CONTRASTE DE HIPÓTESIS EN POBLACIONES NORMALES

CONTRASTE DE HIPÓTESIS
EN POBLACIONES NORMALES
Antonio Morillas
A. Morillas: C. de H. en P. Normales
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CONTRASTE EN POBLACIONES NORMALES
En este tema, aplicaremos lo visto en el anterior
para el caso de poblaciones normales:
1. Media:
a. Varianza poblacional conocida
b. Varianza poblacional desconocida
2. Diferencia de medias:
a. Varianzas poblacionales conocidas
b. Varianzas poblacionales desconocidas,
pero iguales
c. Muestras apareadas
A. Morillas: C. de H. en P. Normales
2
CONTRASTE EN POBLACIONES NORMALES
1. Varianza:
a. Media poblacional conocida
b. Media poblacional desconocida
2. Igualdad de varianzas:
a. Medias poblacionales conocidas
b. Medias poblacionales desconocidas
3. Proporción
4. Diferencia de proporciones
A. Morillas: C. de H. en P. Normales
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CONTRASTE DE LA MEDIA
VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA (V2):
1.
P = P0
ƒ
Hipótesis nula: H0:
ƒ
Distribución de la población bajo H0 :
ƒ
Estadístico de prueba:
X ~ N ( P ,V )
0
x ~ N (P , V )
0
n
o Z
x P
0 ~ N (0,1)
V/ n
H1
R. C. O.
Rechazar H0 si
P z P0
Dos colas
Zobs  (ZD/2 , Z1-D/2)
P > P0
Cola derecha
Zobs t Z1-D
P < P0
Cola izquierda
Zobs d ZD
A. Morillas: C. de H. en P. Normales
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CONTRASTE DE LA MEDIA
1.
2. VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA:
ƒ
Hipótesis nula: H0: P = P0
ƒ
Distribución de la población bajo H0 : X ~ N ( P0,?)
ƒ
Estadístico de prueba:
t
x P
0
s/ n
x P
0 ~t
s / n 1 n 1
H1
R. C. O.
Rechazar H0 si
P z P0
Dos colas
tobs  (tD/2 , t1-D/2)
P > P0
Cola derecha
tobs t t1-D
P < P0
Cola izquierda
tobs d tD
A. Morillas: C. de H. en P. Normales
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CONTRASTE DIFERENCIA DE MEDIAS
1.
VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS (X e Y, ind.):
ƒ
Hipótesis nula: Px - Py = G0 ; con G0 t 0
ƒ
Distribución de las poblaciones bajo H0 : X ~ N ( P ,V ) ; Y ~ N ( P ,V )
x x
y y
( x y ) ( P P )
x
y ~ N (0,1)
Estadístico de prueba: Z
V 2 n V 2 n
x x
y y
ƒ
H1
R. C. O.
Rechazar H0 si
Px - Py z G 0
Dos colas
Zobs  (ZD/2 , Z1-D/2)
P x - P y > G0
Cola derecha
Zobs t Z1-D
Px - Py < G0 Cola izquierda
Zobs d ZD
A. Morillas: C. de H. en P. Normales
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CONTRASTE DIFERENCIA DE MEDIAS
2.
VARIANZAS DESCONOCIDAS, PERO IGUALES :
ƒ
ƒ
ƒ
Hipótesis nula: Px - Py = G0 ; con G0 t 0
( n 1) sˆ 2 ( n 1) sˆ 2
x
x
y
y
Estimador de la varianza común: s2
p
n n 2
x y
( x y ) ( P P )
x
y ~t
Estadístico de prueba:
n n 2
s 1 n 1 n
x y
p
x
y
H1
R. C. O.
Rechazar H0 si
Px - Py z G 0
Dos colas
tobs  (tD/2 , t1-D/2)
P x - P y > G0
Cola derecha
tobs t t1-D
Px - Py < G0 Cola izquierda
A. Morillas: C. de H. en P. Normales
n s2 n s2
x x y y
n n 2
x y
tobs d tD
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CONTRASTE DE LA DIFERENCIA DE
MEDIAS
4.
ƒ
MUESTRAS APAREADAS:
Objeto: evitar posibles alteraciones, debidas a factores externos, en el
momento de la observación de ambas poblaciones
ƒ
Se toman n pares de observaciones y se trabaja con las diferencias, que se
supone son extraídas aleatoriamente de la población de diferencias
ƒ
ƒ
ƒ
di = xi - yi Æ di a N ( Pd , Vd )
ƒ
ƒ
Vd , es desconocida (menor que la dispersión de la diferencia de medias)
Pd = E(di ) = E(xi – yi ) = E(xi ) – E(yi ) = Px - Py = G0 Æ contraste sobre Pd
Estadístico de prueba bajo H0:Pd=G0 :
¦ di
d
n
d G 0
~t
sd / n1 n1
Reglas de decisión, como en media con V desconocida
A. Morillas: C. de H. en P. Normales
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CONTRASTE DE LA VARIANZA
1.
MEDIA CONOCIDA:
ƒ
ƒ
Hipótesis nula: H :V 2 V 2
0
0
Estimador de la varianza poblacional:
ns2
ƒ
Estadístico de prueba:
V
H1
R. C. O.
V 2 zV 2
Dos colas
0
V 2 !V 2
0
V 2 V 2
0
s2
¦ (x
P
i
P )2
n
P ~ F2
n
2
0
Cola derecha
Cola izquierda
Rechazar H0 si
)
F 2 ( F 2 , F 2
obs
D / 2 1D / 2
F2 t F2
obs 1D
F 2 d FD2
A. Morillas: C. de H. en P. Normales
obs
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CONTRASTE DE LA VARIANZA
1.
MEDIA DESCONOCIDA:
ƒ
ƒ
ƒ
Hipótesis nula: H :V 2 V 2
0
0
Estimador de la varianza poblacional:
Estadístico de prueba:
s2
ns2 ~ F 2
n1
V2
0
¦ (x
i
x )2
n
H1
R. C. O.
Rechazar H0 si
V 2 zV 2
0
V 2 !V 2
0
Dos colas
F 2 ( F 2 , F 2
)
D / 2 1D / 2
obs
Cola derecha
F2 t F2
V 2 V 2
Cola izquierda
0
A. Morillas: C. de H. en P. Normales
obs 1D
F 2 d FD2
obs
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CONTRASTE DE LA IGUALDAD DE VARIANZAS
1.
MEDIAS CONOCIDAS:
§ 2
¨V
¨ x
¨ 2
¨V
¨ y
©
·
¸
1¸¸
¸
¸
¹
H :V 2 V 2 o
0 x
y
n s2
x P
x n
x Fn2 n
2
V
- Estadístico de prueba:
x
x x ~F
~
n ,n
Fn2 n
n s2
x y
y
y P
y
y n
y
V2
y
- Hipótesis nula:
H1
V 2 zV 2
x
y
V 2 !V 2
x
y
V 2 V 2
x
y
2
SP
Bajo H : x ~ F
0 S2
n ,n
x y
Py
R. C. O.
Rechazar H0 si
Dos colas
F ( F
,F
)
obs
D / 2 1D / 2
Cola derecha
F
tF
obs 1D
Cola izquierda
F
dF
obs D
A. Morillas: C. de H. en P. Normales
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CONTRASTE DE LA IGUALDAD DE VARIANZAS
1.
MEDIAS DESCONOCIDAS:
- Hipótesis nula:
H :V 2 V 2 o
0 x
y
§ 2
¨V
¨ x
¨ 2
¨V
¨ y
©
·
¸
1¸¸
¸
¸
¹
n s2
x x n 1
F2
n 1
x
2
1
n
V
x
- Estadístico de prueba:
x
x
~
~F
2
2
F
n 1 nx 1,n y 1
n s
y y n 1 n y 1 y
y
V2
y
H1
V 2 zV 2
x
y
V 2 !V 2
x
y
V 2 V 2
x
y
Sˆ x2
~F
n 1,n 1
Sˆ 2y
x
y
R. C. O.
Rechazar H0 si
Dos colas
F ( F
,F
)
D / 2 1D / 2
obs
Cola derecha
F
tF
obs 1D
Cola izquierda
F
d F
D
obs
A. Morillas: C. de H. en P. Normales
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CONTRASTE DE LA PROPORCIÓN
Hipótesis nula: H0: p = p0
Estadístico de prueba: pˆ x / n
ƒ
ƒ
Z
ƒ
Muestras grandes:
Z
ƒ
pˆ p0
~ N (0,1) , proporción
p0q0
n
x np0
~ N (0,1) , número de éxitos
np0q0
Muestras pequeñas: pˆ ~ B(n, p0)
H1
p z p0
R. C. O.
Rechazar H0 si (n grande)
Dos colas
Zobs  (ZD/2 , Z1-D/2)
p > p0
Cola derecha
Zobs t Z1-D
p < p0
Cola izquierda
Zobs d ZD
A. Morillas: C. de H. en P. Normales
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CONTRASTE DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES
ƒ
Hipótesis nula: H0 : px p y G0; G0 t 0
( pˆ x pˆ y ) ( px p y )
Estadístico:
Z
~ N (0,1) ; para n grande
p
q
pxq x
y y
nx
ny
ƒ
Para estimar p y q se utilizan las correspondientes a cada muestra
ƒ
Pero, si H0 : px - py = 0, se utilizan las dos muestras en común:
nx pˆ x n y pˆ y
x
y
pˆ n n
nx n y
x y
ƒ
H1
R. C. O.
Rechazar H0 si
px- pyz G0
Dos colas
Zobs  (ZD/2 , Z1-D/2)
px- py> G0
Cola derecha
Zobs t Z1-D
px- py< G0
Cola izquierda
Zobs d ZD
A. Morillas: C. de H. en P. Normales
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¿QUÉ HEMOS APRENDIDO EN LA LECCIÓN 2ª?
Contraste de hipótesis en poblaciones normales
Fundamental: saber estadístico de prueba (curso anterior)
Definir región crítica, según H1
Observar el valor muestral y decidir según confianza
A. Morillas: C. de H. en P. Normales
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