Estrategias Mixtas Algunos juegos no poseen EN en estrategias

Estrategias Mixtas
Algunos juegos no poseen EN en estrategias puras (Matching Pennis). Esto se debe a
que existe falta de coordinación en las creencias.
Ejemplo 1: Matching Pennies
1 \ 2
C
S
C
1, -1
-1, 1
S
-1, 1
1, -1
1 puede querer jugar C, lo cual es racional si cree que 2 jugará C.
Sin embargo, 2 jugará C si cree que 1 jugará S.
Así, 1 debería hacer creer a 2 que jugará S.
Como no existe coordinación y no será fácil engañar a un individuo racional, quizás lo
mejor que puede hacer cada jugador es jugar de forma aleatoria.
De hecho, aunque existan EN en estrategias puras, quizás los jugadores puedan tener
estrategias que jugaran con cierta probabilidad.
Este tipo de estrategias las hemos llamada estrategias mixtas.
El concepto de EN se extiende a este tipo de estrategias mixtas:
EN en estrategias mixtas: Considere el perfil de estrategias    1 , 2 ,..., n , donde
 i  Si para caga jugador i.  es un EN en estrategias mixtas si y solo si:
ui  i , i   ui s'i , i  para cada s´i  Si y cada jugador i.
En otras palabras,  i es la mejor respuesta para cada  i y para cada jugador i.
Nota: Un EN en estrategias puras puede considerarse un EN en estrategias mixtas (con
probabilidades degeneradas).
Ejemplo 1: Matching Pennies
1 \ 2
C
S
C
1, -1
-1, 1
S
-1, 1
1, -1
No existen EN en estrategias puras,


 *  1* ,  2*  1 / 2,1 / 2, 1 / 2,1 / 2 es el único EN en estrategias mixtas.
Ejemplo 2: Batalla de los Sexos
M
H
F
O
F
3, 2
1, 1
O
0, 0
2, 3
 *  1,0, 1,0; 0,1, 0,1; 3 4 ,1 4, 1 4 , 3 4
Algoritmo para encontrar EN en estrategias mixtas
1. Obtener el conjunto de estrategias racionalizadas usando el método de eliminación
iterativa de estrategias dominadas.
2. Buscar las probabilidades del otro jugador que hacen a cada jugador indiferente
entre jugar una u otra estrategia.
Si un jugador posee más de dos estrategias racionalizadas, lo mejor es probar primero
por pares (es decir, asignando probabilidad cero a algunas estrategias).
Teorema de existencia
Todo juego finito (con un número finito de jugadores y un espacio de
estrategias finito) posee al menos un EN (en estrategias puras o mixtas).
La demostración es una aplicación del teorema del punto fijo de Kakutani (TPFK).
TPFK: Sea X   m ( m N ) un conjunto compacto, convexo y no vacio y  : X  X
una correspondencia semicontinua superior tal que x X ,   x  es un sub-conjunto
no vacío de X y convexo para todo x  X . Entonces, la correspondencia   x  tiene un
punto fijo, i.e. existe algún x* tal que x*  x* .
 
La prueba es compleja y el objetivo no es desarrollarla completamente. Sin embargo,
es importante entender:


 
*
*
*
*
*
*
s

BR
s
,...,
s
,
s
,...,
s

BR
s
i 1
i 1 i 1
n
i  i es la mejor
1. Un EN es un punto fijo: si i
*
respuesta para cada jugador i dado el perfil de estrategias s i , podemos definir una

   
  

 
*
*
*
*

s
,...,
s


BR
s
,...,
BR
s
1
1
1
1
n


n . Note que un EN implica
correspondencia
 BR1 s*1 ,..., BR1 s* n  s1* ,..., sn* , lo cual es un punto fijo.
  
2. Todo lo que queda es probar que tanto S (que es el espacio X en el teorema) como 
(que es la aplicación   x  en el teorema) poseen las características mencionadas en
el TPFK.
En últimas, este teorema es sobre continuidad: Como en las gráficas de las estrategias
mixtas, donde se puede asegurar que las estrategias de los jugadores se cortan en algún
punto.
En algunas aplicaciones económicas el espacio de estrategias no es finito: Por ejemplo
cuando las firmas deciden sobre precios o cantidades.
En estos casos, el problema de la existencia del equilibrio se vuelve matemáticamente
más sofisticado y se requiere de algunos supuestos técnicos adicionales, v.g. Espacio
de estrategias compacto.