a la polea A O Z R Si modelamos la polea como un disco de radio R y masa M Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 26 Índice Introducción Centro de masas Rotación de un sólido alrededor de un eje fijo Momento de inercia respecto a un eje Energía cinética rotacional Aplicaciones de la dinámica rotacional Rodamientos Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 27 Rodamiento sin deslizamiento de un sólido rígido Rodadura sin deslizamiento: el punto de contacto tiene velocidad nula C B A El movimiento es una traslación del CM y rotación alrededor de él El eje de rotación se desplaza paralelamente a si mismo El rozamiento es necesario para que haya rodadura, pero si el contacto es puntual no realiza trabajo La energía cinética total tiene una parte de traslación y otra de rotación Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 28 Esfera maciza rodando sin deslizar por un plano inclinado Una esfera maciza de masa M y radio R rueda desde lo alto de un plano inclinado de altura H y partiendo del reposo A CM H B Esfera La energía potencial se reparte entre energía cinética de traslación y energía cinética de rotación Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 29 Esfera maciza rodando sin deslizar por un plano inclinado Solución con momento de fuerzas X A CM H B Esfera Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13 30
