Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que

PRUEBA CLASIFICATORIA
TEMA#1
Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hay en
el momento de cortar. ¿Qué fracción del pastel original quedó después de
cortar tres veces?
(a) 2/3
(b) 8/27
(c) 4/9
(d) 8/9
(e) 4/3
Solución:
En cada corte quedan 2/3 de lo que había antes de cortar, así que la
respuesta es 2/3 x 2/3 x 2/3 = 8/27. La opción es (b).
TEMA#2
En el rectángulo de la figura, M y N son los puntos medios de AD y BC,
respectivamente, y P y Q son las respectivas intersecciones de AC con BM y
con ND. Suponiendo que AD mide 5cm y que AB mide 3cm, ¿Cuál es la
superficie del cuadrilátero MPQD?
Solución:
Obsérvese que si se juntan los triángulos ABM y DNC, éstos formarán un
rectángulo de 2.5 x 3, y que el área de MPQD es la mitad del área restante
MBND para el rectángulo total, esto es: [(5 x 3) - (2.5 x 3)]/2 = 3.75.
TEMA#3
En la figura se representa una tira larga de papel dividida en varios
triángulos marcados con líneas punteadas. Suponga que la tira será doblada
siguiendo las líneas punteadas en el orden indicado por los números, de
forma que la tira siempre quede en posición horizontal y la parte de la
izquierda que ya ha sido doblada se dobla hacia la derecha. ¿Cuál es la
posición en que terminan los vértices A, B y C después de doblar la tira
2005 veces?
Solución:
Nótese que la posición original se repite después de cada 6 doblados. Como
2004 es múltiplo de 6, entonces después de 2004 doblados se tendrá la
posición original y por lo tanto después de 2005 doblados se tendrá la
misma posición que había después del primer doblado.
La respuesta es (e).
TEMA#4
A cuatro amigos, Roberto, Fernanda, Violeta y Esaú se les presenta un
número. He aquí lo que dicen acerca del mismo:
Roberto:
Fernanda:
Violeta:
Esaú:
Tiene dos dígitos
Divide a 150
No es igual a 150
Es divisible para 25
Resulta que uno (y solo uno) de los cuatro amigos miente. ¿Cuál de ellos es?
Solución:
Esaú es el mentiroso. Para ver por qué, se examina un caso cada vez,
utilizando el hecho de que solo miente una persona.
Si Roberto mintiera, el número tendría 3 dígitos (no podría tener solamente
uno, porque no sería divisible para 25, y entonces también mentiría Esaú).
Pero si el número tuviera 3 dígitos, entonces o bien Fernanda o bien Violeta
estarían mintiendo, porque 150 es el único número de 3 dígitos divisible para
150. En consecuencia, Roberto debe estar diciendo la verdad, ya que
solamente puede haber un mentiroso.
Si Fernanda mintiera, el número no sería divisor de 150. Pero en tal caso o
bien mentiría Roberto o bien lo haría Esaú, porque los únicos números de 2
dígitos divisibles para 25 (25, 50 y 75) son divisores de 150. Así pues
Fernanda debe de estar diciendo la verdad.
Si Violeta mintiera, el número sería 150. Pero en tal caso Roberto estaría
mintiendo también, ya que 150 tiene 3 dígitos, no 2. Y sabemos que Roberto
dice la verdad.
Así pues, la única posibilidad que suceda es que Esaú sea el mentiroso, lo que
resulta coherente. Si el número fuera 10, por ejemplo, Esaú mentiría, pero
las otras 3 afirmaciones serían todas ciertas.
TEMA#5
Si la altura del diagrama anexo es de 8 unidades y su longitud de 15, ¿Cuál
es el perímetro del diagrama completo?
Solución:
La distancia total alrededor del diagrama es 8+15+8+15=46. Es indiferente
que la parte superior derecha del diagrama incluya un conjunto de
“escalones”, puesto que si se omiten tales pasos se puede crear un
rectángulo de 8x15, y la distancia que rodea ese rectángulo (su “perímetro”)
sería precisamente 46 unidades.
TEMA#6
A Julio le dieron el número secreto de su nueva tarjeta de crédito, y
observó que la suma de los cuatro dígitos del número es 9 y ninguno de ellos
es 0; además el número es múltiplo de 5 y mayor que 2005. ¿Cuál es la
tercera cifra de su número secreto?
Solución:
Por ser el número múltiplo de 5, debe terminar en 0 o 5, pero como no debe
tener 0's, el número termina en 5. Ahora hay que buscar tres números cuya
suma sea 4 (pues la suma de todas las cifras del número es 9); como ninguno
debe ser cero la única posibilidad es que sean 1, 1, 2 y como el número debe
ser mayor que 2005, entonces el número debe ser 2115. Por lo tanto su
tercera cifra es 1.
TEMA#7
Dos números enteros a>1 y b>1, satisfacen la ecuación
Encuentre la suma
ab + ba = 57.
a+b.
Solución:
Uno de los enteros, digamos a, debe ser par, mientras que el otro, b, debe
ser impar. Como 43 = 64 > 57, tenemos que a = 2; entonces se puede
observar que b=5. La respuesta es 7.
TEMA#8
En la siguiente figura AD = DC, AB = AC, <ABC = 75o y <ADC = 50o. ¿Cuánto
mide <BAD?
(<ABC significa " el ángulo ABC ")
Solución:
El triángulo ABC es isósceles (AB = AC), lo que implica que <ABC = <ACB =
75o, y que <BAC = 180o-(75o+75o) = 30o. El triángulo ADC también es
isósceles (AD=DC), lo que implica que <DAC = <DCA = (180o-50o)/2 = 65o.
Obsérvese que <BAD = <CAB + <DAC = 30o+65o=95o.