Tema 9 Objetivos Inducción electromagnética Fenómenos de

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Tema 9
Objetivos
 Describir fenómenos de inducción electromagnética.
 Enunciar la ley de Faraday y la ley de Lenz y aplicarlas al
cálculo de f.e.m. inducidas por flujos magnéticos
variables.
 Conocer aplicaciones basadas en los fenómenos de
inducción.
 Definir los conceptos de autoinducción, inducción mutua.
Inducción electromagnética
 Analizar circuitos con bobinas y resistencias.
 Definir energía magnética y densidad de energía.
Michael Faraday 1791-1867
Inducción
electromagnética
Fenómenos de inducción
electromagnética
1. Fenómenos de inducción electromagnética.
2. Ley de Faraday. Ley de Lenz.
3. Inducción mutua. Autoinducción.
4. Circuito RL.
v
v
5. Energía almacenada en una autoinducción. Densidad de
energía del campo magnético.
S
I
N
6. Aplicaciones de los fenómenos de inducción.
I
Fenómenos de inducción
electromagnética
Fenómenos de inducción
electromagnética

S

B
S
5

B
10
15
0
N

v
I
1C
Fenómenos de inducción
electromagnética
Varía el ángulo entre la superficie
y el campo magnético
Varía el campo magnético en la bobina
1C
Ley de Faraday
Las corrientes que aparecen por inducción en una
espira son debidas a la aparición de fuerzas
electromotrices (ε), cuyo valor depende de la
rapidez con que varía el flujo magnético que
atraviesa la espira:
●
 S=∫ B dS cos α
Φ=∫ B⋅d
S
S
ε=−

B

v
dΦ
dt
 S= ∫ BdS cosα
Φ=∫ B⋅d
Ley de
Lenz
I
Varía la superficie de la espira
Ley de Faraday

E

E
Φt 
Φ varía con t

B

E
q
F
W
 ℓ
ε= =∮ ⋅d ℓ=∮ E⋅d
q
q
 ℓ=− dΦ
ε=∮ E⋅d
dt

E

E

E

E
Ley de Lenz
●
●
La polaridad de la f.e.m. es tal que ésta tiende a producir
una corriente que crea un flujo magnético que se opone
al cambio en el flujo magnético a través del circuito.
La corriente inducida tiende a mantener el flujo original a
través del circuito.

B

v
I
E No es conservativo
d
 S
∮ E⋅d ℓ=− dt ∫ B⋅d
Ley de Lenz

B
N

B
S
0
N
S
0
I
aumenta
 S aumenta
Φ=∫ B⋅d
S
Ley de Lenz
I
S
Ley de Lenz


B
aumenta
Interruptor
+
Ley de Lenz

B
0

B
Interruptor
I
I


B=0
constante
+
-
0
I
-
Ley de Lenz

B
disminuye
Interruptor
Ejercicio 1a
0

B
I
+
-
i(t) aumenta con t
1C
Ejercicio 1a

B
Ejercicio 1b
  
Bi F =0
i

v
I
i(t) aumenta con t

B
F
I

v
i
1C
1C
Ejercicio 1c

B

B

v
R
Ejercicio 1d
F
R i
ω

B
I
Problema 7
a)
A
 S=∫ B dS=B∫ dS=B S
Φ=∫ B⋅d
S
S=
C
O
L
B
Φ=B
C’
b)
∣ε∣=
c)
Coeficientes de inducción:
Inductancia mutua
I1
①
Φ21
2
L α
2
S
α=ω t
L2 α B L2 ωt
=
 Wb 
2
2
B
dΦ B ω L2
=
V 
dt
2
∣ε∣ B ω L 2
=
 A
R
2R
Coeficientes de inducción:
Inductancia mutua
1C
I1
①

ε
Φ21

ε
B 1
●
S
ω
i=
1C
R
R
v
Problema 7
7. Un aro metálico de radio L y resistencia
despreciable, abierto entre C y C', está
situado en el interior de un campo magnético
B, uniforme, normal al plano del aro y sentido
el que se indica en la figura, una barra de
cobre, en el dibujo OA, gira alrededor de su
extremo O, coincidente con el centro del aro,
con
velocidad
angular
w
constante,
permaneciendo su extremo A en permanente
contacto con el aro. Entre O y C hay un hilo
conductor de resistencia R. Calcula:
a) Flujo magnético, expresado en función del
tiempo, a través del circuito OACO.
b) Fuerza electromotriz inducida en dicho
circuito.
c) Intensidad de corriente que circula por la
resistencia R.
F
ω

B
Coeficiente de inducción
mutua M21 del circuito 2 con
respecto al 1:
B 1
●
Φ21=M21 I1
Coeficiente de inducción
mutua M21 del circuito 2 con
respecto al 1:
Φ21=M21 I1
Coeficientes de inducción:
Inductancia mutua
Coeficientes de inducción:
Inductancia mutua
B 2
B 2
①
I1
①
Φ12
I2

Coeficiente de inducción
mutua M12 del circuito 1 con
respecto al 2:

I2
Φ12
①
ε
M21=M12=M
Φ12=M12 I2
Coeficientes de inducción:
Inductancia mutua
Coeficientes de inducción:
Inductancia mutua
B 2
I1
①
Φ21

B 2
I2
Φ12
①

ε
B 1
I1
①
dt
=−M

M21=M12=M
.
dI1
dt
S.I. M : henrio (H)
.
M
Vs
H=
A
Problema 6
6. Sea un conductor rectilíneo infinito por el
que circula una corriente de intensidad I = Kt
donde K es una constante positiva. Una
espira rectangular de lados a y b se sitúa en
el plano del conductor tal como se muestra
en la figura. Calcula:
a) f.e.m. inducida εi.
b) Si la espira tiene una resistencia R, cuánto
vale la i inducida, indicando su sentido.
c) Fuerza magnética sobre el lado AB
(módulo, dirección y sentido).
d) Coeficiente de inducción mutua entre el
hilo y la espira (M).
I2
Φ12
①
Problema 6
I
A
B
c
a
b
a)
B=μ 0
I
2πx
c+ b
 
µ Ia dx µ0 Ia  c + b
Φ = ∫ B ⋅ dS = ∫ BdS= ∫ 0
=
ln
 (Wb)
2π x
2π
 c 
S
S
c
∣ε i∣=

 
μ0 a
dΦ d μ 0 Ia
cb
cb d  Kt  μ 0 aK
cb
=
ln
=
ln
=
ln
dt dt 2π
c
2π
c
dt
2π
c
 
 
V 
b)
Ii=

ε
B 1
M21=M12=M
• Si I1= I1(t); ε2=−
Φ21
ε
ε
dΦ21

ε
B 1
ε

Φ21
∣ε i∣ μ0 aK
cb
=
ln
R 2π R
c
 
 A
antihorario
Problema 6
Problema 11
 ∫ d ℓ× B
F=i
c)
11. Dos espiras circulares, de radios a=1 cm y b=
50 cm, concéntricas, están situadas en el mismo
plano. (Se considera a<<b). Calcula:
a) Coeficiente de inducción mutua de ambas
espiras.
b) Flujo magnético que atraviesa la espira de
radio b cuando por la de radio a circula una
intensidad I = 5 A.
c) ¿En qué se traduce que la relación de radios de
ambas espiras sea a<<b? Considera la posibilidad
de que la diferencia entre a y b no fuese grande y
analiza la complejidad del problema resultante.
Compara la resolución del ejercicio con el ejemplo
resuelto 15-5 buscando analogías y diferencias.
C
cb
F=i∫ B dx=i
C
d)
∫
c
M=
μ0 I dx
2π x
=
2
  
μ0 K
2π
ln
cb
c
Φ μ0 a
cb
=
ln
I
2π
c
 
at
N 
R
 H
Problema 11
a)
B=
Problema 11
μ0 I b
c) a<<b
2b
b
 
µ I π a2
Φ = ∫ B⋅ dS = BS= 0 b
2b
S
M=
Φa
Ib
=
b
a
B≠
a
μ 0 π a2
b
μ0 I b
a
2b
 S≠BS
Φ=∫ B⋅d
2b
S
Φ μ π a2 4π 10−7 π 10−4
M= a = 0
=
=4⋅10−11 π 2=3,95⋅10−10 H
Ib
2b
2⋅50⋅10−2
b)
Φb=MIa=4⋅10−11 π 2⋅5=2π 2⋅10−10=1,97⋅10−9 Wb
Coeficientes de
inducción: autoinducción
Coeficientes de
inducción: autoinducción
Φ = LI
ε=−
I
ε
I
S.I.
ε
B
dΦ
dΙ
=−L
dt
dt
B
L
L : henrio (H)
Autoinducción
I Ii
a
L
+
I
aumenta
I Ii
a
V b−V a=−L
−b
εL
dI
0
dt
Determina la expresión del coeficiente de autoinducción del
solenoide de la figura, suponiendo que es muy largo comparado con
su radio, que el número de espiras N es grande, y conociendo que al
circular por él una corriente I la expresión del campo magnético en su
interior es: B = µ0NI/x. Aplícalo al caso concreto de un solenoide de
500 espiras de 5 cm de radio, y una longitud de 50 cm.
N
S
L
V b−V a=−L
+ b
εL
-
Ejemplo 13-5
I
disminuye
dI
0
dt
x
Ejemplo 13-5
Solenoide
N
S
I
x
Φ
L=
I
B
Φ=N ∫ B⋅d S
S
2
Φ=N ∫ BdS=NB∫ dS=NBS=N
S
L=
μ0 N 2 S
x
L=
S
= μ0 n2 x
μ0 N I μ0 N S
=
I
x
x
n número de espiras por unidad de longitud
N espiras
Circuito RL

Energía almacenada por
una autoinducción

di
dt
L
i
R
ε
di
ε−L −iR=0
dt
ℓ
ℓ
μ0 N 2 S 4π⋅10−7⋅5002 π⋅0,052
=
=4,93 mH
x
0,5
−L
L=
μ0 S N 2
−L
ie =ε/R
L
iR

τ
t

−
i t =ie 1−e
t
L/R
R
i
ie =ε/R
di
−iR=0
dt
ie
iR
τ
t

−
i t =ie 1−e
−L
Constante de tiempo τ = L/R
i
ε



di
dt
t
L/R
1
W = Li 2e
2

τ
t
i t =ie e
−
t
L/R
1
W = Li 2e
2
Constante de tiempo τ = L/R
Energía del campo
magnético
1
W = L i 2e
2
ie
L=
B
l
W=
Aplicaciones
Sistemas de
lectura
magnéticos:
μ0 S N 2
l
I
1 2
B V ol
2μ0
I
1 2
B
2μ0
1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0
Aplicaciones
Aplicaciones
ω B=
N espiras
Corrientes de
Foucault:
Corrientes de
Foucault:
i
ω
S
N
N
B =B0 sen ωt
Aplicaciones
Aplicaciones
Transformador:
Transformador corrientes de Foucault:
N1
N2
V1 ~
V2 ~
ε1=V 1 =N 1
dΦ
;
dt
ε2=V 2=N2
dΦ
dt
V1 V2
=
N 1 N2
i

B
⇒ V 2=
N2
N1
V1

B
Generador de corriente
alterna
Inducción mutua
ℓ1
Generador de corriente
alterna:
N2
S2
S1

S

B1
S
N
B2 =
ω
Sω
t
dΦ
ε=− =BNS ω senωt
dt
M=
B
ℓ
dS
I
F

Φ12 = N1B2S1
Φ12
i1
=
μ 0 N 1 N2 π r 21
ℓ1
m
R

I
ℓ
v
dS
x
ε=−

v0
F
R
dΦ t 
ε=−
=Bℓv
dt
Barra lanzada con
velocidad inicial
ε Bℓv
i= =
R R
B
2 2
 i ℓ× B−
 B ℓ v =m d v
F=
R
dt
−
v
mR
2
B ℓ
2∫
v0
dv
=t
v
v=v 0 e
−
B2 ℓ2
t
mR
Inducción en una barra
con movimiento circular
ε=
ω
dΦ
dS
πL2
=B =B
dt
dt
T
A
L

B
m =1 g B = 0,05T R = 3 Ω
L = 0,1m v0 = 2 m/s T (½) = 83,18 s
dΦ t 
=Bℓv
dt

ε Bℓv
i= =
R R
B2 ℓ 2 

F=−
v
R
r1
Barra lanzada con
velocidad inicial
B
v
N1
ℓ2

Fuerza sobre una barra
móvil

μ0 N2 i 2

ℓ2
O
C
C’
ε=B
πL2 1
= BL2 ω
2π
2
ω
ε BL2 ω
Ι= =
R
2R
Flujos sobre una espira
móvil
z
a
A
 S=Cybdy
dΦ= B⋅d
vt

b F1
I
dS

2 2
avCb
avC b 
F 1=Ι b× B 1=
bCvt j=
vt j
R
R
V

A’
F2 dy
y
x

B = Cyi
2 2
 =− avCb bC vt a  j =− avC b  vta  j
F 2=Ι b× B
2
R
R
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