T: Cinemática 2012

MECÁNICA
Cinemática de partículas:
La cinemática es el estudio de la geometría del movimiento;
su objeto es relacionar
el desplamiento, la velocidad la aceleración y el tiempo,
sin referencia a la causa del movimiento
Movimiento en una dimensión
Movimiento en dos y tres dimensiones
Referencias:
Tipler, P. and Mosca, G.(2004) Physics for Scientists and Engineers. Vth Ed.
Freeman and Company
Beer, F. and Jonhston, E. R. (2007) Vector Mechanics for Engineers. McGrawHill
MECÁNICA
Cinemática de las partículas
Movimiento en una dimensión
Desplazamiento y velocidad
Posición, Desplazamiento, Velocidad, “rapidez”. Una
dimensión
Posición xi. se define
por un marco o sistema
de referencia
Desplazamiento: es el cambio en la posición de la partícula
Velocidad: El ritmo al cual cambia la posición, m/s
La velocidad instantánea es el límite del
cociente Δx/Δt, cuando Δt tiende a cero, y
tiene signo, positivo significa que x crece, y
negativo que x disminuye
Velocidad promedio
Distancia recorrida: s
distancia total recorrida
s
t
= pendiente de la línea tangente a la
curva x frente a t
Rapidez promedio:
VELOCIDAD INSTANTÁNEA
ds
Velocidad instantánea dt
ratio de la distancia total
recorrida por el tiempo
empleado en recorrerla
Velocidad promedio e instantánea. Interpretación geométrica
Movimiento en una dimensióh
La velocidad promedio es la pendiente
de la línea recta
Interpretación
geométrica de
la
velocidad media
Velocidad instantánea

ds
dt
La
magnitud
de la
velocidad
instantánea
es la
rapidez
Velocidad promedio e instantánea.
Comentarios sobre terminología.
Diferencia entre velocidad y rapidez
Cuando hablamos de rapidez o módulo de la velocidad instantánea , esta
se considera siempre positiva. La “rapidez” promedio en un recorrido es
pues el promedio de los valores de la rapidez (módulo de la velocidad)
instantánea, y es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo
empleado en recorrerla
Cuando hablamos de velocidad nos referimos a la velocidad como vector,
por tanto tiene módulo y dirección. Cuando tratamos movimientos
unidimensionales la dirección del vector la suele indicar el signo. Positivo
o negativo
La diferencia fundamental entre ambos concceptos se encuentra cuando
hablamos de velocidad promedio. En un movimiento como el que recorre
un coche de Fórmula 1, al dar una vuelta al circuito la velocidad promedio
en ese ciclo sería cero, pero el módulo de la velocidad instantánea
promedio sería la distancia recorrida dividida por el tiempo empleado en
recorrerla.
Velocidad promedio e instantánea.
velocidad instantánea
ds
v
dt
ds es el infinitésimo de arco, distancia sobre la curva que
recorre la partícula, en un infinitésimo de tiempo, dt;
Cuando se considera movimiento unidimensional, aunque
fuera movimiento curvilíneo, es frecuente utilizar la letra “s”
como distancia desde el origen, entonces “s” ya es posición y
no distancia recorrida, por lo que tiene asociado un signo,
positivo para distancias que crecen, negativo al contrario.
Cuando consideramos un movimiento rectilíneo para la
distancia desde el origen se suelen utilizar letras como “x”,
coincidiendo con el nombre del eje cartesiano
correspondiente, entonces ds= dx
En el caso general de movimiento curvilíneo tridimensional, y
para cordenadas cartesianas
ds 
dx 2  dy 2  dz 2
MECÁNICA
Cinemática de partículas
Movimiento en una dimensión
Aceleración
Aceleración
una dimensión
Movimiento en
Aceleración es el ritmo de cambio de la velocidad instantánea
Aceleración promedio,
m/s2
 
dx
dv d dt d 2 x


 2
dt
dt
dt
Aceleración instantánea,
m/s2
pendiente de la línea tangente a la curva v frente a
t
Movimiento
bajo aceleración constante, a = aav = constante;
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
v  vo  at
1 2
x  x  xo  s  vot  at
2
Eliminando t
v 2  vo2  2ax
v 2  vo2  2a s
Caso práctico: Objetos en caida libre “ que caen libremente bajo la
influencia de la gravedad solamente”
“Cerca de la superficie de la tierra
todos los objetos sin sujección caen verticalmente con aceleración constante
(considerando la resistencia del aire despreciable) Aceleración de la
2
Ejercicios
¿Cómo es el
movimiento
que se
muestra en
la figuras?
Escribe la
ecuación que
describe el
movimiento
en cada caso
Un coche que
parte del reposo
registra la
velocidad que se
representa en la
figura. Estima la
distancia que
recorre en los
primeros 4
segundos. Calcula
la aceleración
cuando t = 2 s
Describe el movimiento
que se representa en la
figura. Estima la
aceleración cuando: t=50
s; t=120 s; ¿Cual es la
distancia recorrida desde
el origen de tiempo a t =
60 s; t= 180 s
Un coche acelera desde el reposo como se muestra
en la figura. Dibuja un gráfico mostrando su
velocidad y posición respecto al tiempo
Movimiento relativo de dos partículas
Movimiento en
una dimensión
Un sistema de referencia es un objeto cuyas partes están en
reposo relativo unas de otras
DEFINICIÓN DE SISTEMA DE
REFERENCIA
Posición
relativa de B
xA
xB
respecto de A
Velocidad relativa de B respecto de
A
Aceleración relativa de B respecto de
A
Movimientos
dependientes
Los movimientos de las partículas
Ejemplo:
Poleas y objetos
están
enlazados,no
son
enlazados por cuerdas
independientes
inextensibles
2 xB  x A  Constante
2 vB  v A  0
2 aB  a A  0
xB / A  xB  x A
vB / A  vB  v A
aB / A  aB  a A
MECÁNICA
Cinemática de partículas
Movimiento en dos y tres dimensiones
¡vamos a necesitar
un concepto
matemático!
Vectores
Suma y resta de
vectores
Método del
paralelogramo
Los vectores son objetos
que poseen magnitud y
dirección y se suman como
los desplazamientos
Componentes de un vector
Componentes
rectangulares
de un vector
Vectores
La suma de vectores
puede hacerse por el
procedimiento de unir la
cabeza de uno con la
cola del otro, el método
del paralelogramo, o
analíticamente usando
los componentes del
vector
Vectores
unitarios
Posición, Velocidad [rapidez], y
Aceleración
Vectores posición, velocidad y aceleración
Movimiento
curvilíneo
Velocidad. Vector


Δr dr ds
v  lim

 Τ  vΤ
Δt 0 Δt
dt dt
Rapidez [speed]
v
ds
dt
s distancia medida sobre la
curva desde un origen Po
Vectores posición, velocidad y aceleración
curvilíneo
Aceleración


dv
a  lim

t 0 t

dv d v T


dt
dt
 
Movimiento
Componentes rectangulares del vector, posición, velocidad y
aceleración
Movimiento curvilíneo




r  xi  y j  z k
 dx  dy  dz 
v i
j k
dt
dt
dk
 d 2x  d 2 y  d 2z 
a 2 i  2 j 2k
dt
dt
dt
Componentes tangencial y normal de la aceleración


v  vT




 dv d v T
dv
dT dv
v  dv
v2
a


T v

T v N 
T
N
dt
dt
dt
dt
dt

dt


dT d 
ds  v 

N
N N
dt
dt
 dt

 
Componentes tangencial y normal de la aceleración
ACELERACIÓN
TANGENCIAL
ACELERACIÓN NORMAL
O CENTRÍPETA


v  vT

 dv dv  v 2  

a

T
N  aT  a N
dt dt

Caso especial: Movimiento
circular
Caso especial: Movimiento
circularRelaciones básicas en el
movimiento circular
!!!Ángulos en radianes!!!
Radio, r [m]
Arco, distancia recorrida, s [m]
Velocidad, v; Rapidez, v [m/s]
Ángulo girado, θ, [rad]
Velocidad angular ω [rad/s]
Aceleración angular, α [rad/s2]
Aceleración, a [m/s2]
Aceleración Tangencial, aT [m/s2]
Aceleración Normal, aN [m/s2]
Frecuencia, ν [ciclos/s][Hertz]
Período, T, [s]
arco  angulo x radio
ds  d R
ds d

R
dt
dt
v  R
dv d 
aT 

R R
dt
dt
v2
aN 
 2R
R
Ejercicio: Representar a escala la
velocidad y aceleración del punto P
de la figura que gira con velocidad
angular constante de 5 rad/s y radio
de giro 3 m.
Movimiento relativo a un sistema de
referencia móvil: Caso de
traslación

rB / A
  
rB  rA  rB / A

 
vB  v A  vB / A

 
aB  a A  aB / A
Posición relativa de B respecto al
sistema móvil Ax´y´z´, o posición de
B relativa a A
Velocidad de B relativa al sistema de
referencia móvil Ax´y´z´, o la
B / A velocidad de B relativa a A.Es la
derivada del vector posición relativa

v

aB / A
La posisición, velocidad y aceleración dependen
del sistema de referencia desde el que se midan.
Sin embargo, si el movimiento del sistema
de referencia móvil es de traslación
uniforme, la aceleración es la misma medida
en los dos sistemas, el fijo y el móvil
Acleración de B relativa al sistema de
referencia móvil Ax´y´z´ o la
aceleración relativa respecto de A.
Es la derivada del vector velocidad
relativa
El movimiento de B
respecto al sistema
fijo Oxyz se denomina
movimiento absoluto
Movimiento relativo respecto a un sistema de referencia
B
O
A
A

vB / A

 
rB  rA  rB / A



vB  v A  vB / A



aB  a A  aB / A

vA
Si el vagón tiene
un movimiento de
traslación
uniforme, las
aceleraciones son
las mismas
medidas desde
los dos sistemas
Problemas
Un proyectil se lanza desde el borde de un acantilado de 190 m de altura sobre el mar,
con una velocidad de 180 m/s y un ángulo de 30º con la horizontal. Si se ignora la
resistencia del aire (a) calcular la distancia horizontal desde el cañón hasta donde el
proyectil impacta con el mar (b) la altura máxima que sobre el nivel del mar alcanza el
proyectil
El automóvil A viaja hacia el este con una velocidad constante
de 36 km/h. Cuando el automóvil A cruza la intersección que
se muestra, el automóvil B parte del reposo desde una
distancia de 35 m al norte de la intersección y se mueve hacia
el sur con una aceleración constante de 1,2 m/s2. Determinar
la posición, velocidad y aceleración de B relativa a A 5 s
después de que A cruce la intersección
Un automovilista viaja a 120 km/hora sobre un tramo curvo en una autopista de 800 m
de radio. Aplica los frenos, provocando que la rapidez del coche disminuya de forma
constante y al cabo de 3 s la velocidad es de 90 km/hora. Calcular la aceleración del
coche justo cuando el automovilista inicia la aplicación de los frenos