Señales Exponenciales - Universidad de La Frontera

Construcción de señales usando curvas
exponenciales
J. I. Huircán
Universidad de La Frontera
March 31, 2014
Abstract
Se construyen variantes de la señal exponencial decreciente, las cuales
son muy usadas en Ingeniería Eléctrica, pues, las respuestas a excitaciones
tipo escalón presentan dicha forma. Para Kest , donde s es real y negativo,
la curva tenderá al valor cero. Esto ocurre para t = 5 ( ; constante de
tiempo).
1
Función Exponencial
Sea la función
f (t) = Kest
(1)
Donde s y K son reales. Dependiendo de los valores de dichas constantes,
la función exponencial será creciente o decreciente. Para s = a = 1 , se tiene
una función decreciente, y se estima que llega al valor cero para t = 5 ; donde
es la constante de tiempo. Mientras más pequeño es (el valor de a cada vez
mayor), el tiempo que demora la señal en llegar a cero será más pequeño, es
decir la caida es más rápida.
f(t)
K
0.36K
τ
t
Figure 1: Función exponencial decreciente.
El valor de corresponde al tiempo en el cual la señal a evolucionado en un
63% del valor …nal.
1
2
Combinando escalones y exponenciales
Multiplicación de un escalón por una exponencial
at
f (t) = Ke
La nueva función es cero para t < 0
u (t)
(2)
y se indica en la Fig. 2a.
f(t)
K
f(t)
t
t
-K
(a)
(b)
Figure 2: Exponencial multiplicada por un escalón. (a) Positivo. (b) Negativo.
Multiplicando por
u(t), (Fig.2b) se tiene que
f (t) =
Ke
at
u (t)
(3)
Combinando un escalón con la exponencial dada por (3), se tiene
f (t) = Ku (t)
Ke
at
u (t) = K 1
e
at
u (t)
(4)
La ecuación (4) representa la evolución clásica de un sistema de primer orden
excitado por una señal escalón, lo cual se indica en la Fig. 3.
f1(t)
K
f(t)
Ku(t)
K{ 1-e-at} u(t)
K
t
f2(t)
-Ke-at
t
t
-K
Figure 3: Exponencial negativa + escalón.
Note que para un valor de t = 5 , f (t) se considerará en el valor …nal K.
Escalón con argumento negativo y exponencial decreciente
f (t) = Ku( t) + Ke
2
at
u(t)
(5)
f(t)
K
Ku(-t)
t
-K
Ke-at u(t)
t
K
-at
Ku(-t) + Ke
u(t)
t
Figure 4: Exponencial decreciente que parte de un valor constante
3
Exponenciales Atrasadas
Sea la señal descrita por la ecuación (2), la cual es atrasada en t = t1 , de esta
forma se tiene
f(t)
K
t1
t
Figure 5: Exponencial atrasada.
f (t) = Ke
a(t t1 )
u(t
t1 )
(6)
Example 1 La siguiente señal se puede describir en forma analítica como la
suma de dos señales exponenciales decrecientes una positiva y otra negativa,
esta última atrasada, considerando que 5 a1 < t1 :Así se tiene
f(t)
K
t1
t
-K
Figure 6: Mezcla de exponenciales decrecientes.
3
f (t) = Ke
4
at
u(t)
Ke
a(t t1 )
u(t
t1 )
(7)
Otras formas
Una forma de exponencial creciente y decreciente puede ser generada usando
exponenciales con distintas constantes de tiempo, las cuales son multiplicadas
por funciones pulsos con el …n de cortar componentes indeseadas.
Example 2 Sea la siguiente función, para lo cual se cumple que
Considere además que t1 > 5 1 :
1
= 2 2:
f(t)
B
t
0
1
t
Figure 7: Exponencial con evolución creciente y decreciente.
Observe que el tiempo de la evolución de la señal creciente y decreciente ha
sobrepasado las constantes de tiempo, de esta forma se puede expresar la señal
como sigue
f (t) = B 1
5
e
t
1
(t
fu (t)
u (t
t1 )g + Be
t1 )
2
u (t
t1 )
(8)
Conclusiones
El empleo de las funciones exponenciales es importante, pues, ellas determinan
el comportamiento de muchas redes lineales. Básicamente es la exponencial
decreciente la que permite, mediante la combinación con pulsos o escalones,
describir una evolución creciente o decreciente.
La constante de tiempo ayuda a determinar si una exponencial evoluciona
rápidamente o lentamente. El valor 5 ; establece que el termino e 5 es despreciable.
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