Figura 9-17 Efectos de la frecuencia en la propagación de... láminas conductoras paralelas

Figura 9-17 Efectos de la frecuencia en la propagación de ondas TE en una guía de
láminas conductoras paralelas
9.6. Ondas transversomagnéticas (TM)
Al estudiar la incidencia oblicua de una onda plana sobre una superficie
conductora, observamos la existencia de una onda no uniforme con una componente
longitudinal Ez  0, y con una componente longitudinal Hz  0. Este tipo de onda se
denominó onda TM, y se indicó cómo podía transportar energía electromagnética
mediante ondas guiadas entre planos conductores paralelos.
En el caso de una guía de planos conductores paralelos ubicado en y = 0; y = b, y
en los cuales se haya podido excitar una onda con componentes transversales E y y Hx, y
una componente longitudinal Ez, estamos en presencia de un modo de propagación de
ondas TM. En cuyo caso, la solución de la ecuación escalar de Helmholtz para Ez es
suficiente para la determinación de las otras componentes del campo asociadas con este
tipo de ondas, es decir, sólo requerimos de la solución de la siguiente ecuación
diferencial:
201
 Ez
2
z
2
 h Ez  0
2
(9.6a)
Bajo las condiciones de contorno:
y  0
E z  0; 
y  b
Teniendo en cuenta que:
E z
x
 0 ; obtenemos
la siguiente solución:
 n 
E z  y , z   E 0 n sen 
y  exp  j  g z 
 b 
(9.6b)
Y con la aplicación de las ecuaciones de Maxwell, obtenemos:
E y y, z   
H x y, z  
jg b
 n 
E 0 n cos 
y  exp  j  g z 
n
 b 
j  b
 n 
E 0 n cos 
y  exp  j  g z 
n
 b 
(9.6c)
(9.6d)
La distribución de las líneas que describen la trayectoria del campo eléctrico en el
plano longitudinal de la guía estará dada por la relación:
E y y, z, t  0 
E z y, z, t  0 

dy
dz

g b
n
tan  g z 
(9.6e)
En la figura 9-18 se presentan en forma gráfica la distribución de las líneas
representativas del campo eléctrico para el modo TM1, dentro de una guía de láminas
conductoras paralelas.
202

Líneas del campo eléctrico.
Líneas del campo magnético.
Figura 9-18 Líneas del campo eléctrico para el modo TM1 de láminas conductoras
paralelas.
La estructura de las ondas TM la puede ser analizada utilizando un modelo
análogo al presentado en la figura 9-17 para las ondas TE. La diferencia consiste en la
polarización de las componentes del campo, las cuales ahora son: Ey, Ez y Hx.
Para las ondas TE, el modo dominante es el TE1, mientras que para las ondas TM,
el modo dominante es el TM0, el cual, realmente, corresponde al modo TEM, y para el
cual la frecuencia de corte es, evidentemente, igual a cero (fc = 0).
Para los modos TE y TM hemos visto cómo la velocidad de fase de las ondas es
mayor que la velocidad de fase en el medio dieléctrico en condiciones ilimitadas, y la
velocidad de grupo en la guía es menor que la velocidad de fase en el medio dieléctrico
en condiciones ilimitadas, de forma tal que siempre se cumple:
v fg x v gg  ( v f )
2
(9.6f)
donde,
v fg 

g

vf
f

1- c 
f



 v
v gg  

f
 

2
 vf
f

1- c 
 f 
(9.6g)
2
 vf
(9.6h)
203
En las expresiones (9.6g) y (9.6h) observamos su dependencia de la frecuencia.
El concepto de velocidad de fase sólo es aplicable a campos sinusoidales de estado
estable(amplitud y frecuencia constantes), se puede utilizar la superposición de Fourier
de cualquier cantidad de soluciones de campos sinusoidales de estado estable con
distintas frecuencias para construir ondas moduladas de amplitud o frecuencia variable.
Este proceso importante lleva al conocido concepto de velocidad de grupo o velocidad
de la señal o de la información, asociada con el grupo de ondas distribuidas en el
espectro de frecuencias que comprenden a la señal modulada. El análisis de Fourier de
una portadora de alta frecuencia modulada en amplitud (la amplitud de la portadora es
proporcional a es proporcional a la señal moduladora en cada instante del tiempo)
revela el rango de frecuencias que debe transmitir el sistema que quizá contenga guías
de onda, líneas coaxiales, circuitos de filtro, antenas y otros elementos. Este tipo de
análisis muestra que el sistema de transmisión debe ser capaz de pasar la frecuencia
portadora más las componentes adicionales que aparecen en las bandas laterales. Por
ejemplo, una portadora de 100 MHz modulada en amplitud por una señal de video que
comprende componentes de frecuencia desde cc hasta 4 MHz requiere una banda de
transmisión de 96 hasta 104 MHz (un ancho de banda del 8%). Los tres términos de
Fourier se conservan en la misma relación de fase sin importar la distancia a la que
avance la onda modulada, la envolvente de la onda debe moverse a la velocidad del
grupo. En una región no dispersiva todos los términos de Fourier se propagan a la
misma velocidad de fase. La región sin dispersión también es una región sin distorsión.
En un medio con dispersión las distintas velocidades de fase de los términos de
Fourier que caracterizan una onda viajera modulada en un medio dispersivo hacen que
la envolvente de la onda parezca rezagarse con respecto a la portadora que aparece bajo
la envolvente. Este fenómeno se debe a que la velocidad de grupo es diferente a la
velocidad de fase de los términos de Fourier. Cuando la velocidad de grupo es inferior a
la velocidad de fase la dispersión es normal. Cuando la velocidad de grupo excede las
velocidades de fase de los términos de Fourier, en ese caso se dice que la dispersión es
anómala y entonces se ve que la envolvente se adelanta a la portadora igual como una
onda portadora se mueve a través de una región con pérdidas.
Si se modula una portadora con un pulso de duración muy corta, los componentes
de Fourier de estado estable del espectro pueden extenderse en una banda de frecuencia
tan ancha que puede perder su significado la relación / , que se usa para definir la
velocidad de grupo en el límite. Entonces será necesario remplazar la velocidad de
grupo con un concepto de velocidad de señal, por ejemplo, la relación entre la densidad
del flujo de potencia por unidad de área y la densidad de energía en el campo
electromagnético por unidad de volumen. Entonces, la velocidad de grupo tiene un
significado preciso sólo si se mantiene la frecuencia de la portadora suficientemente alta
en comparación con el ancho de banda de frecuencia que abarca los términos
importantes del espectro de Fourier.
Un diagrama muy útil en el análisis de la propagación en guías de ondas el
llamado “diagrama de dispersión”( figura 9-19) . Este se obtiene ala graficar  contra .
204
En esa gráfica la pendiente de una línea recta dibujada desde el origen hasta un punt P
sobre la gráfica da el valor de la velocidad de fase, y la pendiente local de una línea
tangente a la gráfica en ese mismo punto P ( derivada de  con respecto a ) da el valor
de la velocidad de grupo. La función representada gráficamente representa la relación
no lineal entre  y  para los modos TE y TM dentro de una guía ideal:
 

c
c 
1 

 
2
(9.6i)
Figura 9-19. Diagrama de dispersión - para los modos TE y TM .
Al obtener las relaciones entre las magnitudes de las componentes transversales
de E y de H para los diferentes modos de propagación en la guía de láminas conductoras
paralelas, observamos las siguientes diferencias entre sus correspondientes impedancias
características:
205
Al ser Ez = 0 y Hz = 0 para las ondas TEM las relaciones generales derivadas de
las ecuaciones de Maxwell conducirían a un grupo de soluciones triviales (todas las
componentes serían iguales a cero), al menos que el factor h2 sea igual a cero. Es decir
las ondas TEM existen sólo cuando:
 TEM
2
 j   j

, lo cual corresponde exactamente con la misma
expresión de la constante de propagación para una onda plana uniforme, en un medio de
extensión indefinida. Esto nos indica que la impedancia para las ondas TEM es igual a
la impedancia intrínseca del medio en donde éstas se propagan, es decir:
Z TEM  
(9.6j)
Para las ondas TE y TM, al existir una componente longitudinal del campo, Ez
2
2
2
para las TM y Hz para las TE, TE
 h   , lo cual hace que estos factores de
,TM
propagación al igual que las impedancias para las ondas TE y TM dependan de la
frecuencia de corte para cada uno de sus modos. Esto nos conduce a los siguientes
resultados:
Z TE 

f

1  c 
 f 
(9.6k)
2
f

Z TM   1   c 
f


2
(9.6k)
La figura 9-20 nos muestra gráficamente la dependencia de estas impedancias
características de los modos TE y TM con respecto a la frecuencia.
206
Figura 9-20 Impedancias características de los diferentes modos de
propagación.
Para frecuencias mayores que la frecuencia de corte (f > fc), la impedancia de la
onda para los modos TE es de características resistivas y siempre es de mayor magnitud
que la impedancia intrínseca del medio dieléctrico(), y la impedancia de la onda para
los modos TM es también de características resistivas, y siempre de menor magnitud
que la impedancia del medio dieléctrico (). Para frecuencias menores que la frecuencia
de corte (f < fc), ambas impedancias son de carácter reactivo, esto es indicativo de que
no habrá flujo de potencia en la guía. La guía actúa como un filtro pasa alto.
9.7. Atenuación y capacidad de transmisión para una guía de
láminas conductoras paralelas
A diferencia del conductor ideal, en un metal puede existir campo
electromagnético, aunque se amortigüe rápidamente. Esto produce una absorción de
potencia que constituye las pérdidas óhmicas en el material conductor. Con paredes
finamente conductoras, la continuidad del campo magnético tangencial garantiza un
campo magnético variable en el tiempo dentro el conductor, que produce un campo
eléctrico que rápidamente disminuye con la profundidad.
Los campos penetran a la pared conductora esencialmente a ángulo recto respecto
a la superficie. La pérdida de potencia óhmica resultante debido a la transferencia de
una pequeña porción de la energía disponible del modo transmitido a la pared produce
207
una atenuación mensurable del modo propagado. Por ejemplo, la atenuación por
pérdidas óhmicas en el modo TE1 para una línea de bandas de latón operando a 10 GHz
es del orden de 0.2 dB por metro, lo cual constituye una cantidad significativa para
longitudes largas de la guía.
En un medio dieléctrico también puede existir una atenuación de la potencia
transmitida, la cual podemos modelar con la utilización de la permitividad compleja.
El factor de propagación de la guía (g) es igual a:

 g     h
2
2
½
(9.7a)
donde,
 0 ; para modos TEM

h   n
; para modos TEn y TMn

 b
(9.7b)
n tiene valores discretos (1,2,3,...) que determinan la frecuencia de corte (fc) para
el modo de propagación correspondiente.
Haciendo uso de la ley circuital de Ampère, observamos que el coeficiente del
campo eléctrico, para un medio dieléctrico con pérdidas tiene la siguiente forma:
j  ˆ     j   '     j  ' '   
(9.7c)
 j  '  ' '
(9.7d)
Por consiguiente ”, de la expresión (9.7d) representa la conductividad
equivalente del medio dieléctrico (d), y al substituir  por (’ - jd/), en la expresión
(9.7a), obtenemos:
 2 
j d 
2 
 g      1 
h 
 





   h 1  j 

j 
2
2 
   h 1 
2

2
2
d
½

d
2
  h

2

2 1
  h

½
2 1



(9.7e)
208
En la expresión (9.7d) hemos mantenido sólo los dos primeros términos de la
expansión binomial, ya que  << 2 - h2. Pero 2fc()½ = h. Por consiguiente,
podemos escribir la expresión (9.7d), en la siguiente forma:
g   d  j 
d

2

1
f 
1  c 
 f 
2
2

 fc  
 j   1    
 f  

½
(9.7f)
A partir de este resultado podemos establecer que la atenuación en el medio
dieléctrico de la guía es igual a:
d 
d

2

1
f 
1  c 
 f 
(9.7g)
2
Por consiguiente, observamos que d decrece al aumentar la frecuencia de
operación de la guía. La expresión (9.7g) es válida para los modos TEn al igual que para
los modos TMn.
Para poder determinar la atenuación debida a las pérdidas óhmicas en las paredes
de la guía, hacemos uso del principio de conservación de energía, es decir:
Sí E  z   E 0 exp    z  y
H  z   H 0 exp    z 
P  z   P  0  exp   2  z 
(9.7h)
P d  P  z 1  exp   2  z 
y, exp   2  z   1  2  z 
 z  2
2!

 z  3
 ...
3!
Para valores pequeños de , se pueden tomar los dos primeros términos de la
expansión como una buena aproximación. Por consiguiente, las pérdidas por unidad de
longitud pueden ser representadas por la siguiente expresión:
209

 P z 
z
 2  P z   Pd
(9.7i)
donde P(z) representa el promedio temporal de la potencia transportada por la
guía, y Pd la potencia disipada por unidad de longitud. Por consiguiente, la atenuación
correspondiente es:
c 
Pd
(9.7j)
2 P z 
i) Para los modos TEn
Haciendo uso de las expresiones (9.4d), (9.4e) y (9.4f) obtenemos:
P z  
b Lx
1

  2  E H  dxdy
x
(9.7k)
y
0 0
   g
 L x 
 2
  bH 0 z 

2  n

 n    sen  b y dy


0

b
 bH 0 
 L x   g b 

 2n 
1
Pd  2 L x  K x
2
2
2
(9.7l)

Rc

2
= L x H 0z R c
(9.7m)
 n 
 c 



2 P  z    g b  b 
Pd

2R c
2
 f c
b
c
fc 
 f 


f 
1  c 
 f 
2
2
(9.7n)
(9.7ñ)
210
Este resultado nos indica, que para cada uno de los modos TE, c decrece a
medida que la frecuencia de operación de la guía aumenta en su magnitud.
ii) Modo TM
Para determinar la atenuación debida a las pérdidas óhmicas, en el caso de los
modos TM utilizamos el mismo principio de conservación de energía expresado
mediante la ecuación (9.7j), pero en este caso debemos emplear las componentes
correspondientes del campo dadas por las expresiones (9.6b) ,(9.6c) y (9.6d). En esta
forma, obtenemos:
P z   L x
b

 E  H  dy
y
(9.7o)
x
0
L x   g  bE 0 z 



2
 n 
 bE 0 z 
 L x   g 

 2n 
2 b
 cos
0
2
 n 
y  dy

 b 
(9.7p)
2
(9.7q)
Las pérdidas óhmicas por unidad de longitud en las láminas conductoras son:
1
Pd z   2 L x  H 0 x
2
2
  bE

Rc   Lx
n


2
0z

 Rc

(9.7r)
La atenuación es:
c 

Pd z 
P z 

2  R c
2
 f c
b

g b
1
2
fc 
fc  
 f  1   f  



 
(9.7s)
211
Figura 9-21 Atenuación relativa para una guía de bandas conductoras
paralelas
A=

 2

b


   fc 


, atenuación relativa
En la figura 9-21, en la curva representativa de la atenuación para el modo TE, en la
guía de láminas conductoras paralelas, podemos observar su decrecimiento al aumentar
212
la frecuencia, mientras que para los modos TM existe un valor mínimo de atenuación
para una determinada frecuencia de operación (f = 3 fc).
El análisis presentado para la determinación de las pérdidas en guías de ondas de
placas conductoras paralelas, se basa en una aproximación de ondas planas. En un
análisis matemáticamente riguroso debemos tener en cuenta la inclinación del campo
eléctrico en las superficies conductoras. Esto implica que sólo en el, plano medio de la
guía la componente longitudinal del campo eléctrico (Ez)es igual a cero, como se
representa en la figura 9-22.
Figura 9-22 Modelo para el análisis de la propagación en una guía onda de placas
conductoras paralelas.
Las componentes longitudinal del campo eléctrico en el dieléctrico y en el conductor
deben ser respectivamente de la forma:
 E z d  C 1 sen  d x 

 E z c  C 2 exp    c x 
(9.7t)
Las correspondientes componentes transversales del campo H serán, entonces, iguales
a:
j  d

 H y d    d C 1 cos  d x 

 H y c   j   c C exp    c x 

c
(9.7u)
213
La ecuación (9.1m) nos permite encontrar las componentes tangenciales del campo H
en ambos medios. Por consiguiente, de la relación Ez /Hy , en x = a /2, obtenemos:
a
  c d
tan   d  
2
  d c
(9.7v)
Esta es una ecuación trascendental que contiene cantidades complejas, para la cual no es
fácil obtener una solución general, aplicable a todos los casos.. Siendo nuesto mayor
interés el caso correspondiente a un sistema de bajas pérdidas, podemos establecer las
condiciones siguientes:
1.- medio dieléctrico de bajas pérdidas
2.- corriente de desplazamiento de magnitud despreciable en el medio conductor
3.- permitividad del dieléctrico será considerada una cantidad real
4.- la permitividad del conductor c  c  j
Bajo esta condiciones, las expresiones (9.7g, 9.7j. 9.7n y 9.7s) obrtenidas para
las atenuaciones en los diferentes medios de la guía, son aproximaciones
justificables cuando se cumple que:
  d
 1
 


   c  1

  c
(9.7w)
214
9.8 Modos híbridos y modos linealmente polarizados.
En la sección 9.1, al obtener las ecuaciones características para la determinación
de los modos de propagación pudimos observar que de acuerdo a la existencia de las
componentes longitudinales de los campos E y H, se obtenían diferentes soluciones que
denominábamos modos TEM, TE o TM. En las secciones siguientes, prestamos nuestra
atención al estudio de las líneas de transmisión con estructuras metálicas. En aquellas
con dos o más conductores se evidencia que la energía electromagnética se transfiere
fundamentalmente en el modo transverso magnético (TEM); mientras que en las
guíaondas configuradas por ductos metálicos, la componente longitudinal de E o de H
debe ser nula de acuerdo con el modo de propagación, TE o TM, utilizado.
En el caso de las microlíneas, las condiciones en las fronteras sólo se satisfacen
si el sustrato dieléctrico y el medio que le rodea (aire) tienen iguales permitividades. De
cualquier forma, es posible, al igual que para otras estructuras, obtener los parámetros
circuitales característicos (R, G, L y C) suponiendo una distribución de modos TEM
(aproximación de onda plana).
En el caso de estructuras con interfaces dieléctrico-dieléctrico, observamos, que
de acuerdo con las ecuaciones características: 9.1l – 9.1ñ, ninguna de las componentes
longitudinales (Ez, Hz) puede ser igual a cero. Esto da origen a los modos de
propagación llamados modos híbridos (EH y HE), en donde ambas componentes
longitudinales existen. Cuando en estas estructuras se presentan características de
propagación poco más o menos idénticas para los modos existentes, los modos híbridos
se consideran modos degenerados; y en lugar de tomarlos en cuenta separadamente, se
puede usar una combinación lineal de ellos y considerar el resultado como un modo
nuevo. El producto del tal superposición es un campo linealmente polarizado (LPm,n).
En la figura 9-20 podemos ver un ejemplo de la obtención de dos modos LP. Esto
corresponde a una fibra óptica y se obtienen de la suma de los modos HE 21 + TE01 y de
HE21 + TM01.
En algunas configuraciones, tales como las guíaondas parcialmente llenas de un
material dieléctrico (Figura 9-21), al igual que en las fibras ópticas se dan las
condiciones en las fronteras. que requieren para ser satisfechas de una combinación de
modos de propagación TE y TM para obtener una solución satisfactoria.
215
Figura 9-20 Obtención de dos modos LP11
Figura 9.21 Guíaondas parcialmente llenas con un material dieléctrico.
216