Solución:

MEC 2245 Mecánica de Fluidos I
ANALISIS DIMENSIONAL
CAPITULO: C5
Sección: P-R-5
Problema 1.
Página: 1
Rev. 0
Problema. Discutir el modelado dimensional de una bomba o ventilador para un fluido incompresible.
Solución:
i. Análisis de variables influyentes en el objeto de estudio:
Las variables más influyentes que permiten caracterizar el funcionamiento
de
turbo-máquinas, sean estas centrífugas o axiales, son:
Potencia, P; la altura piezométrica, gH; el rendimiento, η; diámetro medio del
rotor, D; velocidad angular del rotor, ω; densidad del fluido, ρ; viscosidad
del fluido, µ; flujo volumétrico,, Q.
Del
grupo
anterior,
la potencia suministrada,
P
el
rendimiento,
η, y la
cabeza, gH; son dos parámetros que permiten describir el comportamiento de
estas máquinas y cuyo valor depende del valor que tomen cada una de las
variables restantes. Es decir que son funciones de: D, ω, ρ, µ y Q. Entonces
para
analizar
la
performance
de
estas
máquinas
debemos
encontrar
relaciones funcionales de la forma:
P = F(D, ω, ρ, µ , Q)
η= G(D, ω, ρ, µ , Q)
Para fines de modelado geométrico, determinaremos el grupo de parámetros
adimensionales que caracterizan el problema planteado.
ii. Determinación de los grupos adimensionales:
•
Lista de variables influyentes y sus dimensiones:
No.
Variable
símbolo
Dimensión
ML2-3
1
Potencia
P
2
Rendimiento
1
2 -2
3
Cabeza
gH
L
4
Flujo volumétrico
L3-1
5
Densidad del fluido
Q
ML-3
6
Viscosidad del fluido
µ
ML-1-1
7
Diámetro del rotor
D
L
Velocidad angular del rotor
-1
8
•
Dimensiones fundamentales: M, L. y M
•
Número de parámetros: según el teorema de Pi,
Pi,
i=
8
Variables
influyentes
Elaborado por: Emilio Rivera Chávez
Fecha de elaboración: 12/07/02
−
3
=5
Dimensiones
fundamentales
Revisado por:
Fecha de revisión:
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ANALISIS DIMENSIONAL
CAPITULO: C5
Sección: P-R-5
Problema 1.
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Como , es adimensional, constituye en si un parámetro adimensional.
π1 = η
(1)
En consecuencia sólo resta determinar 4 grupos adimensionales.
•
Conjunto de variables que se repiten (recurrente),
Se eligen atendiendo a las siguientes recomendaciones:
1. Las variables objeto de estudio no deben formar parte de este grupo.
2. Su número es igual al de las dimensiones fundamentales.
3. El
conjunto
de
las
dimensiones
deben
estar
representadas
en
este
conjunto.
4. La expresión dimensional de estas variables debe ser sencilla.
•
A
partir
pueden
1
Densidad del fluido
ML-3
2
Diámetro del rotor
D
L
3
Velocidad angular del rotor
-1
de
la
escribir
equivalencia
las
dimensional
siguientes
del
equivalencias,
conjunto
para
las
anterior,
se
dimensiones
dimensionales.
D≡L
⇒L≡D
ω ≡θ
⇒ θ ≡ ω −1
−1
(2
(2)
ρ ≡ ML−3 ⇒ M ≡ ρL3 = ρD 3
•
Tomando como pivote las variables: P, gH, Q y µ, que no forman parte
del
conjunto
recurrente,
y
las
equivalencias
(1),
se
establecen
los
cuatro parámetros restantes:
π2 =
P
P
P
=
=
2 −3
3
2
−1 −3
ML θ
ρD D (ω )
ρD 5 ω 3
(3)
π3 =
gH
gH
gH
= 2 −1 − 2 = 2 2
2 −2
Lθ
D (ω )
D ω
(4)
π4 =
Q
Q
Q
= 3 −1 −1 = 3
−1
Lθ
D (ω )
D ω
(5)
π5 =
Elaborado por: Emilio Rivera Chávez
Fecha de elaboración: 12/07/02
3
µ
µ
µ
=
= 3
1 −1
3
−1
−1 −1
ML θ
ρD D (ω )
D ω
Revisado por:
Fecha de revisión:
(6)
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•
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Sección: P-R-5
Problema 1.
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Los 5 parámetros anteriores pueden ser agrupados, en la siguiente
reilación funcional:
f (π 1 , π 2 , π 3 , π 4 , π 5 ) = 0
(7)
Sin embargo como la potencia, el rendimiento y la cabeza, son variables
dependientes, los parámetros de loa que forman parte,π1, π2, π3,
expresados como función de
deben ser
los dos restantes:
π 1 = f1 (π 4 , π 5 )
(8)
π 2 = f 2 (π 4 , π 5 )
(9)
π 3 = f 3 (π 4 , π 5 )
(10)
 Q
µ 

η = f1  3 ,
2
 D ω ρD ω 
(8a)
de donde:
y
 Q
P
µ 

= f 2  3 ,
5 3
2
ρD ω
 D ω ρD ω 
Despejando
Despejando
Se
(9a)
P
 Q
µ 

P = ρ D 5ω 3 f 2  3 ,
2
 D ω ρD ω 
(9
(9b)
 Q
gH
µ 

= f 3  3 ,
2 2
2
D ω
 D ω ρD ω 
(10a)
 Q
µ 

gH = D 2ω 2 f 3  3 ,
2
 D ω ρD ω 
(10b)
gH
conoce,
por
estudios
experimentales
realizados,
que
el
parámetro
que
involucra a la viscosidad no es relevante en la determinación de este tipo
de máquinas. Entonces el parámetro π5, ser menospreciado, por lo que las
expresiones anteriores pueden también escribirse así:
 Q 
η = f1  3 
D ω
;
 Q 
P = ρ D 5ω 3 f 2  3  ;
D ω
 Q 
gH = D 2ω 2 f 3  3 
D ω
Relaciones funcionales que deben ser establecidas experimentalmente.
Elaborado por: Emilio Rivera Chávez
Fecha de elaboración: 12/07/02
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