CÀLCUL

CÀLCUL
Grau en Enginyeria de la Construcció, Curs 2010-2011
TG4: Ecuaciones diferenciales
Problema 1. La corriente sanguínea lleva un medicamento hacia el interior de un órgano a
razón de 3cm3 /seg y sale de él a la misma velocidad. El órgano en cuestión tiene un volumen
de líquido de 125cm3 . Si la concentración del medicamento en la sangre que entra en el
órgano es de 0, 2g/cm3 , ¿cuál es la concentración del medicamento en el órgano en el instante
t si inicialmente no había vestigio alguno del medicamento? ¿Cuándo la concentración del
medicamento en el órgano será del 0, 1g/cm3 ?
La cantidad de medicamento en el órgano está determinada por la ecuación diferencial
x′ (t) = ce (t)fe (t) −
fs (t)
x(t), donde V ′ (t) = fe (t) − fs (t).
V (t)
En este caso fe = fs = 3cm3 y por tanto V (t) = 125cm3 para todo t. Además ce (t) = 0, 2g
y como inicialmente en el órgano no había medicamento, el problema de valor inicial que
determina la cantidad de medicamento en el órgano está dada por
x′ (t) = 0, 6 −
3
x(t), x(0) = 0.
125
Aplicando la Fórmula de Lagrange, resulta que la cantidad de medicamento en el órgano
está dada por
x(t) = 0, 6
Z
t
−
e
3(t−s)
125
0
h
i
3t
− 125
ds = 25 1 − e
así que la concentración de medicamento en el órgano, c(t) =
1
x(t)
, estará dada por
V
2
i
h
3t
− 125
g/cm3 .
c(t) = 0, 2 1 − e
Si t1 es el instante en el que la concentración es 0, 1g/cm3 , necesariamente debe verificarse
i
h
3t1
3t1
125
= ln 2 =⇒ t1 =
ln 2 = 28,9 s.
que 0, 1 = c(t1 ) = 0, 2 1 − e− 125 , es decir,
125
3
Problema 2. Hallar la única solución del problema de valores iniciales
x′ (t) = et 1 + x2 (t) ; x(0) = 0.
Si f : R −→ R está dada por f (x) = 1 + x2 y tomamos g(t) = et , entonces la EDO x′ (t) =
1 + x(t)2 se expresa como x′ (t) = g(t)f (x(t)), lo que implica que es de variables separables.
Esta EDO no tiene equilibrios por lo que cada problema de valores iniciales tiene unicidad
de soluciones.
La única solución verificando la condición inicial x(0) = 0 se obtiene mediante la expresión
Z
0
x(t)
1
dz =
f (z)
Z
t
g(s)ds,
0
en este caso,
Z
x(t)
x0
1
dz =
1 + z2
Z
t
es ds = et − 1, x0 ∈ R
0
Por tanto,
Z
x(t)
x0
1
dz = arctan(x(t)) − arctan(0) = arctan(x(t)),
1 + z2
de donde
x(t) = tan(et − 1),
t ∈ J ⊂ R.
c Càlcul, E. Construcció. etseccpb, 2010-11