Matemáticas Discretas TC1003 POL: Predicados y Cuantificadores Departamento de Matemáticas ITESM POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 1/25 Introducción La Lógica de Predicados o Lógica de Primer Orden (POL o FOL) es una extensión de Lógica Proposicional. Todo las las equivalencias y reglas de inferencia vistas en la lógica proposicional siguen siendo válidas en la lógica de predicados. En esta lectura introduciremos dos elementos que establecen la diferencia entre la lógica proposicional y la lógica de predicados: el concepto de predicado y el de cuantificador. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 2/25 Predicados Definición Un predicado es una sentencia declarativa que contiene un número definido de variables y que se vuelve en una proposición cuando las variables son sustituidas por valores. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 3/25 Predicados Definición Un predicado es una sentencia declarativa que contiene un número definido de variables y que se vuelve en una proposición cuando las variables son sustituidas por valores. El dominio de un predicado es el conjunto de todos los valores que pueden ser sustituidos en las variables. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 3/25 Ejemplo 1 Ejemplo Sea P (x) el predicado con dominio los número reales: P (x) = x2 ≤ 10 Identifique cuáles opciones contienen afirmaciones verdaderas: 1. P (−2) POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 4/25 Ejemplo 1 Ejemplo Sea P (x) el predicado con dominio los número reales: P (x) = x2 ≤ 10 Identifique cuáles opciones contienen afirmaciones verdaderas: 1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10. 2. P (−6) POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 4/25 Ejemplo 1 Ejemplo Sea P (x) el predicado con dominio los número reales: P (x) = x2 ≤ 10 Identifique cuáles opciones contienen afirmaciones verdaderas: 1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10. 2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10. 3. P ( 21 ) POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 4/25 Ejemplo 1 Ejemplo Sea P (x) el predicado con dominio los número reales: P (x) = x2 ≤ 10 Identifique cuáles opciones contienen afirmaciones verdaderas: 1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10. 2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10. 3. P ( 21 ) Verdadera: (1/2)2 = 1/4 ≤ 10. Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario 4. P (2) POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 4/25 Ejemplo 1 Ejemplo Sea P (x) el predicado con dominio los número reales: P (x) = x2 ≤ 10 Identifique cuáles opciones contienen afirmaciones verdaderas: 1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10. 2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10. 3. P ( 21 ) Verdadera: (1/2)2 = 1/4 ≤ 10. Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario 4. P (2) Verdadera: (2)2 = 4 ≤ 10. 5. P (−4) POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 4/25 Ejemplo 1 Ejemplo Sea P (x) el predicado con dominio los número reales: P (x) = x2 ≤ 10 Identifique cuáles opciones contienen afirmaciones verdaderas: 1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10. 2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10. 3. P ( 21 ) Verdadera: (1/2)2 = 1/4 ≤ 10. Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario 4. P (2) Verdadera: (2)2 = 4 ≤ 10. 5. P (−4) Falsa: (−4)2 = 16 6≤ 10. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 4/25 Ejemplo 2 Ejemplo Sea P (x, y) el predicado: P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y 2 . Con dominio para x y para y todo el conjunto de los números reales. Identifique cuáles opciones contienen afirmaciones verdaderas: 1. P (3, 2) POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 5/25 Ejemplo 2 Ejemplo Sea P (x, y) el predicado: P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y 2 . Con dominio para x y para y todo el conjunto de los números reales. Identifique cuáles opciones contienen afirmaciones verdaderas: 1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera. 2. P (−2, 1) POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 5/25 Ejemplo 2 Ejemplo Sea P (x, y) el predicado: P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y 2 . Con dominio para x y para y todo el conjunto de los números reales. Identifique cuáles opciones contienen afirmaciones verdaderas: 1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera. 2. P (−2, 1) : (−2 < 1) → (4 < 1): falsa. 3. P (−3, 1) POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 5/25 Ejemplo 2 Ejemplo Sea P (x, y) el predicado: P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y 2 . Con dominio para x y para y todo el conjunto de los números reales. Identifique cuáles opciones contienen afirmaciones verdaderas: 1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera. 2. P (−2, 1) : (−2 < 1) → (4 < 1): falsa. 3. P (−3, 1) : (−3 < 1) → (9 < 1): falsa. 4. P ( 21 , 1) POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 5/25 Ejemplo 2 Ejemplo Sea P (x, y) el predicado: P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y 2 . Con dominio para x y para y todo el conjunto de los números reales. Identifique cuáles opciones contienen afirmaciones verdaderas: 1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera. 2. P (−2, 1) : (−2 < 1) → (4 < 1): falsa. 3. P (−3, 1) : (−3 < 1) → (9 < 1): falsa. 4. P ( 21 , 1) : (1/2 < 1) → (1/4 < 1): cierta. 5. P (1, −3) POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 5/25 Ejemplo 2 Ejemplo Sea P (x, y) el predicado: P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y 2 . Con dominio para x y para y todo el conjunto de los números reales. Identifique cuáles opciones contienen afirmaciones verdaderas: 1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera. 2. P (−2, 1) : (−2 < 1) → (4 < 1): falsa. 3. P (−3, 1) : (−3 < 1) → (9 < 1): falsa. 4. P ( 21 , 1) : (1/2 < 1) → (1/4 < 1): cierta. 5. P (1, −3) : (1 < −3) → (1 < 9): cierta. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 5/25 Cuantificador Universal: ∀ Definición Sea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 6/25 Cuantificador Universal: ∀ Definición Sea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Una afirmación universal es una declaración de la forma: ∀ x ∈ D, Q(x) POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 6/25 Cuantificador Universal: ∀ Definición Sea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Una afirmación universal es una declaración de la forma: ∀ x ∈ D, Q(x) Y es definida a ser verdadera si y sólo si Q(x) es verdadera para todo elemento x que está en el dominio D. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 6/25 Cuantificador Universal: ∀ Definición Sea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Una afirmación universal es una declaración de la forma: ∀ x ∈ D, Q(x) Y es definida a ser verdadera si y sólo si Q(x) es verdadera para todo elemento x que está en el dominio D. La afirmación es falsa si y sólo si Q(x) es falsa al menos para un elemento x del dominio. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 6/25 Cuantificador Universal: ∀ Definición Sea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Una afirmación universal es una declaración de la forma: ∀ x ∈ D, Q(x) Y es definida a ser verdadera si y sólo si Q(x) es verdadera para todo elemento x que está en el dominio D. La afirmación es falsa si y sólo si Q(x) es falsa al menos para un elemento x del dominio. Un elemento x para el cual Q(x) es falsa se llama contraejemplo a la afirmación universal. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 6/25 Cuantificador Universal: ∀ Definición Sea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Una afirmación universal es una declaración de la forma: ∀ x ∈ D, Q(x) Y es definida a ser verdadera si y sólo si Q(x) es verdadera para todo elemento x que está en el dominio D. La afirmación es falsa si y sólo si Q(x) es falsa al menos para un elemento x del dominio. Un elemento x para el cual Q(x) es falsa se llama contraejemplo a la afirmación universal. Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Note también que ∀ se traduce en una conjunción: Si por ejemplo D = {1, a, e} entonces ∀ x ∈ D, Q(x) ≡ Q(1) ∧ Q(a) ∧ Q(e) POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 6/25 Cuantificador existencial: ∃ Definición Sea Q(x) un predicado con cominio D. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 7/25 Cuantificador existencial: ∃ Definición Sea Q(x) un predicado con cominio D. Una afirmación existencial es una declaración de la forma: ∃ x ∈ D, Q(x) POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 7/25 Cuantificador existencial: ∃ Definición Sea Q(x) un predicado con cominio D. Una afirmación existencial es una declaración de la forma: ∃ x ∈ D, Q(x) Y es definida a ser verdadera si y sólo si existe en el dominio D al menos un valor de x para el cual Q(x) es verdadera. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 7/25 Cuantificador existencial: ∃ Definición Sea Q(x) un predicado con cominio D. Una afirmación existencial es una declaración de la forma: ∃ x ∈ D, Q(x) Y es definida a ser verdadera si y sólo si existe en el dominio D al menos un valor de x para el cual Q(x) es verdadera. A este valor lo referiremos a un ejemplo para la afirmación existencial. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 7/25 Cuantificador existencial: ∃ Definición Sea Q(x) un predicado con cominio D. Una afirmación existencial es una declaración de la forma: ∃ x ∈ D, Q(x) Y es definida a ser verdadera si y sólo si existe en el dominio D al menos un valor de x para el cual Q(x) es verdadera. A este valor lo referiremos a un ejemplo para la afirmación existencial. La afirmación será falsa si para todo x en el dominio Q(x) es falsa. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 7/25 Cuantificador existencial: ∃ Definición Sea Q(x) un predicado con cominio D. Una afirmación existencial es una declaración de la forma: ∃ x ∈ D, Q(x) Y es definida a ser verdadera si y sólo si existe en el dominio D al menos un valor de x para el cual Q(x) es verdadera. A este valor lo referiremos a un ejemplo para la afirmación existencial. La afirmación será falsa si para todo x en el dominio Q(x) es falsa. Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Note también que ∃ se traduce en una disjunción: Si por ejemplo D = {1, a, e} entonces ∃ x ∈ D, Q(x) ≡ Q(1) ∨ Q(a) ∨ Q(e) POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 7/25 ■ El símbolo ∀ se llama cuantificador universal. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 8/25 ■ ■ El símbolo ∀ se llama cuantificador universal. El símbolo ∃ se llama cuantificador existencial. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 8/25 ■ ■ El símbolo ∀ se llama cuantificador universal. El símbolo ∃ se llama cuantificador existencial. Nota Cuando esté claro cual es el dominio del predicado se omitirá la referencia al conjunto. Es decir, ∀x ∈ D, P (x) se escribirá ∀x, P (x) Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario ∃x ∈ D, P (x) se escribirá ∃x, P (x) POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 8/25 Ejemplo 3 Veamos un ejemplo que involucra situaciones simplificadas conocido como el mundo de Tarski. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 9/25 Indique cuáles afirmaciones son verdaderas: Considere: a 1. ∀ t, Circulo(t) ∨ Rojo(t) c b g e 2. ∃ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t) f d 3. ∀ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t) 4. ∀ t, Triangulo(t) ∨ Rojo(t) 5. ∃ t, Cuadrado(t) ∧ Azul(t) Soluciones: Y los predicados: Azul(t) = t es de color azul. Rojo(t) = t es de color rojo. Triangulo(t) = t es un triángulo . Cuadrado(t) = t es un cuadrado. Circulo(t) = t es un círculo. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 10/25 Con los predicados y la figura generamos la tabla: t Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo a T F T F F b T F T F F c F T F F T d F T F T F e F T F T F f F T F T F g F T F F T POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 11/25 Para la afirmación: ∀ t, Circulo(t) ∨ Rojo(t) los datos t Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Circulo(t) ∨ Rojo(t) a T F T F F F b T F T F F F c F T F F T T d F T F T F T e F T F T F T f F T F T F T g F T F F T T POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 12/25 Para la afirmación: ∀ t, Circulo(t) ∨ Rojo(t) los datos t Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Circulo(t) ∨ Rojo(t) a T F T F F F b T F T F F F c F T F F T T d F T F T F T e F T F T F T f F T F T F T g F T F F T T nos indican que la afirmación es falsa POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 12/25 Para la afirmación: ∀ t, Circulo(t) ∨ Rojo(t) los datos t Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Circulo(t) ∨ Rojo(t) a T F T F F F b T F T F F F c F T F F T T d F T F T F T e F T F T F T f F T F T F T g F T F F T T nos indican que la afirmación es falsa: a y b son contraejemplos. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 12/25 Para la afirmación: ∃ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t) los datos t Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado(t) ∧ Rojo(t) a T F T F F F b T F T F F F c F T F F T F d F T F T F T e F T F T F T f F T F T F T g F T F F T F POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 13/25 Para la afirmación: ∃ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t) los datos t Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado(t) ∧ Rojo(t) a T F T F F F b T F T F F F c F T F F T F d F T F T F T e F T F T F T f F T F T F T g F T F F T F nos indican que la afirmación es cierta POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 13/25 Para la afirmación: ∃ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t) los datos t Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado(t) ∧ Rojo(t) a T F T F F F b T F T F F F c F T F F T F d F T F T F T e F T F T F T f F T F T F T g F T F F T F nos indican que la afirmación es cierta: d, e y f son ejemplos. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 13/25 Para la afirmación: ∀ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t) los datos t Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado(t) ∧ Rojo(t) a T F T F F F b T F T F F F c F T F F T F d F T F T F T e F T F T F T f F T F T F T g F T F F T F POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 14/25 Para la afirmación: ∀ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t) los datos t Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado(t) ∧ Rojo(t) a T F T F F F b T F T F F F c F T F F T F d F T F T F T e F T F T F T f F T F T F T g F T F F T F nos indican que la afirmación es falsa POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 14/25 Para la afirmación: ∀ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t) los datos t Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado(t) ∧ Rojo(t) a T F T F F F b T F T F F F c F T F F T F d F T F T F T e F T F T F T f F T F T F T g F T F F T F nos indican que la afirmación es falsa: a, b, c y g son contraejemplos. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 14/25 Para la afirmación: ∀ t, Triangulo(t) ∨ Rojo(t) los datos t Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Triangulo(t) ∨ Rojo(t) a T F T F F T b T F T F F T c F T F F T T d F T F T F T e F T F T F T f F T F T F T g F T F F T T POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 15/25 Para la afirmación: ∀ t, Triangulo(t) ∨ Rojo(t) los datos t Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Triangulo(t) ∨ Rojo(t) a T F T F F T b T F T F F T c F T F F T T d F T F T F T e F T F T F T f F T F T F T g F T F F T T nos indican que la afirmación es cierta. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 15/25 Para la afirmación: ∃ t, Cuadrado(t) ∧ Azul(t) los datos t Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado(t) ∧ Azul(t) a T F T F F F b T F T F F F c F T F F T F d F T F T F F e F T F T F F f F T F T F F g F T F F T F POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 16/25 Para la afirmación: ∃ t, Cuadrado(t) ∧ Azul(t) los datos t Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado(t) ∧ Azul(t) a T F T F F F b T F T F F F c F T F F T F d F T F T F F e F T F T F F f F T F T F F g F T F F T F nos indican que la afirmación es falsa. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 16/25 Ejemplo 4 Veamos un ejemplo que involucra bases de datos. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 17/25 Indique cuáles afirmaciones son verdaderas: Ejemplo Considere los datos: Nombre Carrera Edad Hobby Juan ITEC 21 Leer María IMA 20 Música Tomás IIS 23 Futbol Lalo LATI 22 Anime Luis IFI 21 Leer Soledad LCC 24 Futbol 1. ∃ x, x es menor de 19 años. 2. ∃ x, x tiene como hobby el correr. 3. ∀ x, x tiene como hobby leer o x es hombre. 4. ∀ x, si x tiene como hobby la música entonces x es mujer. 5. ∃ x, x tiene como carrera Letras. Nuestro dominio consiste de las personas Juan, María, Tomás, Lalo, Luis, y Soledad. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 18/25 De acuerdo a las preguntas, en este ejemplo conviene definir los predicados: M19(t) = t tiene menos de 19 años. Co(t) = t tiene como hobby correr. Leer(t) = t tiene como hobby leer. Mus(t) = t tiene como hobby la música. H(t) = t es un hombre. M(t) = t es un mujer. Letras(t) = t tiene como carrera Letras. POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 19/25 De acuerdo a los predicados, tendríamos la siguiente tabla: M19 C Leer Mus H M Letras Juan F F T F T F F María F F F T F T F Tomás F F F F T F F Lalo F F F F T F F Luis F F T F T F F Soledad F F F F F T F POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 20/25 De acuerdo a los predicados, tendríamos la siguiente tabla: ■ M19 C Leer Mus H M Letras Juan F F T F T F F María F F F T F T F Tomás F F F F T F F Lalo F F F F T F F Luis F F T F T F F Soledad F F F F F T F Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario ∃ x, x es menor de 19 años es falsa. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 20/25 De acuerdo a los predicados, tendríamos la siguiente tabla: ■ ■ M19 C Leer Mus H M Letras Juan F F T F T F F María F F F T F T F Tomás F F F F T F F Lalo F F F F T F F Luis F F T F T F F Soledad F F F F F T F Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario ∃ x, x es menor de 19 años es falsa. ∃ x, x tiene como carrera Letras es falsa. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 20/25 De acuerdo a los predicados, tendríamos la siguiente tabla: ■ ■ ■ M19 C Leer Mus H M Letras Juan F F T F T F F María F F F T F T F Tomás F F F F T F F Lalo F F F F T F F Luis F F T F T F F Soledad F F F F F T F Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario ∃ x, x es menor de 19 años es falsa. ∃ x, x tiene como carrera Letras es falsa. ∃ x, x tiene como hobyy correr es falsa. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 20/25 Para la afirmación: ∀ x, x tiene como hobby leer o x es hombre los datos: t M19 C Leer Mus H M Letras Juan F F T F T F F T María F F F T F T F F Tomás F F F F T F F T Lalo F F F F T F F T Luis F F T F T F F T Soledad F F F F F T F F POL: Predicados y Cuantificadores Leer(t) ∨ Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 H(t) Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 21/25 Para la afirmación: ∀ x, x tiene como hobby leer o x es hombre los datos: t M19 C Leer Mus H M Letras Leer(t) ∨ Juan F F T F T F F T María F F F T F T F F Tomás F F F F T F F T Lalo F F F F T F F T Luis F F T F T F F T Soledad F F F F F T F F Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 H(t) Ejemplo 4 Conversión Sumario indican que es falsa: María y Soledad son los contraejemplos. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 21/25 Para la afirmación: ∀ x, si x tiene como hobby la música, entonces x es mujer. los datos M19 C Leer Mus H M Letras Mus → M Juan F F T F T F F T María F F F T F T F T Tomás F F F F T F F T Lalo F F F F T F F T Luis F F T F T F F T Soledad F F F F F T F T POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 22/25 Para la afirmación: ∀ x, si x tiene como hobby la música, entonces x es mujer. los datos M19 C Leer Mus H M Letras Mus → M Juan F F T F T F F T María F F F T F T F T Tomás F F F F T F F T Lalo F F F F T F F T Luis F F T F T F F T Soledad F F F F F T F T indican que es verdadera. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 22/25 Para la afirmación: ∀ x, si x tiene como hobby la música, entonces x es mujer. los datos M19 C Leer Mus H M Letras Mus → M Juan F F T F T F F T María F F F T F T F T Tomás F F F F T F F T Lalo F F F F T F F T Luis F F T F T F F T Soledad F F F F F T F T indican que es verdadera. No te que la clave es que F → X es T. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 22/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ Todos los A son B: POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ ■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B Cada A es B : POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ ■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B Cada A es B : ∀x, x es A → x es B POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ ■ ■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B Cada A es B : ∀x, x es A → x es B Ningún A es B : POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ ■ ■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B Cada A es B : ∀x, x es A → x es B Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ ■ ■ ■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B Cada A es B : ∀x, x es A → x es B Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B Existe un A que es B : POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ ■ ■ ■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B Cada A es B : ∀x, x es A → x es B Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ ■ ■ ■ ■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B Cada A es B : ∀x, x es A → x es B Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B Hay algún A que es B : POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ ■ ■ ■ ■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B Cada A es B : ∀x, x es A → x es B Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B Hay algún A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B Cada A es B : ∀x, x es A → x es B Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B Hay algún A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B Algún A es B : POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B Cada A es B : ∀x, x es A → x es B Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B Hay algún A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B Algún A es B : ∃x, x es A ∧ x es B POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B Cada A es B : ∀x, x es A → x es B Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B Hay algún A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B Algún A es B : ∃x, x es A ∧ x es B Algunos A son B : POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B Cada A es B : ∀x, x es A → x es B Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B Hay algún A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B Algún A es B : ∃x, x es A ∧ x es B Algunos A son B : ∃x, x es A ∧ x es B POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B Cada A es B : ∀x, x es A → x es B Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B Hay algún A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B Algún A es B : ∃x, x es A ∧ x es B Algunos A son B : ∃x, x es A ∧ x es B Entre todos los A alguno es B : POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B Cada A es B : ∀x, x es A → x es B Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B Hay algún A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B Algún A es B : ∃x, x es A ∧ x es B Algunos A son B : ∃x, x es A ∧ x es B Entre todos los A alguno es B : ∃x, x es A ∧ x es B POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/25 Ejemplo Para la afirmación: ∀x, si x es político, entonces x es un buen conversador Usando los predicados ■ P (x) = x es político y ■ C(x) = x es un buen conversador, indique cuáles expresiones describen la afirmación: 1. Entre todos los políticos, algunos son buenos conversadores. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 24/25 Ejemplo Para la afirmación: ∀x, si x es político, entonces x es un buen conversador Usando los predicados ■ P (x) = x es político y ■ C(x) = x es un buen conversador, indique cuáles expresiones describen la afirmación: 1. Entre todos los políticos, algunos son buenos conversadores. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 24/25 Ejemplo Para la afirmación: ∀x, si x es político, entonces x es un buen conversador Usando los predicados ■ P (x) = x es político y ■ C(x) = x es un buen conversador, indique cuáles expresiones describen la afirmación: 1. Entre todos los políticos, algunos son buenos conversadores. No 2. Todo político es un buen conversador. Sí 3. Cada político es un buen conversador. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 24/25 Ejemplo Para la afirmación: ∀x, si x es político, entonces x es un buen conversador Usando los predicados ■ P (x) = x es político y ■ C(x) = x es un buen conversador, indique cuáles expresiones describen la afirmación: 1. Entre todos los políticos, algunos son buenos conversadores. No 2. Todo político es un buen conversador. Sí 3. Cada político es un buen conversador. Sí 4. Algunos buenos conversadores son políticos. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 24/25 Ejemplo Para la afirmación: ∀x, si x es político, entonces x es un buen conversador Usando los predicados ■ P (x) = x es político y ■ C(x) = x es un buen conversador, indique cuáles expresiones describen la afirmación: 1. Entre todos los políticos, algunos son buenos conversadores. No 2. Todo político es un buen conversador. Sí 3. Cada político es un buen conversador. Sí 4. Algunos buenos conversadores son políticos. No 5. Cualquier político es un buen conversador. POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 24/25 Ejemplo Para la afirmación: ∀x, si x es político, entonces x es un buen conversador Usando los predicados ■ P (x) = x es político y ■ C(x) = x es un buen conversador, indique cuáles expresiones describen la afirmación: 1. Entre todos los políticos, algunos son buenos conversadores. No 2. Todo político es un buen conversador. Sí 3. Cada político es un buen conversador. Sí 4. Algunos buenos conversadores son políticos. No 5. Cualquier político es un buen conversador. Sí POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 24/25 Temas Vistos ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Concepto de Predicado Dominio de un Predicado Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Cuándo son verdaderas afirmaciones con cuantificadores Ejemplos con el Mundo de Tarski y con Bases de Datos Conversión de Textos usando cuantificadores POL: Predicados y Cuantificadores Introducción Predicados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Ejemplo 3 Ejemplo 4 Conversión Sumario Matemáticas Discretas - p. 25/25